文档文本内容
第02 讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最
值
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 函数的单调性及单调区间.........................................................................................................2
题型02 复合函数的单调性.....................................................................................................................4
题型03 比较大小.................................................................................................................................... 6
题型04 利用单调性解函数不等式.........................................................................................................8
题型05 利用单调性求参数的取值范围
.........................................................................................10
题型06 利用函数的单调性求最值（值域）.......................................................................................12
题型07 函数奇偶性的判断...................................................................................................................14
题型08 根据奇偶性求解析式或函数值
.........................................................................................16
题型09 利用奇偶性求参数
.............................................................................................................18
题型10 利用奇偶性和单调性解不等式...............................................................................................20
题型11 函数的周期性...........................................................................................................................23
题型12 对称性....................................................................................................................................... 25
题型13 由函数对称性求函数值或参数...............................................................................................28
题型14 对称性、周期性的综合........................................................................................................... 30
题型15 对称性、单调性的综合........................................................................................................... 31
题型16 对称性求函数的解析式........................................................................................................... 33
题型17 函数性质的综合应用
.......................................................................................................... 34
重难·创新演练......................................................................................................................................................37
真题·实战演练......................................................................................................................................................47
模拟·基础演练
考查重点：查函数单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值的判定与应用，围绕单调区间判断、复
合函数单调性、奇偶性证明与性质运用、周期与对称关系推导、利用单调性求解不等式、参数范围
及最值值域等核心内容展开，突出单一性质运用与多性质综合解题能力。
题型01 函数的单调性及单调区间
1.（2026·河南洛阳·模拟检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，若
，函数定义域为
，
，即函数
不是奇函数，故
A 错误；
对于B，
的定义域为
，关于原点对称，但
，
故函数
不是奇函数，即B 错误；
对于C，函数
的定义域为
，但
，
故函数
不是奇函数，即C 错误；
对于D，
的定义域为
，且
，即函数
是奇函数，
且因
，函数
在
上单调递增，故D 正确.
故选：D.
2.（2026·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，函数
在
上单调递减，A 不是；
对于B，函数
的定义域为
，不具奇偶性，B 不是；
对于C，函数
定义域为R，
，不是偶函数，C 不是；
对于D，函数
定义域为
，
，是偶函数；
当
时，
，函数
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，D 是.
故选：D
3．已知
是奇函数.
（1）求
的值；
（2）若
的定义域为
，判断
的单调性并证明；
【答案】（1）
或
（2）函数
是
上的增函数，证明见解析
【详解】（1）解：由函数
是奇函数，
①若
，解得
，所以
，
则
，
又由
，可得
，解得
，所以
，
经验证：
，
所以函数
是定义在
上的奇函数，所以
；
②若
不存在时，可得
，此时
，
由
，可得
，解得
，所以
，
经验证：
，
所以函数
是定义在
上的奇函数，所以
；
（2）解：函数
是
上的增函数.
证明如下：由（1）知：函数
，其定义域为
，
任取
且
，
则
，
因为
，可得
，
所以
，即
，所以
是
上的增函数.
题型02 复合函数的单调性
4．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，因为函数
在定义域上单调递增，
则
在区间
上单调递增，函数
的图象开口向上，对称轴为
，
所以
，则实数a 的取值范围是
.
故选：A.
5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，由题意知，
在
上单调递减，且
在
上恒成立.
所以
，解得
.a 的取值范围是
.
故选：D
6．（25-26 高三下·河北沧州·月考）已知函数
在区间
存在单调递增区间，则正数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，解得：
，所以函数
的定义域为
，
令
，二次函数开口向下，对称轴为
，
由
，所以
，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
在
上单调递增，所以要使函数
在区间
上存在单调递增区间，
则
且
即
且
，解得
，即正数
的取值范围是
.
故选：D
7．（25-26 高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
是开口向上的二次函数，其对称轴为
；
因为函数
在区间
上单调递增，
所以内层函数
在区间
上单调递增且
在区间
上恒成立
即
，即实数
的取值范围是
.
故选：B.
8．（25-26 高三上·安徽六安·月考）函数
的单调递减区间为
.
【答案】
【详解】
，解得
，
函数
的定义域为
，
令
，当
时，
单调递减，
单调递增，
函数
在
上单调递减，
函数
的单调递减区间为
．
故答案为：
题型03 比较大小
9.（2025·陕西商洛·三模）已知
是偶函数，且
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
是偶函数，且
在
上单调递增，则该函数在
上为减函数，
因为
，
所以，
，且函数
在
上为增函数，
所以，
，
因为函数
在
上为减函数，则
，
故
，且
，
所以，
，
故选：D.
