文档文本内容
第02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、
对称性、最值
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................6
考点一 根据函数解析式判断函数单调性..................................................................................6
考点二 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值............................................................7
考点三 根据函数单调性解不等式..............................................................................................7
考点四 根据函数单调性比较函数值大小关系..........................................................................8
考点五 最值问题..........................................................................................................................9
考点六 根据函数的奇偶性求参数值........................................................................................10
考点七 抽象函数奇偶性的综合应用........................................................................................11
考点八 函数周期性的综合应用................................................................................................12
考点九 函数对称性的综合应用................................................................................................12
考点十 周期性对称性的综合应用............................................................................................13
考点十一 周期性奇偶性的综合应用........................................................................................14
考点十二 奇偶性对称性的综合应用........................................................................................15
考点十三 函数性质的全部综合应用........................................................................................15
三阶突破训练...............................................................................................................17
基础过关......................................................................................................................................17
能力提升......................................................................................................................................18
真题感知......................................................................................................................................20
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第5 题,5 分
函数的周期性求函数值
函数奇偶性的应用
无
2025 年全国二卷，第10 题,6 分
由奇偶性求函数解析式
函数奇偶性的应用
求已知函数的极值点
2024 年新I 卷，第6 题,5 分
判断指数函数的单调性
判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2024 年新I 卷，第8 题,5 分
求函数值
抽象函数的关系
比较函数值的大小关系
2024 年新Ⅱ卷，第6 题,5 分
函数奇偶性的定义与判断
函数奇偶性的应用
根据函数零点的个数求参数范围
求余弦(型)函数的奇偶性
2024 年新Ⅱ卷，第11 题,6 分
函数对称性的应用
函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
2023 年新I 卷，第4 题,5 分
复合函数的单调性
函数的单调性求参数值
2023 年新I 卷，第11 题,6 分
函数奇偶性的定义与判断
函数极值点的辨析
2023 年新Ⅱ卷，第4 题,5 分
函数奇偶性的应用
奇偶性求参数
2022 年新I 卷，第12 题,5 分
抽象函数的奇偶性
函数对称性的应用
函数与导函数图象之间的关系
2022 年新Ⅱ卷，第8 题,5 分
函数奇偶性的应用
抽象函数的周期性求函数值
2021 年新I 卷，第13 题,5 分
由奇偶性求参数
无
2021 年新Ⅱ卷，第8 题,5 分
函数奇偶性的应用
函数的周期性的定义与求解
2021 年新Ⅱ卷，第14 题,5 分
函数奇偶性的定义与判断
基本初等函数的导数公式
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6 分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、
周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识点1 函数的单调性与单调区间
设函数y = f (x)的定义域是D，区间I ⊆D，如果对于任意的x1，x2∈I，当x1< x2时，都有 ，
则称y = f (x)在区间I 上是 ，（也称在区间I 上单调递增），如图所示.
当x1< x2时，都有 ，则称y = f (x)在区间I 上是 ，（也称在区间I 上单调递减）如图所示.
两种情况下，都称函数在区间I 上具有 （区间I 称为函数的 ，也可分别称为
和 ）
知识点2 函数的最值
最
值
最大值
最小值
条
函数y = f (x)的定义域为I，存在实数M满足：
件
（1）对于任意的x∈I，都有
（2）存在x0∈I，使
（1）对任意x∈I，都有
（2）存在x0∈I，使
结
论
M是函数y = f (x)的最大值
M是函数y = f (x)的最小值
知识点3 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗）
增函数（↗）
增函数↗
②减函数（↘）
减函数（↘）
减函数↘
③
为↗，则
为↘，
为↘
④增函数（↗）
减函数（↘）
增函数↗
⑤减函数（↘）
增函数（↗）
减函数↘
⑥增函数（↗）
减函数（↘）
未知（导数）
（2）复合函数的单调性
知识点4 函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数y = f ( x)的定义域为D，如果对D内任意
一个x，都有 ，且 ，则称函数
y = f ( x)是偶函数
关于 对称
奇函数
一般地，设函数y = f ( x)的定义域为D，如果对D内任意
一个x，都有 ，且 ，则称函数
y = f ( x)是奇函数
关于 对称
知识点5 函数的周期性
①周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有
x +T ∈D，且 ，那么函数f (x)就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期．
②最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就
叫做f (x)的 ．
若
，则
的周期为：
若
，则
的周期为：
若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
知识点6 函数的对称性
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
知识点7 周期性对称性综合问题
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
知识点8 奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
考点一 根据函数解析式判断函数单调性
典例1．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值
典例1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．若函数
，在
上是增函数，则实数
的取值范围是 .
