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第02 讲 函数的单调性与最大（小）值
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（24-25 高三上广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据初等函数的单调性判断即可.
【详解】对于A，
在
上单调递减，故A 不符合题意，
对于B，
在
和
上单调递增，在定义域
上不是单
调递增函数，故B 不符合题意，
对于C，
在
上单调递减，在
上单调递增，故C 不符合题意，
对于D，
在
上单调递增，故D 符合题意。
故选：D.
2．（2025·浙江金华·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最
小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域、由函数在区间上
的单调性求参数
【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解.
【详解】求导得
，
要满足函数
在区间
上单调递增，
则
，即
，
因为
，所以
，即
，
故选：B.
3．（25-26 高三上·全国·课后作业）若一次函数
在
上的最小值和最大值分别
为
和8，则
的值是（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的最值求参数
【详解】①当
时，由题可得
不符合题意；②当
时，由题可得
解得
．综上，
．
4．（24-25 高三上·四川自贡·阶段练习）已知函数
，
，函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值
【分析】将函数
的解析式配方，结合二次函数性质求其值域.
【详解】函数
，
可化为
，
所以函数
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
所以函数
的值域为
.
故选：A.
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
，若
，
则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解
不等式
【详解】由题意，得
解得
，函数
的定义域为
．又
，所以函数
是定义在
上的偶函数．
，所以
在
上单调递减．又
，所以
解得
．
6．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数
，
，若
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】含参指数函数的最值、函数不等式恒成立问题
【分析】根据函数单调性求出函数的最小值，利用恒成立问题列出不等式求解.
【详解】因为
，使得
，所以
因为函数
在
上单调递减，所以
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：A.
二、多选题
7．（2025 高三·全国·专题练习）设函数
在
上为增函数，则下列结论错误的是（ ）
A．
在
上为减函数
B．
在
上为增函数
C．
在
上为增函数
D．
在
上为减函数
【答案】ABC
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】对ABC 举反例即可判断，对D 直接根据函数单调性定义即可判断.
【详解】对于A，若
，则
，在
上不是减函数，故A 错误；
对于B，若
，则
，在
上不是增函数，故B 错误；
对于C，若
，则
，在
上不是增函数，故C 错误；
对于D，函数
在
上为增函数，则对于任意的
，
设
，必有
，
对于
，则有
，即
，
则
在
上为减函数，故D 正确．
故选：ABC.
8．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知命题
，则命题
成立的一
个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】充分条件的判定及性质、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实
数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】分
和
两种情况，结合二次函数的性质得到不等式，求出
，命题
成立的一个充分条件是
的子集，得到答案.
【详解】
，当
时，
，满足要求，
当
时，需满足
，解得
，
综上，
，命题
成立的一个充分条件是
的子集，
故
，
，
均满足要求.
故选：ACD
三、填空题
9．（25-26 高三上·全国·课后作业）定义在
上的函数
满足
，函数
在
上单调递 ；若
，则满
足
的解集是 ．
【答案】 减
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【详解】因为函数
满足
，所以
在
上单调递
减，且
，所以当
时，
，当
时，
，所以由
，得
或
解得
．
10．（24-25 高三上·四川广元·期末）已知
，若
，使得
，则实数m 的最大值是 ．
【答案】0
【知识点】对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题
【分析】利用单调性求出函数
在
上的最小值，再利用不等式
在
上有解求出
范围即可.
【详解】函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
于是
，由
，使得
，
得
，不等式
成立，即
，
，
而函数
在
上单调递减，当
时，
，因此
，
所以实数m 的最大值是0.
故答案为：0
四、解答题
11．（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数
.
(1)若
为偶函数，求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上是单调函数，求实数
的取值范围；
(3)若
对一切实数
都成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【知识点】根据函数的单调性求参数值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由奇偶
性求参数
【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案；
（3）由题意可得二次函数图象与
轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可
得答案.
【详解】（1）由函数
为偶函数，则
，可得
，
解得
.
（2）由二次函数
，则其图象开口向上，且对称轴为直线
，
由函数
在
上单调，则
或
，解得
或
.
（3）由题意可得
，解得
.
12．（24-25 高三上·四川宜宾·期末）定义在R 上的奇函数
（a，b 为常数）满
足
．
(1)求
的解析式；
(2)若
，都有
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】由奇偶性求函数解析式、对勾函数求最值、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据函数为奇函数，得到
，求出
，进而代入
求出
，得到解析式，验证后满足要求；
（2）先求出
在
上的最大值，从而得到
，求出答案.