10．（2026·辽宁本溪·阶段检测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递减.设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
的图象关于直线
对称，所以
的图象关于
轴对称，所以
为偶函数，
又
在
上单调递减，所以
在
上单调递增.
由题得
，又
，因
，则
所以
，即
.
故选：D.
11．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】构造函数
，
当
时，
，故
在
上单调递增，所以
，
构造函数
，则
，
当
在
单调递增，所以
，即
，所以
.
故选：B．
12.（2026·四川成都·模拟检测）已知
，则下列关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设函数
，则
．
当
时，
，所以
在
上单调递增，故
，
即
，所以
．
设函数
，则
，所以
在
上单调递减，当
0
时，
，
故当
时，
，即
，所以
．
设
，则
，当
时，
，所以
在
上单调递增．故当
时，
，即
，所以
，则
，即
．
故选：D．
13.（2026·江西萍乡·模拟预测）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
而
，
，即
在R 上单调递增，
，
，即
.
故选：A.
题型04 利用单调性解函数不等式
14.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
均为
上的增函数，则
为
上的增函数，
所以若
，则
，解得
.
故选：D.
15.（2026·河北8 月·联合质检）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得函数
的定义域为
，
，
因为
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
因为
，所以
恒成立，函数
在
上单调递增，
则不等式
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A
16.已知
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【详解】由
，且定义域为R，
根据
在
上递增，则
在
上递增，
又
在
上递增，则
在
上递增，
结合奇函数性质且函数在R 上连续，则
在R 上递增，
由
，
所以
，解集为
或
.
故选：D
17.（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，即
时，
，
故
满足题意；
当
时，即
时，令
，则
+1 在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，又
，
所以由
可得
，解得
，又
，故
.
综上，实数a 的取值范围为
.
故选：A
题型05 利用单调性求参数的取值范围
18. “
”是“
在
上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当
在
上单调递减，设任意
，且
，
则
，
又
，所以可得
，故“
”是“
在
上单调递减”的充要条件，
故选：C
19.已知
，对
都有
成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，则
，
设函数
，则对
都有
成立，
所以函数
在区间
上单调递增，所以
，解得
，则
.
故选：B.
20.（2026·湖南衡阳·开学考试）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知，函数
在
上单调递增，需同时满足以下三个条件：
①
在
上单调递增；
②
在
上单调递增；
③当
时，
，因此
.
对于①，要使
在
上单调递增，则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，因为
，所以
，解得
；
对于②，因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增时，
；
对于③，
，所以
.
综上所述，实数
的取值范围是
，故D 正确.
故选：D
21.已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，
则实数
的取值范围是____________.（用区间表示）
【答案】
【详解】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意，所以
，
则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递减，则
.
故答案为：
题型06 利用函数的单调性求最值（值域）
22.已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】设
，
.所以当
时，
；
当
时，
；当
时，
.所以当
时，
的最小值为
3，
故选：C
23.（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数 B．
的单调递增区间为
C．当
时，
D．
的最小值为
【答案】ABD
【详解】
定义域为
，
，则
为偶函数，故A 正确；
当
时，
，令
，
为增函数，
在
单调递减，在
单调
递增，
时，
的单调递增区间为
，又
为偶函数，则函数
在
和
单调
递减，在
和
单调递增，所以
的单调递增区间为
，故B 正确；
当
时，
，且函数
在
单调递减，
，故C 错误；
函数
在
和
单调递减，在
和
单调递增，
，故D 正确．
故选：ABD
24.已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【详解】由题意得函数的定义域满足
，且
，
解得
，则函数
的定义域为
．由
得
，
则
在区间
内的最大值为
，最小值为
．
易知函数
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减，
所以函数
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减，
则函数
在
处取得最大值
，即
，
又
，所以函数
的最小值为6，即
．
所以
．
故选：A
25.（25-26 高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数
．
（1）若
，求
的值域；
（2）若
时，
的最小值为
，求函数
的解析式．
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）若
，则
.因为
，所以
，
所以
，所以
，所以若
，则
的值域为
.
（2）
.令
，
.
当
时，
在
上单调递增，因为
是增函数，所以
在
上单调递增.
所以
.当
时，
在
上单调递减，
因为
是增函数，所以
在
上单调递减.所以
.
