文档文本内容
第08 讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................1
高频考点一：求三角形面积（定值问题）.................................................................................................1
高频考点二：根据三角形面积求其它元素.................................................................................................8
高频考点三：求三角形面积最值..............................................................................................................13
高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）......................................................18
高频考点五：求三角形面积取值范围（锐/钝角三角形面积取值范围）................................................24
第一部分：基础知识
1、三角形面积的计算公式：
①
；
②
；
③
（其中，
是三角形
的各边长，
是三角形
的内切圆半径）；
④
(其中，
是三角形
的各边长，
是三角形
的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式
，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理
，
，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
，
.
(1)求A 及
的周长；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由余弦定理得
，再根据正弦定理求得
的值即可；
（2）根据余弦定理求得
，再根据三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因
，则
，
由余弦定理得，
，
因
，则
.
又因为
，由正弦定理
得
，又
，∴
.
所以
的周长为
.
（2）由
得，
，
由（1）
，所以
，得
，
故
.
例题2．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化简题中所给条件，得
，再根据
，得
；
（2）由正弦定理得
，因此求出
，再根据三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）在
中，
，由正弦定理及
得，
．所以
，
，
在
中，
，所以
．
（2）由正弦定理
得
，
，所以
．所以
，
．
例题3．已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，
，AC 边上的高等于
.
(1)求
的值；
(2)若
，求△ABC 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三角形的面积公式得出
；再利用正弦定理将边化为角得出
；最
后根据两角和的余弦公式及诱导公式可求解.
（2）结合（1）中
及余弦定理可得
；再根据三角形面积公式可求解.
【详解】（1）
因为AC 边上的高等于
所以
，即
由正弦定理得
，
又因为
，
所以
．
又因为
，
，
所以
，
故
（2）由（1）知
.
因为
，
所以
.
因为
，
所以由余弦定理可得：
，
即
，
则
，即
，解得
，
所以△ABC 的面积
.
精练高频考点
1．在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一，求
的面积．
条件①：
；
条件②：
边上的中线长为
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换得
即可求解；
（2）选条件①，说明
即可说明①不符合题意；选条件②，由余弦定理依次算得
即
可说明
存在且唯一，结合三角形面积公式计算
的面积即可；选条件③，
，结合
以及余弦定理得
，解得
，故③符合题意.
【详解】（1）因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
；
（2）若选条件①：
，则
，
此时
，但这与三角形内角和矛盾，此时
不存在；
若选条件②：
边上的中线长为
，
设
，由题意
，
，
，
由余弦定理有
，即
，
解得
或
舍去，
由余弦定理得，
，
此时
存在且唯一，且
的面积
；
若选条件③：
，
，
即
，
因为
，所以由余弦定理有
，即
，
即
，
因为
，所以
，
即
，解得
,
则
，此时三角形是唯一存在的，
所以
的面积为
.
2．在
中，角
，
的对边分别为
，且满足
．
(1)求
；
(2)若
满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，求
的面积．
条件①
；条件②
；条件③
．
注：如果选择多个组合分别解答，按第一组解答计分．
【答案】(1)
．
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意结合辅助角公式可得
，再结合
，从而可求解；
（2）当选择①③：利用余弦定理可求得
，
，从而可求得面积；当选择②③：利用正弦定理可求
得
，从而可求得面积；当选择①②：得到
，再由
，可得
，从而不
满足题意.
【详解】（1）因为
，则得
，则可得
，
因为
，则
，
所以
，解得
．
（2）选择条件①③：
由（1）可知
，
在
中，由余弦定理可得
，
因为
，得
，
解得
，所以
，所以
．
选择条件②③：
在
中，因为
，所以
，
又因为
，所以
．
因为
，在
中，由正弦定理可得
，
则
，所以
．
选择条件①②不满足题意，原因如下：
在
中，因为
，所以
，
由（1）可得
，则
，所以
，
故
，与
矛盾，此时不存在符合题意的
．
3．已知
的内角
的对边分别为
，且
，
，
.
(1)求
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
的面积.
条件①：
，
为锐角；
条件②：
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
；
(2)选①，
；选②，
【分析】（1）由
，可得
为锐角，利用二倍角公式求解即可；
（2）选①，由正弦定理可得
，从而得
，即可求得
，代入
求解即可；选②，由正弦定理可得
，再由余弦定理可得
，代入
求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
为锐角，
由
，可得
，
故
；
（2）选①，
，
为锐角，
，
，
由正弦定理，可得
，即
，
所以
，
所以
，
所以
；
选②，
，
，
，
，
由正弦定理，可得
，即
，
由余弦定理，可得
，即
，
解得
(负根舍去)，
所以
.
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
典型例题
例题1．在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，结合正弦定理及和角的正弦求解.
（2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形周长.
