第10 讲函数的单调性、奇偶性、周期性
（知识清单+7 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
单调性与奇偶性综合、周期性应用、函数值大小比较
单选、多选题
5 分/6 分
奇偶性判断、单调性应用、简单周期性计算
单选、填空题
5 分
基础单调性、奇偶性判断，难度偏低
单选、填空题
5 分
单调性与不等式结合、周期性与奇偶性综合，偶渗透导数应用
单选、解答题
5 分/10 分
【知识点01】函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I
当x1<x2时,都有f ( x 1)<
f ( x 2),那么就称函
数f(x)在区间I 上单调递增,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单
调递增时,我们就称它是增函数
当x1<x2时,都有f ( x 1)>
f ( x 2),那么就称函数f(x)
在区间I 上单调递减,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减
时,我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I 叫做y
＝f(x)的单调区间.
【例1】用定义法证明f ( x)= x
2+2 x在[1,+ ∞)上单调递增。
证明：任取x1, x2∈[1,+∞)，且x1< x2，则：
f ( x2)−f ( x1)=( x2
2+2 x2)−( x1
2+2 x1)=( x2
2−x1
2)+2( x2−x1)
=( x2−x1)( x2+ x1)+2( x2−x1)=( x2−x1)( x1+ x2+2)
因x1< x2，故x2−x1>0；又x1, x2≥1，故x1+ x2+2>0，因此f ( x2)−f ( x1)>0，即f ( x1)<f ( x2)。
故f ( x)= x
2+2 x在[1,+ ∞)上单调递增。
【知识点02】函数的最值
前提
一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈D,都有f ( x ) ≤
M
；
(2)∃x0∈D,使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈D,都有f ( x ) ≥
M
；
(2)∃x0∈D,使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 是函数y＝f(x)的最大值
M 是函数y＝f(x)的最小值
【例2】求f ( x)= x
2−2 x +3在[0,3]上的最值。
解析：函数对称轴为x =1，开口向上，在[0,1]单调递减，[1,3]单调递增。
最小值：f (1)=1
2−2×1+3=2；最大值：max {f (0),f (3)}=max {3,6}=6
【知识点03】函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,
且f ( －
x ) ＝
f ( x ) ,那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y 轴
对称
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,
且f ( －
x ) ＝－
f ( x ) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
【例3】判断下列函数的奇偶性：
（1）f ( x)= x
3+2 x；（2）f ( x)= x
2−| x |+1；（3）f ( x)= x +1。
解析：（1）定义域为R（关于原点对称），f (−x)=(−x)
3+2(−x)=−x
3−2 x =−( x
3+2 x)=−f ( x)，故为奇函
数；
（2）定义域为R（关于原点对称），f (−x)=(−x)
2−|−x |+1= x
2−| x |+1= f ( x)，故为偶函数；
（3）定义域为R，f (−x)=−x +1，既不满足f (−x)= f ( x)，也不满足f (−x)=−f ( x)，故非奇非偶。
【知识点04】函数的周期性
(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D 都有x＋T∈D,且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周
期.
【例4】已知函数f ( x)满足f ( x +2)=−f ( x)，且f (1)=3，求f (5)的值。
解析：由f ( x +2)=−f ( x)，可得：
f ( x + 4)= f [( x +2)+2]=−f ( x +2)=−[−f ( x)]= f ( x)
故f ( x)的周期为4，因此f (5)= f (1+ 4)= f (1)=3。
【题型一】定义法判断或证明函数的单调性
【例1】（2025·河南·一模）函数
的值域为正整数集的子集，
，对任意两个不相等的正整
数a，b，都有
成立，则
（ ）
A．54
B．66
C．81
D．89
【答案】B
【分析】根据函数单调性结合已知不等式，再应用赋值法计算得出
即可求解.
【详解】因为
，所以
，
即
，设
，所以
，所以
为
上的单调增函数.
由
，
令
，
，则有
.
又
，所以由不等式得
，又
，所以
①.
因为
，所以
，
，
②.
，
，
，
，
由于
是
上的单调增函数，所以
.