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
因为
是增函数，
所以当
时，
取得最小值，即
.综上，
.
题型07 函数奇偶性的判断
26.函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
【答案】B
【详解】因为
，所以函数的定义域为
，关于原点对称．
又
，
所以
是偶函数,而
，故
不是奇函数，
故选：B.
27.下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于函数
，定义域为
，而
，∴该函数不是奇函数.故A 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是偶函
数，不是奇函数.故B 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为
，不是
.故C 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.当
趋
于正无穷时，
趋于正无穷；当
趋于负无穷时，
趋于负无穷；并且函数在定义域内是连
续的，
值域为
.故D 正确.
故选:D.
28.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A 选项，函数
的定义域为
，
因为
，
，故
，
所以，函数
不是奇函数，A 不满足；
对于B 选项，对于函数
，由
可得
，解得
，
所以，函数
的定义域为
，
因为
，故函数
为奇函数，
因为内层函数
在
上单调递减，
外层函数
为增函数，故函数
在定义域
上单调递减，B 不满足；
对于C 选项，函数
的定义域为
，
，
故函数
为偶函数，C 不满足；
对于D 选项，对任意的
，
，即函数
的定义域为
，
，即函数
为奇函数，
因为
，
内层函数
为增函数，外层函数
在
上为增函数，
所以，
在定义域
上为增函数，D 满足.
故选：D.
29.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知定义域为
的函数
不是奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若
是奇函数，则
；若
不是奇函数，则
．
故选：B．
30.（多选）已知
是定义在
上不恒为0 的偶函数，
是定义在
上不恒为0 的奇函数，则（
）
A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
为偶函数
【答案】BCD
【详解】由题意可知，
，所以
，所以
为偶函数，A 项错误；
由
，得
，所以
为奇函数，B 项正确；
因为
，所以
为偶函数，C 项正确；
因为
，所以
为偶函数，D 项正确.
故选：BCD.
题型08 根据奇偶性求解析式或函数值
31.（2026·河北邯郸·一模）若定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
是偶函数，所以
，由
，
得
，所以
，得
，所以
是以4 为周期
的函数，所以
．
故选：C
32.（2026·广东江门·一模）设
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】因为
是定义在R 上的奇函数，所以
，所以
，
又
周期为2，故
，所以
，又
，
所以
，所以
，所以
.
故选：B
33.（2026·陕西·二模）设
是定义在
上周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
为偶函数，所以
，又
的周期为2，故
.所以
.
故选：C
34.（2026·山东枣庄·二模）已知
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
是周期为2 的函数，所以
.因为
是奇函数，当
时，
，所以
，故
.
故选：A
35.（2026·上海静安·二模）已知定义在R 上的偶函数
的最小正周期为2，当
时，
，
则当
时，
.
【答案】
【详解】当
时，
，
，又
定义在R 上的偶函数，且最小正周期
为2，
，
．
故答案为：
36.（2026·江西上饶·二模）已知
为定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
.
【答案】
【详解】因为
是奇函数，所以
，又
为定义在
上的奇函数，则
，故
.
故答案为：
题型09 利用奇偶性求参数
37.（2026·江西赣州·一模）若函数
且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
且
为偶函数，且该函数的定义域为
，所以
，因为
，
，所以
，可得
，又因为
且
，解得
，此时
，因为
，故当
时，函数
为
偶函数，故
.
故选：B
38.（2026·山西吕梁·三模）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【答案】C
【详解】
因为
是奇函数，
所以
所以
验证：当
时，
,满足奇函数的定义.
故选：C
39.（2026·安徽安庆·二模）已知
，函数
为奇函数，则
（ ）
A．15
B．
C．
D．4
【答案】A
【详解】因为
是奇函数且
，则
，解得
，设
，
则
，令
，则
，因为
单调递增，且
，所以存在唯一
，使
，所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
最多有两个零点，观察到
，所以
是
时唯一零点，即
是
在
上唯一的解，经检验，
满足题意，所以
，则
.
故选：A
40.（2026·江西南昌·一模）已知函数
，若函数
为偶函数，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】令
，因为函数
为偶函数，且
为三次函数，所以
为奇函数，即
，所以
，
即
，即
，
所以
，解得
.
故选：B
41.（2026·湖北·模拟预测）若
为奇函数，则
的值为
.
A．
B．0
C．1
D．
或1
【答案】1
【详解】
，
，
为奇函数，
，
，
，
，
，
对于任意的
恒成立，
，
.