【详解】（1）由
，
，且
，得
，
在
中，由正弦定理得
，
整理得
，而
，则
，又
，
所以
.
（2）由
的面积为
，得
，即
，
由余弦定理得
，解得
，
所以
的周长
.
例题2．设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
的值；
(2)若点
在线段
上，
，
，
的面积为
，求
的长度.
【答案】(1)3
(2)1 或2
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）根据题设，结和三角形的面积公式及余弦定理易得
，设
，再利用
列方程即可求解.
【详解】（1）由
，
根据正弦定理得：
．
所以
则
．
因为
，所以
.
（2）由题意，
，则
，
由余弦定理得
，则
，解得
，
则
，设
，
，
由
，
则
，
则
，解得
或2，即
或2.
例题3．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
．
(1)求角
；
(2)若
，三角形
的面积为
．求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的
值；
（2）由三角形的面积公式可求出
的值，再利用余弦定理可求出
的值，即可求出
的值.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理得：
，
所以
．
由
，得
，所以
．
因为
，故
．
（2）由已知及（1）的结论得
，
，
则
，即
．
由余弦定理可得
，
即
，即
，
所以
，
故
.
精练高频考点
1．在
中，已知
，
，
．
(1)求
及
的正弦值；
(2)沿射线
方向延长至点
，使得
的面积为
，求
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据两角和正弦公式得出
，再应用正弦定理求出边长；
（2）先应用面积公式求出
，再应用余弦定理计算求解.
【详解】（1）在
中，
，
，
所以
，
，
所以
．
由正弦定理可得
，
所以
．
（2）由题意可知，
，
，
所以
，得
，
由余弦定理可得
，
所以
（负值舍去）．
2．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)设D 为边
的中点，若
，
的面积为14，求
的长
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解；
（2）先由题设求出
，接着由正弦定理求出
，进而由面积公式
求出
，再
在三角形
中由余弦定理
即可计算求解.
【详解】（1）由正弦定理可得
，
即
.
在
中，由
，得
，
所以
，又
，
，所以
，所以
.
（2）因为
，
，所以
，
所以
，
所以
，即
，
因为
，即
，所以
，
在三角形
中，由余弦定理可得
，
所以
.
3．在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
为
边的中点，
的面积为
，求CD.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，在结合余弦定理即可得解；
（2）利用三角形的面积和余弦定理可得到
和
，再结合向量即可求解.
【详解】（1）
，利用正弦定理得
，
化简得
，
，
，
；
（2）
的面积为
，
，
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，
，
为
边的中点，
，
，
.
高频考点三：求三角形面积最值
典型例题
例题1．已知在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，___________．在①
，
，且
；②
，且
中任选一个条件填在上
面横线中，并解答下列问题．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积的最大值．
注：若选择两个条件分别作答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，根据平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式、余弦定理结合题设化简求解即可；
选②，根据题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）根据余弦定理、基本不等式可得
，再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）若选①，因为向量
，
所以
，
即
，
即
，
即
，
即
，
可得
，即
．
由余弦定理得
，
又
，所以
．
若选②，由
，得
，即
，
又
，即
，根据正弦定理得
，
所以
，即
，
所以
，因为
，所以
，
因为
，所以
．
（2）由（1）知
，由余弦定理得
，
即
，所以
，即
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，
故
的面积的最大值为
．
例题2．在
中，角
的对边分别为
.已知向量
，
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
是
的中点，
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用向量平行的坐标表示可得
，再根据正弦定理边化角化简求解即
可；
（2）由
是
的中点可得
，再利用向量数量积的运算律可得
，结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为
，
，且
，
所以
，
由正弦定理得
，
因为在
中
，
，所以
，
，
所以
，
又
，所以
；
（2）因为
是
的中点，所以
，
，
因为
，所以
，化简得
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的面积
，
即
面积的最大值为
.
例题3．在
中，已知
分别为三个内角
的对边，且
．
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用辅助角公式将
化成
，结合角
的取值范围，可求角
.
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求
的最大值，再利用三角形的面积公式，可求三角形面积的
最大值.
【详解】（1）因为
，所以
又因为
.
所以
，故
.
（2）由余弦定理，
，所以
．
又因为
，所以
，即
.
当且仅当
时取等号．
所以
面积
.
所以
面积的最大值为
.
精练高频考点
1．已知
的内角
的对边分别为
，
的面积为，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式
及余弦定理
，结合题中条件即可求
解；
（2）用余弦定理结合重要不等式可得
，利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得
，所以
.
由三角形面积公式可知
及
，可得
，即
.
因为
，所以
.又
，所以
.
（2）由（1）知
.
因为
，所以由余弦定理可得
.
由不等式可得
，所以
，即
，
当且仅当
时等号成立，
有最大值为16.
所以
，
所以
的面积的最大值为
.
2．已知
的内角
的对边分别为
，且
的周长为
.