因此
.
因为已求得
，所以上述不等式取等号，
这意味着当
时，都有
.
所以
.所以
③.
综合①②③有，
.
故选:B.
【变式1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间
上，值域为
的函数
满足：①当
时，
；②对于定义域内任意的实数a、b 均满足：
．则（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
上单调递减
D．函数
在区间
上单调递增
【答案】D
【分析】赋值：令
代入可得
，令
代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证
明函数在
的单调性.
【详解】对A，令
，则
，
，即
，
故
，所以A 不正确；
对B，取
代入：
，
即
，即
在
上为奇函数，
设
，
所以
，且
，
故：
即：
，故B 错误；
对C，由B 知函数在
上单调递增，故C 错误；
对D，由C 结合函数为奇函数且
，
所以
在
上单调递增，故D 正确.
故选：D.
【变式2】（多选）（2026·四川宜宾·一模）定义在
上的函数
，对
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
单调递减
C．
D．数列
的前n 项和为
，则
【答案】ACD
【详解】由函数方程
可得
，又
，
可推出
，可得
，对任意正整数数成立.
对于选项
:
正确.
对于选项
:
递增，故单调递减错误.
对于选项
:
是凸函数，满足
，正确.
对于选项
:前
项和
，正确.
【变式3】（2024·山东济南·三模）已知函数
，且
.
(1)求
的值;
(2)判断函数
在
上是增函数还是减函数，并证明.
【答案】(1)1
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）将
代入函数求值即可；
（2）利用单调性的定义判断即可.
【详解】（1）
，
（2）函数为增函数，证明如下：
设
是
上的任意两个实数，且
，
则
当
时，
，
，
从而
，即
，
∴函数
在
上为增函数.
【题型二】根据函数的单调性解不等式
【例2】（2026·广西崇左·二模）已知函数
在
上单调递增，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
在
上单调递增，
，所以
，解得
，故B 正确.
【变式1】（多选）（2024·江西·一模）已知函数
，若不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的取值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】BCD
【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.
【详解】因为
，
所以
，
即函数
的图象关于直线
对称.
当
时，
为增函数；
令
，则
，
时，
，
，所以
，所以
为增函数，
所以当
时，
为增函数.
由对称性可知，当
时，
为减函数.
因为
恒成立，所以
恒成立，
即
，解得
.
故选：BCD.
【变式2】（2025·陕西汉中·一模）已知函数
，则不等式
的解集是_________．
【答案】
【分析】根据函数的单调性对不等式进行求解，从而确定正确答案.
【详解】依题意，函数
在
上单调递增，
所以不等式
可化为
，
即
，解得
，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
【变式3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数
.
(1)若函数
在区间
上是单调函数，求实数
的取值范围；
(2)若
，且
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复合函数的单调性和定义域求解；
（2）先求解函数定义域、单调性和奇偶性，则
，即
.
【详解】（1）令
，则函数
在函数
单调递增，
所以
在
上单调，
所以
或
所以
；
（2）由
，
得
，
其定义域为
且单调递增，又
，
所以
是奇函数，
所以
，
所以
.
【题型三】比较函数值的大小关系
【例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】代入得到
，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用
，再利用题目所给的函数性质
，代
入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
【变式1】（2026·广东深圳·二模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
单调递增，
，
单调递增，
，
，
即“
”是“
”的充要条件.
【变式2】（多选）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义
在上的函数
满足
,且当
x>1 时，
， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】应用赋值法得到
时，
；构造出
的等量关系，再结合不等式性质判断即可.
【详解】由题意，
，
.
赋值
，得
；
赋值
，得
，即
，
当
时，
，
当
时，则
，所以
，即
；
所以
，A 正确，
取
，则
，
，显然
不成立，B 错，
赋值
，得
，解得
，
即
；
由
，
，
得
，
其中由
，可知
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
；故C 错误；
，得
；
又
，所以
，
则
，
故
，且
不恒为
，故D 正确.
故选：AD.