故答案为：1
题型10 利用奇偶性和单调性解不等式
42.已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
,
设
，
的定义域为R，
，所以
为奇函数，则
，
又因为
在R 上均为减函数，所以
在R 上为减函数，
由
可得
，即
，所以
，
解得：
或
.
故选：D.
43.（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数
在定义域
上单调递增，
，则使得不等式
成立的实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，可知函数
为
上的偶函数，
．因
为
在
上单调递增，
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调
递减．不等式
可化为
，所以
，解得
或
．
故选：A.
44.已知
是定义在R 上的奇函数，且
，若对任意的
，
，均有
成
立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为对任意的
，均有
成立，不妨设
，
则
，所以
，
令
，则
在
上递增，
因为
是定义在R 上的奇函数，所以
是定义在R 上的奇函数，
所以
在
上递增，
不等式
化为
，
因为
，所以
，即
，所以
，
则
，即：
，所以
，
或
，即：
，所以
，
所以不等式
的解集为
，
故选：A．
45.已知函数
是定义在
上的奇函数，且对任意的
，都有
，且
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为对任意的
，都有
，此时
，则
，
所以
在
单调递减，
因为函数
是定义在
上的奇函数，所以
在
单调递减，
，
所以当
和
时，
；当
和
时，
.
由
，即
，
所以
或
或
或
，
所以
或
或
或
无解，
所以原不等式解集为
故选：D
46.若定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，则满足
的
的取值范围
是
.
【答案】
【详解】因为函数
为
上的奇函数，所以
，又因为奇函数
在
上单调递减，且
，所以
在
上单调递减，且
，所以当
时，
，
当
时，
，所以由
可得：
①当
时，有
或
，解得：
，
②当
时，有
或
，解得：
，
③当
时，
满足题意，
综上得：
或
，所以满足
的
的取值范围是
，
故答案为：
.
题型11 函数的周期性
47.（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．5
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，通过其周期性，确定
的周期性，即可求解.
【详解】
可得：
，
即
，令
，则
，可得
，
所以
是以4 为周期的函数，所以
也是以4 为周期的函数，
所以
，
令
可得：
，结合
，可得
，所以
.
故选：B
48.（2026·湖北·一模）已知函数
为奇函数，且
为偶函数，当
时，有
，则
（ ）
A．2025
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
为奇函数，故
，
因为
为偶函数，故
，
故
，所以
，
故
是周期函数且周期为4，而
，
故
，
而
，故
.
故选：D
49.（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【详解】由
，所以
，所以
，
所以
，由
有
，
所以
，即
，所以函数
的周期为6，
所以
，
由
，
，
，
令
有
，
，
所以
，所以
，
令
有
，
，即
，
令
有
，即
，
，
所以
，
所以
，
故选：D.
50.（2026·安徽芜湖·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，则
.
【答案】0
【详解】由
是定义在
上的奇函数，得
，
由
为偶函数，得
，
则
，即
，则
，
由
，可得
，即
.
故答案为：
.
51.（2025·云南曲靖·二模）已知函数
满足
，且当
时，
，则
的值为
.
【答案】
【详解】由已知
可知，函数
为周期函数，且周期为4.
所以，
.
又当
时，
，所以，
，
.
故答案为：
.
题型12 对称性
52.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
是定义在
上的偶函数，
关于
中心对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．
的一个周期为6
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】选项A，
的图像向左平移个单位得到
，又
关于
中心对称，
关于
中心对称，
，将
式子中的
用
代替，得到
，
是定义在
上的偶函数，
，
，将此式子中的
用
代替，得到
，则
是一个以
为周期的周期函数，故选项A 错误；
选项B，
关于
中心对称，
的定义域为
，
，
是定义在
上的偶函数，
，故选项B 正确；
选项C，
，
，但是
根据题中已知条件无法得到，故选项C 错误；
选项D，
是一个以
为周期的周期函数，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出
，故选项D 错误.
故选：B.
53.（2026·辽宁锦州·二模）（多选）函数
，则（ ）
A．
B．
C．
存在对称轴
D．
存在对称中心
【答案】ABC
【详解】函数解析式可化为：
，
则
，选项A 正确；
因为函数
的图象关于直线
对称，且函数
的图象也关于直线
对称，
故曲线
也关于直线
对称，选项C 正确；
要证
，即证
.
当
时，左右两边均为0，等式成立.
