文档文本内容
第02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知识解构
知识点1 单调性 知识点2 最大（小）值 知识点3 奇偶性
知识点4 周期性 知识点5 对称性
题型破译 (含超链接）
题型
1 函数的单调性及单调区间
题型
2 复合函数的单调性
【方法技巧】求函数的单调区间的方法
题型
3 比较大小
题型
4 利用单调性解函数不等式
【方法技巧】利用单调性解不等式注意四点
题型
5 利用单调性求参数的取值范围
题型
6 利用函数单调性求最值（值域）
【方法技巧】一些重要函数的单调性
题型
7 函数奇偶性的判断
题型
8 根据奇偶性求解析式或函数值
【方法技巧】判断奇偶性的两个必备条件
题型
9 利用奇偶性求值或求参数
题型
10
利用奇偶性和单调性解不等式
题型
11
函数的周期性
题型
12
对称性
【方法技巧】中心对称与轴对称的相关结论
题型
13
由函数对称性求函数值或参数
题型
14
对称性、周期性的综合
题型
1 5 对称性、单调性的综合
题型
16
对称性求函数的解析式
题型
1 7 函数性质的综合应用
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
函数的单调性及其应用
全国Ⅰ卷T6（5 分）
函数的奇偶性及其应用
全国二卷T10（5 分）
全国** 错误的表达式
**卷T6（5 分）
函数的周期性
全国一卷T5（5 分）
函数的对称性
全国** 错误的表达式
**卷T11（6 分）
函数性质的综合应用
全国一卷T5（5 分）
考情分析
高考中函数的基本性质问题是必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查
函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是高考一轮复习的重点内容。题型以
选择题、填空题为主，分值为5-6 分，难度中档。
近三年考情显示，函数基本性质命题会侧重单调性与奇偶性、周期性、不等
式融合考查，强化含参函数单调性讨论与区间最值求解，注重数形结合思想运
用，题型灵活且实用性更强。
1.以选择题或填空题的形式出现，考查具体函数的单调性求参问题.
2.以选择题的形式考查函数奇偶性在函数不等式中的应用问题.
3.多选中考查抽象函数求值与相关性质分析问题
4.由对数函数与幂函数组合的函数图象对称性证明问题
5.根据函数图象的对称性探究参数的取值情况
复习目标
1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 单调性
1．函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数
的定义域为
，如果对于定义域
内某个区间
上的任意两个自变量的
值
，
[
当
时，都有
，那么就
说函数
在区间
上是
当
时，都有
，那么就
说函数
在区间
上是
图象描
述
自左向右看，图象是上升的
自左向右看，图象是下降的
设
，
，
若有
或
，则
在闭区间
上是 ；
若有
或
，则
在闭区间
上是 .
2．单调区间的定义
若函数
在区间
上是增函数或减函数，则称函数
在这一区间上具有（严格的）单调性，
区间
叫做函数
的单调区间．
必记结论
（1）若
均为区间A 上的增(减)函数，则
也是区间A 上的增(减)函数；
（2）复合函数的单调性：函数
在函数
的定义域上，如果
与
的单调性相同，那么
单调递增；如果
与
的单调性相反，那么
单调递减．简记：“同增异减”．
（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性 ；
✅注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，
同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是
”与“函数在区间
上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然
.