【变式3】（2024·河北邢台·二模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是______（请用“<”连
接）．
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数
，再利用导数比较大小即可.
【详解】令函数
，
，得
，
即函数
在
上单调递增，
，则
，
即
，
令函数
，得
，
即即函数
在
上单调递减，
，则
，
即
所以a，b，c 的大小关系是
故答案为：
【题型四】函数的最值
【例4】（2026·陕西西安·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
的值域确定大小关系.
【详解】因为
，所以
．
【变式1】（2024·江西鹰潭·三模）若
的最小值是4，则实数
的值为（ ）
A．6 或
B．
或18
C．6 或18
D．
或
【答案】A
【分析】分
，
，
三种情况，得出每种情况下
的最小值，令其为4，解出
的值.
【详解】当
时，
，
，解得
，符合题意；
当
时，
，
，解得
，符合题意；
当
时，
，
，舍掉.
故选：A.
【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，且
在
上恒成立，则实数
的最小值为___________．
【答案】
【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值
【详解】
当
时，
，当且仅当
时等号成立
．又
，即a≥−3，∴实数
的最小值为-3．
【变式3】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数
，对于任意
，满足
时，
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先判断
在R 上单调递增，再求出区间内的最值，然后由基本不等式可得.
【详解】
在R 上单调递增，不妨设
，记
所以当
时，
取得最小值0；
当
时，
取得最大值
，
当且仅当
时取等号，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
【题型五】函数奇偶性的定义与判断
【例5】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例
即可排除选项D.
方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数
进行判断即可.
【详解】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值点，故D 错误.
故选：
.
【变式1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例
即可排除选项D.
方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数
进行判断即可.
【详解】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值点，故D 错误.
故选：
.
【变式2】（2026·山东济南·三模）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
的值为________．
【答案】
/
【详解】因为
是周期为2 的偶函数，所以
，
因为当
时，
，所以
.
【变式3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）请写出一个同时满足以下3 个条件的函数
______．
①
、
，且
，都有
；②
且
，使得
；③
．
【答案】
（答案不唯一，符合题意均可得分）
【分析】根据三个条件分别得出函数
所具有的性质，例如单调性、奇偶性等即可写出结果.
【详解】由条件①可得
在
上单调递增，
对于条件②不妨取
，可知函数在一定条件下满足可乘性，并简化运算；
由条件③可知函数
为奇函数；
因此可得
满足题意.
故答案为：
【题型六】函数奇偶性的应用
【例6】（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用
代入求解即可；对C，举反例
即可；
对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为
定义在
上奇函数，则
，故A 正确；
对B，当
时，
，则
，故B 正确；
对C，
， 故C 错误；
对D，当
时，
，则
，
令
，解得
或（舍去），
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
则
是
极大值点，故D 正确；
故选：ABD.
【变式1】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知
是奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，
是奇函数，
.
【变式2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知
是奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，
是奇函数，
.
【变式3】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数
满足：当
时，
，则
________．
【答案】4052
【分析】化简
的表达式即可求得答案.
【详解】显然
，注意到
时
，
于是
．
【题型七】函数周期性的应用
【例7】（2026·辽宁沈阳·三模）已知
是定义在
上且周期为
的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合
，代入计算，即可求解.
【详解】因为函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，且当
时，
，
可得
.
【变式1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知
是定义在
上且周期为
的奇函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合
，代入计算，即可求解.
【详解】因为函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，且当
时，
，
可得
.
【变式2】（2026·湖南岳阳·三模）已知
的定义域为
，周期为4，当
时，
，则
______．
【答案】7
【详解】f (2027)= f (2027−4×506)= f (3)=2
3−1=7，
因此f (2027)=7．
【变式3】（2026·安徽芜湖·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，则
__________.
【答案】0
【分析】由题设可得
，
，
，进而得到
，进而代值求解即可.