跟踪训练1．（2025·江西·二模）若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．已知函数
满足对任意的
，都有
成立，
则实数
的取值范围为 .
考点三 根据函数单调性解不等式
典例1．（2025·四川·三模）已知函数
，则满足
的实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·全国·模拟预测）设函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．已知
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
跟踪训练2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
．若
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·河北石家庄·三模）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，
都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 根据函数单调性比较函数值大小关系
典例1．（2025·陕西商洛·三模）已知
是偶函数，且
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例4．（2025·全国·模拟预测）已知
，则下列关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·山东菏泽·一模）已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递减.设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·重庆·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上为增函数，
设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 最值问题
典例1．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数
，则
在
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
跟踪训练1．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
，则“
，
”是“
在
上的最小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
跟踪训练2．已知函数
，
，若
，
，使得
，则实
数
的取值范围是( ).
A．
B．
C．
D．
考点六 根据函数的奇偶性求参数值
典例1．（2025·江西·模拟预测）已知函数
为奇函数，则m＝（ ）
A．5
B．4
C．
D．1
典例2．（2025·北京海淀·三模）已知
，
，则“
”是“
是奇函数”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1．（2025·河南·模拟预测）已知
为偶函数，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
跟踪训练2．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
考点七 抽象函数奇偶性的综合应用
典例1．（2025·河南·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且对任意
，都有
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
典例2．（2025·山东菏泽·一模）（多选）已知函数
的定义域为
，且
，若
，
则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是增函数
D．
典例3．（2025·山西·二模）已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
跟踪训练1．（2025·江西南昌·模拟预测）（多选）已知定义在R 上的单调函数
，满足
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
可能是单调递减函数
C．
为奇函数
D．若
，则
跟踪训练2．（多选）已知定义在
上的函数
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
考点八 函数周期性的综合应用
典例1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数
满足
，且当
时，
，
则
的值为 ．
典例2．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．5
D．
跟踪训练1．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．2
D．
跟踪训练2．2025·浙江嘉兴·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
考点九 函数对称性的综合应用
典例1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·广东·一模）若函数
关于直线
对称，则
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
典例3．（2025·江苏苏州·三模）已知函数
，定义域为R 的函数
满足
，若函数
与
的图象有四个交点，分别为
，
，
，
，则
（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
跟踪训练1．（2025·河南·一模）已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
跟踪训练2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数
，
，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·陕西咸阳·二模）已知
是定义在
上的函数，且
为奇函数，若函数
的图象与函数
的图象有
个交点
，…，
，
且
，则
的值为（ ）
A．1010
B．1012
C．1014
D．1016
跟踪训练4．（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数
定义域为
，且满足
，
，若
的图象与
的图象的交点分别为
，
，……，
，
则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
考点十 周期性对称性的综合应用
典例1．（2025·宁夏吴忠·二模）定义在
上的函数
满足
，且
，当
时，
，当
时，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为
的函数
，
满足
，
，
，若
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的图象关于y 轴对称
B．
为
的一个周期
C．
D．
跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
是定义在
上的可导函数，且
满足
，
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·宁夏银川·一模）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则方程
所有的根之和为（ ）
A．14
B．
C．12
D．
考点十一 周期性奇偶性的综合应用
典例1．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数
是定义在
上周期为4 的奇函数，若
，则
．
典例2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，
为奇
函数，则下列式子中一定是定值的为 （ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．已知定义在
上的函数
，满足
是偶函数，
是奇函数，则
.