自主检测下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点
2 最大（小）值
前提
设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
条件
对于任意的
，都有 ；
存在
，使得
对于任意的
，都有 ；
存在
，使得
结论
为最大值
为最小值
✅注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值
域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
自主检测函数
在区间
上的最大值､最小值分别为（ ）
A．最大值为
，最小值为
B．最大值为
，最小值为
C．最大值为1，最小值为
D．最大值为
，最小值为
知识点3 奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于
轴对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于原点对称
必记结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；
（2）
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）若奇函数的定义域包括
，则
．
（4）若函数
是偶函数，则
．
（5）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数
为偶函数，函数
为奇函数．
②函数
（
且
）为奇函数．
③函数
（
且
）为奇函数．
④函数
（
且
）为奇函数．
✅注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，
也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
自主检测（1）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（多选）下列函数是偶函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 周期性
周期函数
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有___________，
那么就称函数
为___________，称T 为这个函数的周期．
必记结论
函数周期性与图象对称性二级结论
周期结论
“周期为1 倍差
”：
“周期为2 倍差
”：
；
“周期为4 倍差
”：
双对称
结论
的图象关于直线
与直线
对称
周期
的图象关于点
与点
对称
周期
的图象关于直线
与点
对称
周期
自主检测（1）已知函数
是周期为2 的奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
知识点5 对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数y=f ( x)的图像关于点A(a，b)对称的充要条件是：
f (x)+f (2a−x)=2b，即f (a−x)+f (a+x)=2b ；
（2）函数y=f (x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是：
f (a+x)=f (a−x)，即f (x)=f (2a−x)。
2．不同函数对称性
（1）函数y=f (a+x)与y=f (b−x)的图像关于直线_____________成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线
对称。
自主检测（多选）（2026·福建泉州·模拟）定义在
上的奇函数
满足
，则下列结
论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
是
图象的一个对称中心
D．
为偶函数
题●型●破●译
题型1 函数的单调性及单调区间
例1-1 下列函数为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-3【新思维】（2026·四川内江·模拟）函数
的单调减区间是____________.
例1-4 设函数
，且
.
（1）求
的值；
（2）用定义证明
在
上单调递增.
方法技巧 求函数的单调区间的方法
1．图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间．
2．复合函数法：
（1）求函数的定义域．
（2）求简单函数的单调区间．
（3）求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
【变式训练1-1】下列函数中，在定义域内函数值
随
的增大而增大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】若函数
的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-4·变考法】已知函数
．
（1）判断
的奇偶性，并证明；
（2）判断
的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
题型2 复合函数的单调性
例2-1（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2 函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-3 若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-4【新角度】已知函数
满足对任意的
，都有
成
立，则实数
的取值范围为____________.
【变式训练2-1·变载体】（2026·山西太原·模拟）若函数
在区间
上单调递增，
则a 的取值范围为（ ）
【变式训练2-2·变载体】函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】函数
的单调递减区间是____________.
【变式训练2-4】已知函数
则函数的单调增区间为____________.
题型3 比较大小
例3-1（2026·浙江金华·阶段检测）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上为增函数，
设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2【新思维】（2026·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-3【新思维】（2026·江西·二模）已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-4【新考法】（2026·陕西咸阳·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】（2026·福建厦门·二模）设函数
，记
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2·变载体】已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-4·变载体】设
，
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 利用单调性解函数不等式
例4-1（2026·安徽芜湖·二模）已知
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2（2026·贵州贵阳·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且对任意
，总有
，则不等式
的解集为（ ）
例4-3【新角度】设函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 利用单调性解不等式注意四点
（1）准确判断函数的单调性．
（2）不等式的一边没有”f“而是常数时应将其化为函数值f(x0)的形式．
（3）注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化．
（4）勿忘定义域对变量的限制．
【变式训练4-1·变载体】已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变载体】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-4·原创题】已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 利用单调性求参数的取值范围
例5-1 函数
在区间
上单调递减，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（2026·河北承德·模拟预测）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
例5-3【真题改编】已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 一些重要函数的单调性
（1）
的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减；
（2）
（
，
）的单调性：在
和
上单调递增，在
和
【变式训练5-1】若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】若函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围为____________.
【变式训练5-3·变载体】已知函数
（
且
）在
上单调递减，则实
数
的取值范围为____________.
【变式训练5-4】【新情境】（2026 高三·全国·专题练习）形如
的函数，我们称之为
“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数
在
上单调，则a 的取值范围
为____________.
题型6 利用函数的单调性求最值（值域）
例6-1 下列函数中，单调递增且值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2【新考法】已知函数
，则
在
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
例6-3【新思维】函数
的值域为____________.
例6-4（25-26 高三上·甘肃兰州·期中测试）已知函数
，
（1）求函数
的单调区间；
（2）求函数
的值域．
【变式训练6-1】函数
的最值为（ ）
A．最大值为8，最小值为0
B．不存在最小值，最大值为8
C．最小值为0，不存在最大值
D．不存在最小值，也不存在最大值
【变式训练6-2】【新考法】（多选）下列关于函数
，下列结论正确的有（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．当
时，
D．
在
上是增函数
【变式训练6-3】已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值也有最小值
B．有最大值无最小值
C．无最大值有最小值
D．无最大值也无最小值
【变式训练6-4】已知函数
.