【详解】由
是定义在
上的奇函数，得
，
由
为偶函数，得
，
则
，即
，
则
，
由
，可得
，即
【解题大招01】单调性判断与证明
核心：定义法适用于基础函数，导数法适用于复杂函数，精准判断单调区间。
【例1】证明f ( x)= x
2−4 x +3在[2,+ ∞)上单调递增。
解析：任取x1, x2∈[2,+∞)，x1< x2，则：
f ( x2)−f ( x1)=( x2
2−4 x2+3)−( x1
2−4 x1+3)=( x2−x1)( x1+ x2−4)
因x2−x1>0，x1+ x2−4≥2+2−4 =0，故f ( x2)−f ( x1)≥0，即f ( x)在[2,+ ∞)上单调递增。
【解题大招02】奇偶性判断
核心：第一步判断定义域是否关于原点对称（前提），第二步求f (−x)，第三步对比f (−x)与f ( x)、−f ( x)的
关系。
【例2】判断f ( x)=
x
3
x
2+1的奇偶性。
解析：① 定义域为ℝ，关于原点对称；② f (−x)= (−x)
3
(−x)
2+1
=−
x
3
x
2+1；③ f (−x)=−f ( x)，故f ( x)为奇函数。
【解题大招03】周期性求解
核心：熟记常见周期结论，复杂递推式通过变形推导周期。
【例3】已知f ( x +2)=−f ( x)，证明f ( x)的周期为4。
解析：f ( x + 4)= f [( x +2)+2]=−f ( x +2)=−[−f ( x)]= f ( x)，故周期T = 4。
【解题大招04】单调性与奇偶性综合应用
核心：利用奇偶性转化变量范围，结合单调性比较大小、解不等式。
【例4】已知f ( x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，解不等式f ( x−1)>f (2)。
解析：偶函数满足f ( x)= f (| x|)，不等式转化为f (| x−1|)>f (2)；
因f ( x)在[0,+∞)递减，故| x−1|<2，解得−1< x<3，解集为(−1,3)。
【解题大招05】单调性与最值综合
核心：单调函数在区间端点取最值，非单调函数结合对称轴、极值点求解。
【例5】求f ( x)=2 x +1在[1,5]上的最值。
解析：f ( x)在[1,5]上单调递增，最小值f (1)=3，最大值f (5)=11。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·安徽安庆·三模）定义在
上的偶函数
，当
时，
，则满足
的
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用偶函数性质求出函数在
上的分段表达式并明确其在
上单调递增，再由单调性将
转化为
，最后解绝对值不等式得到
的取值范围．
【详解】当
时，
，
，
又
是定义在
上的偶函数，所以
，
所以
，如图所示，
因为
，所以
，解得
，
所以满足
的
的取值范围是
．
2．（2026·安徽芜湖·二模）已知
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
在
上均为增函数，
则
在
上为增函数，
由
，得
，即
，
则不等式
的解集为
.
3．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间
上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A 选项，
，定义域为
，不满足奇函数定义域关于原点对称的要求，即：函数不是奇
函数，所以A 选项错误；
B 选项，
，定义域为
，定义域关于原点对称，且
，所
以
是奇函数，
当
，设
，则
，
因为
，所以
，
，所以
，即：
，所以
在
上为减函数，所以B 选项正确；
C 选项，
，定义域为
，定义域关于原点对称，
，所以
是偶函数，而不是奇函数，所以C 选项错误；
D 选项，
，定义域为
，定义域关于原点对称，
，所以
是偶函数，
而不是奇函数，所以D 选项错误.
二、多选题
4．（2023·海南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由
为奇函数得
，
因此
，所以
的图象关于点
对称，所以A 错误；
对于B 中，由
为偶函数得
，于是
，即
，所以
的图象关于直线
对称，所以B 正确；
对于C 中，
，
从而
，所以
以4 为周期，可得
，
由
中，令
，得
，所以C 正确；
对于D 中，由前面的分析可得
，
，
所以
，
所以D 正确．
故选：BCD.
5．（2024·河南郑州·模拟预测）若函数
的定义域为R，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若对
，
，则
C．若对
，
且
，
，则
是R 上的增函数
D．若对
，
，则
【答案】AC
【分析】对于A 项，直接计算即可判定；对于B 项，通过递推关系可判定
即可；对于C 项，利用函数单调性的定义即可判定；对于D 项，举出反例即可判定.