【详解】（1）
是R 上的奇函数，
，
∴
，
又
，
∴
，
，
此时
，满足
是定义在R 上的奇函数；
（2）
，
，
∴当
时，
，
由对勾函数性质可得，
在
上单调递减，
故
，
∴
，
又
是奇函数，
，
，
，
或
.
B 相遇高考
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单
调区间求参数值或范围
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
C 素养提升
1．（2025·河南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，对于任意的
，都
有
．若
，且
在
时恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】构造函数
，可知
在
上单调递增，将所求不等式变形
为
，可得出
在
时恒成立，由此可得出关于实数
的不等
式组，解之即可.
【详解】因为
，所以由
，可得
，即
．
令
，可得
，则可知
在
上单调递增．
．
由
，可得
，即
，
则
在
时恒成立，只需
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：A.
2．（多选）（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）对于定义在区间D 上的函数
，若满
足：
，且
，都有
，则称函数
为区间D 上的“非增函
数”，若
为区间
上的“非增函数”，且
，又
时，
恒成立，则下列命题中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】求函数值、判断或证明函数的对称性、函数新定义、函数不等式恒成立问题
【分析】结合已知条件令
求解
判断A，先根据对称得
的图象关于
对称，然后结合题干通过“非增函数”定义得
，进而利用“非增函
数”定义判断B，利用题干法则得
，由B 知
，进
而利用“非增函数”定义得
判断C，根据“非增函数”定义先求得
，然后求解
即可判断D.
【详解】对于A，令
，则
，又因为
，所以
，故
A 正确；
对于B．因为
，所以
的图象关于
对称，
当
时，
；当
时，
恒成立，
令
，所以
，又因为
为区间
上的“非增函数”，
则
，所以
，所以
，故B 错误；
对于C，因为
，
由B 知
，当
时，
，所以
，
因为
，则
，
所以
，故C 正确；
对于D，
，即
，
所以由C 知
，故D 正确．
故选：ACD．
3．（多选）（山西省吕梁市2025 届高三第三次模拟考试数学试题）已知定义域为
的
函数
满足
，都有
，且
时，
，
则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的解集为
D．
【答案】ACD
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式
【分析】赋值可确定A，令
可得
知函数
关于
对称，不
是偶函数，通过变换
，可证明函数单调性，再利用函数的单调
性解不等式，由
可求D.
【详解】对A，令
，
，故A 正确；
对B，令
，
，故函数
关于
对称，不是偶函数，故B 错误；
对C，
，所以
，
即
，
，
，
，
时，
，故
，
所以
，即
在
上单调递增，
，所以
，解得
，故C 正确；
对D，
，
，故D 正确；
故选：ACD.
4．（2025·宁夏银川·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调
递减，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由题意，根据奇函数的性质，可得函数
与零的大小关系，利用整体思想，可
得答案.
【详解】由题意可得函数
在
上单调递减，
，
，
则当
时，
，当
时，
，
由
，则
，解得
，
由
，则
，解得
，
所以
的解集为
.
故答案为：
.
5．（24-25 高一下·浙江杭州·期中）定义：若对定义域内任意
，都有
，
（
为正常数），则称函数
为“M 型”增函数.
(1)若
，
，判断
是否为“1 型”增函数，并说明理由；
(2)若
，
，其中
为常数.若
是“2 型”增函数，求
的最小值.
【答案】(1)函数
是“1 型”增函数，理由见解析
(2)答案见解析
【知识点】复合函数的单调性、函数新定义、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据题意，只需判断
是否成立，即可求解；
（2）根据题意，当
时，
恒成立，根据
为增函数，得到
，
再分
和
两种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）函数
是“1 型”增函数.
理由如下：由函数
，
则
，
，
当
时，可得
，
，
所以
，即
，
所以
是“1 型”增函数.
（2）由
，
，因为函数
是“2 型”增函数，
所以当
时，
恒成立，
又因为
为增函数，所以
，
当
时，
，即
恒成立，
所以
，解得
；
当
时，
，
即
恒成立，
所以
，解得
，
综上可得，
,
所以
，
，
，
令
，
，
①当
时，即
时，当
时，
；
②当
时，即
时，当
时，
；
综上可得，当
时，
；当
时，
.