（1）指出
的定义域；
（2）求
的最小值与最大值.
题型7 函数奇偶性的判断
例7-1 判断下列各函数是否具有奇偶性
（1）
（2）
（3）
（4）
；
（5）
（6）
例7-2【新角度】（多选题）已知函数
的定义域为R，
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
方法技巧 判断函数奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.
(2)判断
与
是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量
关系式(
(奇函数)或
(偶函数))是否成立.
【变式训练7-1】(多选)（2026·河南开封·二模）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2·变考法】（2026·山东济宁·阶段检测）设函数
，则下列函数中为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3·变题型】（多选）已知
，
都是定义在
上且不恒为0 的函数，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为奇函数
C．若
为奇函数，
为偶函数，则
为奇函数
D．若
为奇函数，
为偶函数，则
为非奇非偶函数
【变式训练7-4·变载体】（多选）已知定义在
上的函数
满足
，定义在
上
的函数
满足
，则（ ）
A．
不是奇函数 B．
既是奇函数又是偶函数
C．
是奇函数 D．
既不是奇函数又不是偶函数
题型8 根据奇偶求解析式或函数值
例8-1（26-27 高三上·河南新乡·阶段考试）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-2（2026·安徽滁州·二模）已知
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，
则
（ ）
例8-3（2026·河北张家口·一模）设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-1】（2026·山西太原·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式训练8-2】（2026·江西赣州·二模）设
是定义在
上的偶函数，且满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-3】（2026·山东东营·二模）已知奇函数
的周期为2，且当
时，
，
则
____________.
【变式训练8-4·变题型】定义在
上的奇函数有最小正周期为2，且
时，
．
（1）求
在
上的解析式；
（2）
取何值时，方程
在
上有解．
题型9 利用奇偶性求值或求参数
例9-1（2026·河北·二模）若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2（2026·天津河东·二模）已知函数
，当函数
为奇函数时，则
（
）
A．
B．
C．0
D．
例9-3 已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．-2
B．0
C．-3
D．-1
【变式训练9-1·变载体】（2026·山西朔州·一模）函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2·变载体】已知函数
为奇函数，则m＝（ ）
A．5
B．4
C．
D．1
【变式训练9-3·变载体】已知
为偶函数，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【变式训练9-4·变考法】已知
，
，则“
”是“
是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练9-5】（2026·山东威海·二模）已知函数
为偶函数，则
____________.
题型10 利用奇偶性和单调性解不等式
例10-1（2026·安徽黄山·一模）已知
是
上的奇函数，且
，若
在
上单调递减，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例10-2（2026·贵州贵阳·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且对任意
，总有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例10-3【新角度】（2026·河北邢台·二模）已知函数
则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-1·变载体】已知
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-2·变载体】已知函数
，且满足
，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-3·变考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且对任意
，总有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-4】(多选)（2026·河北邯郸·二模）已知函数
为奇函数，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
在
上单调递减
C．
的值域为
D．
的解集为
【变式训练10-5】（2026·广东茂名·一模）已知函数
，则不等式
的解集为____________.
题型11 函数的周期性
例11-1 已知奇函数
的周期为8，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例11-2（2026·湖南怀化·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
例11-3（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．2
D．
【变式训练11-1】（2026·广东深圳·一模）设
是定义在
上的奇函数，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式训练11-2】（25-26 高三下·江西·阶段检测）已知
是定义在
上的偶函数，且
，
当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【变式训练11-3·变考法】（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
是周期为
的周期函数
D．
【变式训练11-4·变载体】已知
，
．当
时，
，则
____________.
题型12 对称性
例12-1（2026·河北邢台·一模）函数
图象的对称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
例12-2（2026·广东广州·二模）若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
例12-3（2026·安徽阜阳·二模）已知
的定义域为
，
的图象关于点
对称，
，且
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．99
B．78
C．66
D．52
方法技巧 中心对称与轴对称的相关结论
1.中心对称结论：
（1）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（2）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（3）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
.