令
，则
，则
在
上单调递增.
当
时，
，所以
.
当
时，
，所以
，所以
.
因此，
，都有
，当
时等号成立.
所以，当
时，有
，
又
，
所以
成立，
综上，
成立，选项B 正确；
对于D 选项，若存在一点
使得
关于点
对称，则
，
通过分析发现
不可能为常数，故选项D 错误.
故选：ABC.
54.（25-26 高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数
，则下列说法正确的是（
）
A．存在
，使得曲线
关于某点对称
B．存在
，使得曲线
关于某直线对称
C．存在
，使得曲线
关于某点对称
D．存在
，使得曲线
关于某直线对称
【答案】D
【详解】由
，得
或
，
则函数
的定义域为
若曲线
存在对称轴或对称中心，则对称轴或对称中心必在直线
上.
因为
，
当
时，
，所以此时
关于直线
对称.
又因为
不可能恒等于某个常数，
所以
不可能关于某个点对称.
故选：D.
55.（多选）定义在
上的函数
满足
为偶函数，且
，则下列说法中正确的有
（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称 B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的图象关于
成中心对称 D．
【答案】BCD
【详解】
为偶函数，
，
即
，
的图象关于直线
对称，
即函数
的图象关于直线
对称，故A 错误；
又
，
，
故函数
关于
中心对称，故C 正确；
而函数
有对称轴
，有对称中心点
，由对称性可得函数
关于直线
对称，故B 正确；
又
，
，
所以函数
为周期函数，周期是
，故D 正确．
故选：BCD.
题型13 由函数对称性求函数值或参数
56.（2026·浙江宁波·模拟检测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
有意义，则
，由
的图象关于点
对称，
得
的定义域关于数2 对称，由
不在
的定义域内，得不在
的定义域内，
则
，即
，此时
，
，
，
因此函数
的图象关于点
对称，符合题意，所以
.
故选：A
57.（2026·黑龙江哈尔滨·5 月模拟）已知函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【详解】对于函数
,
由
,
而
,
由该图象关于直线
对称,可得
,
则对应项系数相等,即
,解得
,则
.
故选：C.
58.（2026·江苏徐州·5 月模拟）若函数
关于直线
对称，则
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【详解】由题意函数
关于直线
对称，
故
，即
，
即
，即
,
故需满足
且
，即
，则
，
故选：B
59.（2026·福建厦门·5 月检测）若函数
的图像关于点
中心对称，则有序数对
为
.
【答案】
【详解】因为函数
的图像关于点
中心对称，
则
，即
，
整理可得
，结合
的任意性可知
，可得
，
所以有序数对
为
.
故答案为：
题型14 对称性、周期性的综合
60.（2026·山东泰安·阶段检测）已知函数
是定义在
上的可导函数，且
满足
，
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，所以函数
周期是
，且
的周期
也是
. 因为
，故
，故
的图象关于直线
对称.
对
求导得
，
.
则
故选：B.
61.定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则方
程
所有的根之和为（ ）
A．14
B．
C．12
D．
【答案】B
【详解】由
，
则
关于
中心对称，关于直线
轴对称，且
，
将
替换为
，则
，则
，即
的周期为4.
画出
以及
的函数图象，如图所示，
两个函数图象均关于
对称，则所有的根之和为
.
故选：B
62.（多选）已知函数
是定义在
上的偶函数，若
满足
，且
在
上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
D．
在
上单调递增
【答案】BC
【详解】对于A，由
，得
的图象关于
对称，又因为定义域为
，所以
，故A 不正确；对于B，因为
是偶函数，
，
，所以
的一个周期为8，故B 正确；对于C，由于周期性和奇偶性，
，故C 正确；对于D，因为
是偶函数且
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
又
的图象关于
对称，所以
在
上单调递减，由于周期为8，
在
上的单调性
与
上的单调性相同，所以
在
上单调递减，故D 不正确．
故选：BC．
题型15 对称性、单调性的综合
63.（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，且
，都有
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
满足
，可得函数
的图象关于
对称，
又由
，都有
，
根据函数单调性的定义，可得函数
在
上单调递减，
结合对称性知：函数
在
上单调递增，因为
，所以
，
又因为
，所以
.
故选：B.
64.（25-26 高三上·广东·阶段检测）已知函数
的定义域为
，图象关于
对称，且
，对于
任意的
，都有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可知，
在
上单调递增，又因为
关于
对称，
在
上单调递减.