【详解】A 选项中，因为
，所以
，所以
，故A 正确；
B 选项中，因为
，所以
，
所以
，故B 错误；
C 选项中，不妨设
，则
，所以
是R 上的增函数，故C 正确；
D 选项中，若
，满足
，但
不成立，故D 错误．
故选:AC．
三、填空题
6．（2025·山东烟台·三模）已知函数
，若
，则实数t 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据函数性质判断函数单调性，根据定义域及单调性，列出不等式，求出范围
【详解】已知
，其中
和
均为单调递增函数，且
定义域为
，
所以
在
上单调递增，且
，
可得
，可得
，解得
，
故答案为：
.
7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
的图象关于
中心对称，且
在
上单调递减，若
，则实数a 的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据函数图象关于
中心对称可得
，又因为
在
上单调递减可推得
结合函数关于
中心对称进而推得
在
上单调递减.再利用函数的单调性即可求得
的范围.
【详解】由函数
的图象关于
中心对称，则
.
又因为
在
上单调递减，所以
时，
，
且
在
上单调递减，且
，可得
在
上单调递减.
又因为
，所以
可得
，
则
，得
.
故答案为：
.
四、解答题
8．（2025·山东临沂·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，
的最小值为1，求
的值；
(2)在（1）的条件下，求满足
且
的
的取值集合；
(3)函数
在区间
和
上均单调递增，求实数
的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）由x 的取值范围，进而求出
的取值范围，利用余弦函数的单调性即可求得结果.
（2）令
，得到
，表示出解集的通式，再分别令k 等于不同的整数，即可求出结果.
（3）先求出函数
的单调递增区间，再让区间
和
分别是单调增区间的子区间即可求得结果.
【详解】（1）因为
，
，
在
上单调递减，
在
，
上单调递增，
，
，
．
（2）由（1）知
，
，
，
，
，解得
，
或
，
，
因为
，当
时
；当
时，
或
；当
时，
．
故
的取值集合为
．
（3）由
，得
，
即函数
的单调递增区间为
．
当
时，函数
的单调递增区间为
，
当
时，函数
的单调递增区间为
．
又函数
在区间
和
上均单调递增，
，解得
．
的取值范围为
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，函数的定义域为
，关于原点对称，
由
，所以
为奇函数，排除A；
又
，排除C 和D.
2．（2026·福建南平·二模）已知
是定义在
上且周期为4 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据函数
的周期性和奇偶性即可求解.
【详解】已知
是定义在
上且周期为
的奇函数，所以有
，
令
，得
，
由于
是奇函数，有
，所以
，即
，解得
，
当
时，
，由于
，所以
，
因此
，故B 正确.
二、多选题
3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
的值域为
D．
的解集为
【答案】ACD
【分析】利用奇函数定义求出
判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集
判断D.
【详解】A 选项，因为
为奇函数，且定义域为
，所以
，代入解得：
，
验证：当
时，
，
，即
，所以A 选项正确；
B 选项，由A 选项解析得：
，即
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，所以B 选项错误；
C 选项，令
，则
，
，因为
，所以
，
，
，则：
，
的值域为
，所以C 选项正确；
D 选项，因为
，所以
，又因为
是奇函数，所以
，
原不等式变形为：
，由B 选项解析得：
在
上单调递增，
所以需满足
，解得：
，所以D 选项正确.
三、填空题
4．（2026·山东东营·二模）已知奇函数
的周期为2，且当
时，
，则
_____．
【答案】
【详解】由
的周期为2，可得
，
由
是奇函数，可得
，
再由
的周期为2，可得
，
因为当
时，
，所以
，
即
.
5．（2026·广东肇庆·二模）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则不等式
的
解集为__________.（结果用区间表示）
【答案】
【分析】由
，可得
在R 上单调递增，又注意到原不等式等价于
，据此可得答
案.