2.轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（2）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（3）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称；
【变式训练12-1·变载体】（2026·安徽滁州·二模）已知函数
的定义域为
，若满足
为偶函数，
且
为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-2·变载体】（2026·福建龙岩·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的最小正周期是2
C．
关于点
中心对称
D．
是奇函数
【变式训练12-3·变考法】已知函数
.
（1）若
为中心对称图形，求a 的值以及对称中心坐标；
（2）当
时，
，求a 的取值范围.
题型13 由函数对称性求函数值或参数
例13-1【新思维】（2026·西藏日喀则·模拟）若曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．2
C．0
D．1
例13-2（2026·山东·二模）已知函数
的图象关于点
对称，则
____________.
【变式训练13-1】【新思维】函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，其中
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【变式训练13-2·变载体】已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【变式训练13-3·变考法】已知函数
对称中心在直线
上，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-4】【新考法】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
的图
象关于坐标原点对称，则
的值为（ ）
A．20
B．50
C．70
D．90
题型14 对称性、周期性的综合
例14-1（2026·江西·二模）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
例14-2【新角度】定义在
上的函数
满足
，且
，当
时，
，当
时，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-1·变载体】已知定义域均为
的函数
，
满足
，
，
，若
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的图象关于y 轴对称
B．
为
的一个周期
C．
D．
【变式训练14-2·变考法】（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-3·变考法】（多选）已知定义在
上的函数
满足
，
是偶函数，
且对任意的
，
，当
时，都有
，则以下判断正确的
是（ ）
A．若
，则
B．函数
的最小正周期是4
C．函数
在
上单调递增
D．直线
是
图象的对称轴
题型15 对称性、单调性的综合
例15-1（2026·重庆·一模）已知函数
，若关于
的不等式
成立，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例15-2（2026·吉林·二模）已知函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递减，若
，
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-1·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-2】已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，
，
则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-3】（多选）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上单调递增
题型16 对称性求函数的解析式
例16【新考法】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数
．
（1）若函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式；
（2）当
时，求
的最大值；
【变式训练16-1·变载体】已知函数
与
的图象关于点
对称，
____________.
【变式训练16-2·变载体】已知函数
，与函数
关于原点对称
（1）求函数
的解析式
（2）已知
，求
的最大值及
取最大值时
的值．
题型17 函数性质的综合应用
例17-1 (多选)（2026·广东茂名·二模）已知
是定义在
上的函数，且
，
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
对称
D．
是
的周期
例17-2 (多选)（2026·湖南衡阳·二模）已知函数
的定义域为
，
和
均为偶函数，且当
时
，则（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．函数
是周期为2 的周期函数
D．函数
在
上单调递增
例17-3 (多选)（2026·四川广安·二模）【新思维】已知定义在
上的偶函数
满足
，
，设
在
上的导函数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练17-1·变考法】已知定义域为
的函数
的图象经过坐标原点，若
，
，且
为偶函数，则
（ ）
A．190
B．210
C．230
D．400
【变式训练17-2·变考法】（多选）函数
对于任意的
，满足
，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是函数
的一个周期
C．点
是
图象的对称中心
D．
【变式训练17-3·变载体】定义在
上的函数
满足：①对任意
，都有
；
②
的图象关于直线
对称：③
则下列说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
【变式训练17-4·变载体】已知定义在R 上且不恒为0 的函数
，对任意的
，都有
，则（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
是奇函数
D．若
，则
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
8．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
____________.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1．已知函数
是偶函数，而且在
上单调递减，判断
在
上单调递增还是单调递
减，并证明你的判断.
2．已知函数
，
.
（1）求
、
的单调区间；
（2）求
、
的最小值.
3．已知函数
是定义域为R 的奇函数，当
时，
.
（1）画出函数
的图象；
（2）求出函数
的解析式.
4．（1）根据函数单调性的定义证明函数
在区间
上单调递增.
（2）讨论函数
在区间
上的单调性.
（3）讨论函数
在区间
上的单调性.
5．设函数
的定义域为D，区间
，记
.
证明：
（1）函数
在区间I 上单调递增的充要条件是：
，都有
；
（2）函数
在区间I 上单调递减的充要条件是：
，都有
.
6．我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
（1）求函数
图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数
的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数
为偶函数”的一个推广结论.