，
关于
对称，
.
对于A、B、C：
在
上单调递减，
，
，故A 正确，B、C 错误；
对于D：
在
上单调递增，
，
，故D 错误.
故选：A.
65.（2026·河北张家口·一模）已知函数
满足
，当
时，
，则
不等式
的解集为
.
【答案】
【详解】根据题意，因为函数
满足
，所以函数
的对称轴为直线
，因为函
数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递减，
由
得
，
等价于
或
，
解得
或
，所以不等式
的解集为
.
故答案为：
题型16 对称性求函数的解析式
66.已知函数
与
的图象关于点
对称，则
.
【答案】
【详解】设
是
图象上任意一点，且点
关于点
的对称点为
，
可得
，解得
，将其代入函数
，可得
，所
以
，即
.
故答案为：
.
67.（25-26 高三上·安徽·期中测试）已知函数
满足
．
（1）证明：
；
（2）判断
的单调性，并写出推理过程；
（3）若函数
的图象与函数
的图象关于点
对称，求
的解析式．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
在
上单调递增，在
上单调递减，理由见详解；
（3）
.
【详解】（1）在
中，将
用
替代，
则
，即
.联立
和
，
解得
.因此
.
（2）因为函数
的定义域为
，
，所以
是偶函数，
又
，因为
在
内单调递增，
所以
在
内单调递减，因此
在
内单调递减.
由于
是偶函数，所以
在
内单调递增.
（3）设函数
图象上任意一点
的坐标为
，点
关于点
的对称点
的坐标为
.
由
，得
.因为点
在函数
的图象上，所以
.
即
，
.故
.
题型17 函数性质的综合应用
68.（25-26 高三上·浙江·期末测试）（多选）定义在
上的函数
满足：
①对任意
，都有
；②
的图象关于直线
对称；
③
，
.
则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】ABC
【详解】令
，得
，即
，
可得
，故函数
的图象关于
对称．
又因为
的图象关于直线
对称，故
，
所以
的图象关于直线
对称，
则
，可知
是以4 为周期的周期函数．
对于选项A：因为
的图象是将
的图象向左平移2 个单位，
故
的图象关于
轴对称，则
，
即
，所以
是偶函数
，故A 正确；
对于选项B：
的图象是将
的图象向左平移1 个单位，
故
的图象关于原点对称，
是奇函数，故B 正确；
对于选项C：由
，得
；
由
，得
，
所以
，故C 正确；
对于选项D：由题意得
，
，
，
则
，所以
，故D 错误．
故选：ABC．
69.已知函数
的定义域为
，函数
为奇函数，函数
为偶函
数，则（ ）
A．函数
的一个对称中心为
B．
C．函数
为周期函数，且一个周期为4
D．
【答案】AD
【详解】对于A，由函数
为奇函数，故
，
即
，即
，故函数
的一个对称中心为
，故A 正确；
对于B，由
，令
，则
，即
，
由函数
为偶函数，故
，即
，
令
，则
，故B 错误；
对于C，由函数
的一个对称中心为
，则
，即
，故函数
不以4
为周期，故C 错误；
对于D，由
，令
，有
，
由
，故
，故D 正确．
故选：AD．
70.已知函数
，对任意
，均有
，且
，
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
，令
，得
，解得
；
令
，则
，又
，所以
，得
，
对于任意的
都成立，所以
为奇函数，故B 错误；
令
，得
①，
把
换成
，得
②，
又
为奇函数，所以
，又
，
所以①
②得
，故D 正确；
令
，得
，所以
，又
，
所以
，则
，
所以函数
的周期为4，得
，故A 正确；
，等式两边同时对
求导，
得
，
令
，得
，即
③，
由
，得
，所以
为偶函数，
由
，得
，
所以
，所以函数
的周期为4.
令
，由③得
，
同理可得
，
所以
，故C 正确.
故选：ACD
71.（多选）（2026·河北保定·一模）已知定义在
上的函数
为偶函数，且满足
，
当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为周期函数
B．
的图象关于点
对称
C．当
时
D．
【答案】ACD
【详解】
，拿
换
，得
，
所以
，故
是周期为4 的周期函数，选项A 正确；
由
和偶函数性质，得：
，
因此
，图象关于直线
对称，而非点
对称，故选项B 错误；
利用
和已知区间
上的解析式
，
当
时，
，则
，
再由偶函数得
时
，
故当
时
，选项C 正确；
由
的周期
，
，所以
，
又因为
为奇函数，当
时，
，所以
，
从而
的值域为
，在此区间上
，所以
，
故
恒成立，选项D 正确.