跟踪训练2．（2025·青海海南·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，且
，
，则
．
考点十二 奇偶性对称性的综合应用
典例1．（2025·河南郑州·三模）已知函数
是定义在
上的奇函数，函数
的图象关
于
对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
典例2．（2025·四川成都·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，则“其图象关于点
成中心
对称图形”是“函数
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1．（2025·重庆·三模）设函数
的定义域为
，
是
的导函数.若
是奇函数，
则
的图象（ ）
A．关于
对称
B．关于
对称
C．关于
对称
D．关于
对称
跟踪训练2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·重庆·二模）已知
是定义在
的奇函数，且
．若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
考点十三 函数性质的全部综合应用
典例1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知定义域为
的函数
的图象经过坐标原点，若
，
，且
为偶函数，则
（ ）
A．190
B．210
C．230
D．400
典例2．（2025·全国·模拟预测）设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任
意的整数
均有
，则
=（ ）
A．0
B．1013
C．2025
D．4050
典例3．（2025·海南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，函数
为奇函数，函数
为偶函数，则（ ）
A．函数
的一个对称中心为
B．
C．函数
为周期函数，且一个周期为4
D．
典例4．（2025·山东泰安·模拟预测）函数
对于任意的
，满足
，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是函数
的一个周期
C．点
是
图象的对称中心
D．
跟踪训练1．（2025·甘肃白银·三模）已知对于
，
，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
跟踪训练2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，若函数
与
都是奇函数，且
，则
（ ）
A．-3
B．3
C．-6
D．6
跟踪训练3．（2025·山东·一模）已知定义在R 上且不恒为0 的函数
，对任意的
，都有
，则（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
是奇函数
D．若
，则
跟踪训练4．（2025·江西宜春·二模）已知函数
，对任意
，均有
，且
，
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
一、单选题
1．（2025·四川泸州·模拟预测）已知
是奇函数，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
2．（2025·江西·模拟预测）已知函数
为偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）函数
的对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·广东·模拟预测）设
是定义在实数集上的周期函数，则“
的最小周期为1”是“
”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．充分必要条件
6．（2025·全国·模拟预测）已知定义在
上的函数
，则“
”是“函数
是偶函数”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025·河南·三模）若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，若实数a
满足
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2025·青海海东·三模）定义在
上的函数
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．2 为
的一个周期
10．（2025·湖南·模拟预测）若函数
的定义域都为
，且
为奇函数，
为偶函数，
则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
一、单选题
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
和它的导函数
的定义域均为
，且
，
为奇函数．若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．2025
D．2026
13．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R 的函数
，其图象关于直线
对称，已知
为
奇函数，且
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
14．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
的定义域为
，将
的图象绕原点旋转
后所得图象与原
图象关于
轴对称，且
，
，
，则
（ ）
A．2024
B．
C．2025
D．
15．（2025·全国·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
是定义在
上的奇函数，且
的一个周期为2，则（ ）
A．2 为
的周期
B．
C．
D．
二、多选题
16．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义
在上的函数
满足
,且当x>1 时，
， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
无解
C．
D．
18．（2025·河北·模拟预测）若函数
满足下列条件：
①
；
②
；
③在区间
上，
；
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
的周期为4
19．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2025·广东佛山·三模）已知函数
及其导函数
的定义域为
，若
为奇函数，
，且对任意
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
21．（2025·全国一卷·高考真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
26．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
29．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
30．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
31．（2025·全国二卷·高考真题）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，
则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
32．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
33．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
三、填空题
34．（2025·北京·高考真题）关于定义域为
的函数
，给出下列四个结论：
①存在在
上单调递增的函数
使得
恒成立；
②存在在
上单调递减的函数
使得
恒成立；
③使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个；
④使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
35．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为
36．（2024·上海·高考真题）若函数
是奇函数，则实数
.
37．（2023·上海·高考真题）已知
，则
的值域是 ；
38．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
