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第01 讲 集合 ( 精练+相遇真题）
A 夯实基础 B 相遇高考 C 提升素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（湖北省武汉市2025 届高三下学期五月模拟训练数学试卷）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据交集定义计算求解即可.
【详解】集合
，则
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）设集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】交并补混合运算
【分析】利用集合的基本运算求解即可.
【详解】全集
，集合
，
则集合
，且
，
所以集合
.
故选：B.
3．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知集合
，
，若
，且
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据补集运算确定集合或参数
【详解】若
，且
，则
，即
.
4．（24-25 高三下·云南曲靖·期中）已知集合
，
，则
的
真子集个数是（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算
【分析】利用交集定义求出集合
的元素个数，再根据真子集个数的公式即可求得结
果.
【详解】因为集合
，
，则
，则集合
的元
素个数为3，
所以
的真子集个数是
，
故选：C.
5．（陕西省安康市2025 届高三下学期模拟（考前最后一卷）数学试题）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含
关系求参数
【分析】先解一元二次不等式求解集合
，再根据集合间的关系得出参数范围即可.
【详解】因为
，
，所以
，所以
.
故选：C.
6．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含
关系求参数
【分析】解不等式求得
，由已知可得
，进而可求实数
的取值范围.
【详解】由
，可得
，解得
，
所以
，由
，可得
，
又
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
二、多选题
7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合
、
，定义运算：
且
，
.若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【知识点】并集的概念及运算、集合新定义、交集的概念及运算
【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可.
【详解】对于A 选项，根据题中信息可得
，A 对；
对于B 选项，根据题意可得
，故
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对.
故选：ABD.
8．（23-24 高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合
，若
，
则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】AC
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】由
，分类讨论即可求解；
【详解】
，
因为
，
当
时，此时
；
当
时，此时
；
当
时，此时
；
故选：AC
三、填空题
9．（2025·山西·二模）设集合
，
，在集合
的所有元素中，绝对值最小的元素是 .
【答案】
【知识点】交集的概念及运算
【分析】由集合交集运算易得结果.
【详解】
，
，
显然集合
的所有元素中，绝对值最小的元素是
.
故答案为：
.
10．（2025·河北·模拟预测）已知集合
或
，若
，则
．
【答案】0
【知识点】根据两个集合相等求参数、补集的概念及运算
【分析】由题意可得
和2 是方程
的两根，利用根与系数的关系求得
，
可求
的值.
【详解】由
得，
，因为
或
，
所以
，所以
和2 是方程
的两根，
所以
，解得
，所以
．
故答案为：
.
四、解答题
11．（24-25 高三下·北京东城·）已知集合
，
.
(1)当
时，求
及
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含
参数的一元二次不等式
【分析】（1）解不等式可化简集合A，B，然后由并集及补集知识可得答案；
（2）由题分
，
，
三种情况结合题意可得答案.
【详解】（1）由
，
即
所以
当
时，由
，即
.
所以
；
（2）因为
，
若
，则
，由
得：
；
若
，则
，
成立；
若
，则
，由
得：
.
综上，实数
的取值范围是：
.
12．（24-25 高二下·浙江宁波·期中）设全集
，集合
，集合
，其中
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等
式、分式不等式
【分析】（1）解不等式求出集合
，再求交集可得答案；
（2）由
得
，建立不等式可得答案.
【详解】（1）由
得：
，解得：
，
即
，
；
当
时，
，
解得：
，即
；
；
（2）由（1）知：
；
由
得：
，
即
，
由
得
，解得：
，
即实数
的取值范围为
.
B 相遇高考
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集
，集合
，所以
，
又
，所以
，
故选：A.
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据包含关系分
和
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
C 素养提升
1．（2025·广东深圳·二模）已知集合
的子集中含有3 个元素的子集记为
.记
为集合
中的最小元素，若
，则
（ ）
A．55
B．70
C．89
D．630
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】用列举法找出满足条件的子集即可.
【详解】最小元素是2 的有
，共10
个；
最小元素是3 的有
，共6 个；
最小元素是4 的有
，共3 个；
最小元素是5 的有
，共1 个，所以
.
故选：A
2．（多选）（24-25 高三下·江西·阶段练习）已知集合
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【知识点】判断元素与集合的关系、并集的概念及运算
【分析】根据集合
和
中元素的定义，对不同情况下元素的运算结果进行分析，判断其
是否属于相应集合.
【详解】当
时，
，则
，
正确.
设
，
，则
未必属于
错误.
，因为
，
所以
，所以
，D 正确.
同理可得C 正确.
故选：ACD
3．（24-25 高三下·广东·阶段练习）在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称
为集合
内元素的个数，定义
为集合
之间的杰卡德距离．
现有两个文本集合
，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
/0.5
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断两个集合的包含关系
【分析】分析题干可知当
最大且
最小时，
取得最小值，由此
可算得答案.
【详解】由题意可知当
最大且
最小时，
最小，
因为
，所以
最大为，此时
，
且
此时最小为
，此时
，
若
，则
且
，此时
，
故
的最小值为
.
故答案为：
.
4．（24-25 高二下·湖北·阶段练习）记
，
表示
个元素的有限
集，
表示非空数集
中所有元素的和，若集合
，则
，若
，则
的最小值为 .
【答案】
14
【知识点】集合新定义、求等差数列前n 项和
【分析】根据定义确定
，从而可归纳出
中的元素，求和后解不等式可得．
【详解】当
，
时，
，
表示2 个元素的有限集，
由
可知，
或
或
，故
；
由题意知
，
故由
可得
，即
，
结合
，可以估算得
的最小值为14
故答案为：
；14.
5．（23-24 高三上·北京）设
是由有限个正整数组成的集合，定义
．如果
，称
是“好集”．例如，
时，
，所以
不是“好集”．
(1)判断
是否为“好集”，并说明理由；
(2)证明：如果
且
是“好集”，那么
是“好集”；
(3)求所有的集合
，使得
①
；
②
是“好集”；
③不存在“好集”
，使得
是
的真子集．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
，
，
，
，
.
【知识点】集合新定义
【分析】（1）直接根据定义即可判断；
（2）利用“好集”的定义，证明该结论；
（3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案.
【详解】（1）由于
，
，二者交集为空，故
是“好集”.
（2）显然此时
，
，而
，故
，所以
是
“好集”.
（3）由于
，
，
，
，
都不是“好集”，所以“好集”不能
包含这些集合中的任何一个.
那么，包含于
的“好集”就只可能是空集，单元素集，除
和
以外的双
元素集，以及
，
，经过验证，这些集合都是“好集”.
再加上
不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的
就只能是
，
，
，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可
解决相应问题.