故选：ACD
重难·创新演练
设题创新: 试题以抽象函数、新定义情境、导函数关联为创新载体，强化单调性、奇偶性、周期性、
对称性的融合考查，增加含参讨论、逆向推导、多结论判断与数形结合题型，注重逻辑推理与知识
迁移，贴合高考命题新趋势。
1.（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数
，则“
，
”是“
在
上的最
小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】先判断充分性：若函数
在
的最小值为3，
则“
，
”成立，但“
在
上的最小值为2”不成立，
所以“
，
”不是“
在
上的最小值为2”的充分条件.
再判断必要性：“
在
上的最小值为2”时，可得“
，
”成立，
所以“
，
”是“
在
上的最小值为2”的必要条件.
综上：“
，
”是“
在
上的最小值为2”的必要不充分条件.
故选：B
2.【新角度】（2026·河北沧州·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间为（
）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
，
【答案】B
【详解】
，则当
或
时，
，
单调递减区间为
，
当
时，
，
单调递增，
对
，有
且
，
则
，
又
，故
为偶函数，故只需分析
时的单调性，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
，故
，
在
上单调递减，则
单调递增；
当
时，
，
，故
，
在
上单调递减，
上单调递增，
则当
时，
单调递减，
时，
单调递增；
故当
时，
单调递增区间为
、
，
单调递减区间为
，
由偶函数性质可知，当
时，
单调递增区间为
，
故函数
的单调递增区间为
，
，
.
故选：B
3.【新考法】（2026·山东临沂·一模）函数
，若对任意
，都有
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又因
，
所以
等价于
，
则
在
上恒成立，也即
在
上恒成立，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，所以
，则
，故a 的取值范围是
.
故选：B
4.（2026·山西大同·一模）已知函数
的定义域为
，若对于定义域内给定的任意
，
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
满足对任意的
，
，
，都有
，
设
，则
，所以
，即
，所以
，令
，因为当
时，都有
，所以函数
在
上单调递增.又不等式
两边同乘以
，得
，
即
，即
，所以
，故
，
解得
，即
.
故选：A
5.（2026·天津滨海新区·一模）已知
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递增，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知，函数
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递增，
可得函数
在
上为单调递减函数，且
，所以
，
，因为
，所以
，
，
，
可得
，所以
，
即
，所以
.
故选：C
6.【新考法】已知函数
，
，若
，
，使得
，则实
数
的取值范围是( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意知，当
时函数
单调递增，所以
，
当
时，
为单调递增函数，所以
，
又因为
，
，使得
，
即
在
的最大值不小于
在
上的最大值，
即
，解得
，即
.
故选：A.
7.（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以由
在
上恒成立，可得
在
上恒
成立.
若
，即
，则
在
上单调递增，则
，得
.
若
，即
，则
，化简得
，得
.
若
，即
，则
在
上单调递减，则
，得
.
综上所述，a 的取值范围为
.
故选：D
8.【新角度】（2026·广东湛江·二模）已知定义在
上的可导函数
满足
是偶函数；
；
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【详解】由
，令
，得
，
所以
的图象关于直线
对称，所以
.将
换为
代入得
.又
，因此
，
即
，则
①，所以
，
对①两边求导得
，故
，故
和
的周期均为4，于是
，
.在
中，
取
得
.在
中取
得
，
所以
.
故选：B
9.【新情境】（2026·广东清远·二模）已知定义域为
的函数
满足
，且对于任意的
，当
时，都有
．设
，若
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知定义域为
的函数
满足
，故
为奇函数，
对于任意的
，当
时，都有
，故
在
上单调递增；
设
，由于
，故
的定义域为
，
又
，
故
为奇函数；
的定义域为
，
，即
为奇函数；
当
时，
单调递增，则
也单调递增，
故
在
上单调递增，结合
为奇函数，可知
在
上单调递增，
且
，故
在
上单调递增，又
，
故
，所以
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：C
10.（2026·重庆九龙坡·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递增. 设
，
，
. 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
是
上的偶函数，故
；又
在
上单调递减，由偶函数对
称性得
在
上单调递增.
是
上的奇函数，故
，且
；又
在
上单调递增，由奇函数单调性得
在
上单调递增，且
时
.由偶函数性质
，
，因此
，即
，因此A、B 错误；
由
在
上单调递增，得
，则
，
，比较大小得
， 又
在
上单调递减，因此
，故C 正确，D 错误.