【详解】因为
，构造函数
，
因为
，所以函数
是增函数，
因为
，所以
，
因为
，所以原不等式即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
四、解答题
6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数
为定义在
上的偶函数，且
，
.
(1)若
，求函数
解析式；
(2)求函数
在
的最小值；
(3)若函数
在
有两个不同的零点，求m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式.
（2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值.
（3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
.
因为函数
在
上为偶函数，所以
当
时，
，则
.
因此函数
解析式为：
.
（2）当
时，
，这是开口向上的二次函数，对称轴为
.
当
，即
时，
；
当
，即
时，
；
当
，即
时，
；
综上，函数
在
的最小值为：
.
（3）因为函数
在
有两个不同的零点，
所以
，解得
.
所以m 的取值范围为
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，可判断
大小，构造函数
，求导确定单调性，可判断
大小，即可求解.
【详解】因为
，所以
，则
．
令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
则
，
则
，即
．故
．
2．（2026·山东东营·模拟预测）若定义在
上的奇函数
满足
，则
（ ）
A．1012
B．1013
C．1014
D．1015
【答案】B
【分析】先根据函数性质得到
，再通过对已知等式进行赋值和变形，推导出函数
的递推关系，进而求出
的值.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，
，
由
，
用
代替
可得
，
因为
是奇函数，
，
则
，
用
代替
可得
，
所以
，
函数
满足
，
则
，
，令
得
，
所以
.
二、多选题
3．（2026·陕西西安·三模）已知定义在
上的奇函数
满足对任意实数
，都有
，且当
时，
，则（ ）
A．
是周期为4 的周期函数
B．
C．
在
上单调递增
D．
的图象关于直线
对称
【答案】ABD
【分析】对于A 选项，因为
是奇函数，由
判断函数周期；对于B 选项，由
的周期为4，
分别求解
，
，
，
即可；对于C 选项，由函数对称求解即可；对于D 选项，由函数对称的定义求
解即可；
【详解】因为
是奇函数，所以
．因为
，所以
，
所以
，因此
是周期为4 的周期函数，故A 正确．
因为
时，
，所以
，所以
．
因为
是定义在
上的奇函数，
所以
．因为
的周期为4，所以
．因为
，所以
，
所以
，所以
，故B 正确．
因为
，所以
，即
，
所以
的图象关于直线
对称，故D 正确．
当
时，
，因为
时，
，所以
，
因为
的图象关于直线
对称，所以
，在
上单调递减，故C 错误．
三、填空题
4．（2026·广东广州·一模）已知函数
为奇函数，当
时，
（
），若
在
上单
调递增，则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据条件，利用函数的对称性，得
在区间
上单调递增，再由二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数
为奇函数，所以
关于点
中心对称，
又
在
上单调递增，则
在区间
上也单调递增，
又当
时，
（
），对称轴为
，
当
时，
的图象开口向下，且
，此时
在区间
上单调递减，不合题意，
所以
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
四、解答题
5．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求
的值；
(2)求在
上解不等式
(3)当
时，不等式
恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a 的值，进而可得所求函数值；
（2）由（1）可得函数在
的解析式，再由奇函数的对称性可求
上的解析式，再由指数函数的单调性可得
不等式的解集.
（3）由（1）可得函数在
的解析式，将不等式进行参数分离，进而转化为函数的最大值问题，再根据函数的单
调性可得.
【详解】（1）因为
是定义在R 上的奇函数，所以
，
又当
时，
，所以
，解得
.
所以
时，
且
是定义在
上的奇函数，
所以
.
故
.
（2）由（1）得，当
时，
设
时，
，且
是定义在
上的奇函数，
所以
，
所以当
时，
，
所以
，得
，
，即
，
所以
，得
，由指数函数
在R 上是单调递减函数，
所以得
，解得
.
故在
上的解不等式
的解集为
.
（3）当
时，
，由
，
得
，
，
，
即
，再由指数函数
和
都是R 上的单调递减函数，
所以函数
在R 上单调递减，也在
递减，
所以
，所以
.
故实数m 的取值范围为
.