故选：C
11.（多选）（2026·广西河池·二模）已知定义域为
的函数
，对任意实数
都有
，且
，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
为
的周期
B．
关于
对称
C．
D．
【答案】ABD
【详解】因为定义域为
的函数
，对任意实数
、
都有
，
所以令
，可得
，解得
或
，令
，
，
又
，若
，则
，显然不成立，故
，
所以
，所以
，可知C 错误；
令
，得
，即
，
在原函数方程中，令
，得
，即
，
所以
，由
，令
替换为
，得
，
，所以
，
，所以
，故函数
的一个周
期为4，得A 正确；因为
，所以
是偶函数，所以
，
又因为周期为4，所以
，所以
，所以
关于
对称，选项 B 正确；
因为
周期为4，所以
，所以D 正确.
故选：ABD
12．（多选）（2026·河北邢台·二模）已知
是定义在
上的奇函数，
，
，若
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】因为
为偶函数，所以
，所以
，所以
，所以
.又
为奇函数，所以
，
所以
，将
替换为
，得
，所以
，所
以
的周期为4，且
.
对于A：在
中，令
，得
.又
，所以
，A 错
误；对于B：
，B 正确；对于C：
，C 正确；
对于D：当
时，
，
，
，
，
所以
，
所以
，D 错误.
故选：BC
13.【新考法】（2026·陕西榆林·三模）（多选）已知函数
，
是定义在
上
的偶函数，且
在
上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】ABD
【详解】由题意知
，
当
时，易得函数
在
上单调递增，
又
，
所以
为奇函数，所以
在
上单调递增．
又
是定义在
上的偶函数，所以
.
因为
，所以
是奇函数，故A 正确；
因为
，所以
是偶函数．故B 正确；
因为
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
所以
．所以
，故C 错误；
因为
，
所以
，故D 正确．
故选：ABD
14.（多选）若函数
的定义域都为
，且
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】ABD
【分析】根据偶函数定义判断A，B，奇函数定义判断C，D.
【详解】函数
的定义域都为
，
对于A，因为
，所以
是偶函数，故A 正确；
对于B，因为
为奇函数，所以
，则
是偶函数，故B 正确；
对于C，因
为偶函数，则
，即
是偶函数，故C 错误；
对于D，因
，则
为偶函数，又因为
为奇函数，则
是奇函数，故D 正确.
故选：ABD.
15.【新考法】（2026·福建厦门·5 月模拟）已知函数
是定义在
上的函数，其中
是奇函数，
是偶函数，且
.若对任意
，都有
，则实数
的
取值范围是
____
.
【答案】
【详解】由题意，
，
因为
，所以
，即有
，
两式相加可得，
.因为
，
，所以
，
设
，所以
在
上单调递增，
所以
或
或
，解得
或
或
，所以，
故答案为：
真题·实战演练
高频考点：主要包括函数单调性与单调区间判断、复合函数单调性的 “同增异减” 法则、奇偶性
判定及应用、利用奇偶性与单调性解函数不等式、函数周期性与对称轴及对称中心的推导、利用单
调性求最值与值域，以及多种性质综合应用的小题，是高考选择、填空题的必考内容。
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
2.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，
，
，则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，
因为
，且
不恒为0，
则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
3.（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，则
，即
，解得
.
故选：D.
4.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
6.（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
7.（2024·上海·高考真题）若函数
是奇函数，则实数
.
【答案】0
【详解】
是奇函数，则
恒成立，所以
，解得
故答案为：0．
8. （2026·上海·高考真题）已知函数
是偶函数，当
时，
，若
，则
__________．
【答案】
【详解】因为函数
是偶函数，当
时，
，所以
，
解得
.
故答案为：
.
9.（2025·北京·高考真题）关于定义域为
的函数
，给出下列四个结论：
①存在在
上单调递增的函数
使得
恒成立；
②存在在
上单调递减的函数
使得
恒成立；
③使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个；
④使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是
.
【答案】②③
【详解】对于①，若存在在
上的增函数
，满足
，
则
，即
，
故
时，
，故
，
故
即
，矛盾，故①错误；
对于②，取
，该函数为
上的减函数且
，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取
，
此时
，由
可得
有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在
，使得
，
令
，则
，但
，矛盾，
故满足
的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
10.（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最
小值为
.
【答案】
【详解】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