(1)求角
；
(2)若
外接圆的面积为
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形周长公式和正弦定理表示已知条件，对等式进行变形，根据余弦定理得到
，即可求
；
（2）根据外接圆面积求外接圆半径，利用正弦定理求
的值，结合余弦定理和基本不等式求得
最大
值，进而求得
面积的最大值.
【详解】（1）
的周长为
，
根据正弦定理，
，
依题意，
，即
，
，
，
，
，
根据余弦定理，
，且
，
故
.
（2）设
外接圆的半径为，依题意
，解得
，
根据正弦定理，
，即
，
根据余弦定理，
，
即
，
，
根据基本不等式，
，当且仅当
时取等，
即
，解得
，当且仅当
时取等，
因此，
面积
，当且仅当
时取等，
综上，当
时，
面积取最大值
.
3．在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
.
(1)求角A；
(2)若角A 的平分线交BC 边于D 且
，求
的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合三角变换公式和三角形内角和公式，可求
，进而确定角
的值.
（2）根据余弦定理探索边
满足的条件，再结合基本不等式和三角形的面积公式求面积的最小值.
【详解】（1）
，由正弦定理可得
所以
所以
，
因为
，所以
所以
，
.
（2）如图：
由
得
由
得
（当
时等号成立）
故
的面积的最小值为
.
高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）
典型例题
例题1．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)求角
；
(2)若
，
为边
上一点（不同于
，
两点），
，求
的面积的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为
，进而
可得结果；
（2）设
，
，由正弦定理得
，可得
，根据余弦定理求得
或
，分类讨论可求出三角形面积，再根据
的范围可得结果.
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理可知
，
因为
，
整理得
，
因为
，所以
，所以
，即
，
又因为
，所以
．
（2）如图，设
，
，由正弦定理有
，得
，
因为
，所以
，所以
，
在
中，由余弦定理可知，
，
即
，解得
或
．
若
，
，
则
的面积为：
，即
；
若
，则
，
则
，
因为
，
所以
，
综上可得
的面积的取值范围为
.
例题2．已知
的三个内角
的对边分别为
，
．
(1)求a；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得
，结合三角形内角和的性质，
即可求解；
（2）由（1）得到
，作
为边
上的高，设
，根据题意，求得
，得
到
的面积为
，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
又因为
，可得
，所以
，
因为
，可得
，所以
.
（2）由（1）知
，即
，
如图所示，
为边
上的高，不妨设
为锐角，
设
，
当
为锐角时，则
，故
，
当
为钝角时，则
，故
，
因为
，所以
，整理得
，
所以
的面积为
，
因为
，可得
，
当
时，
取得最大值，最大值为，且
，
所以
的面积的取值范围为
.
例题3．
中角
所对的边分别为
，其面积为，且
.
(1)求
；
(2)已知
，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解
，进而可求解
，
（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.
【详解】（1）因为三角形的面积为
，
则
，
所以
，又
，则
；
（2）由于
，所以
，
即
，
取等号，
故
，
故
精练高频考点
1．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)求
；
(2)若角
的平分线
交
于点
，且
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理求角；
（2）由三角形的面积结合角平分线的性质可得
，再利用基本不等式可得最值.
【详解】（1）由已知
，
得
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，
再由余弦定理得
，
又
，所以
；
（2）由
是角
的平分线，
则
，
所以
，
又
，
所以
，即
，
所以
，解得
，即
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，
即
面积的取值范围是
.
2．已知在
，角
所对的边分别是
，且
．
(1)求
的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角得到
，知值由范围求角即可；
（2）由（1）
，已知
，由一组对边角已知可得
，借助这一常数利用正弦定理化边为角，再
由三角恒等变换化简面积表达式求解最值.
【详解】（1）因为
，所以由正弦定理可得
，
整理可得
，又
，所以
．
（2）因为
，所以由正弦定理得
，
所以
，
又
，所以
，
所以
又因为
，可得
，
所以
（当且仅当
时，等号成立），
可得
，
由
，
,
即
面积的取值范围是
．
3．在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)若
，求角
的值；
(2)若
外接圆的周长为
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，根据余弦定理和正弦定理可得
，结合三角恒等
变化即可求解；
（2）利用圆的周长公式可得
外接圆的半径为
，再根据余弦定理和均值不等式求得
的范围，代入
三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以由余弦定理得
，解得
，
所以由正弦定理可得
，
由
，得
，即
，
又因为
，
，且
，
所以
，解得
．
由
知，
不是最大边，故
．
（2）因为
外接圆的周长为
，所以
外接圆的半径
，
又因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
由正弦定理可得
，所以
，
所以
的面积
．
因为
，所以
，
所以
．
高频考点五：求三角形面积取值范围（锐/钝角三角形面积取值范围）
典型例题
例题1．在锐角
中，内角
的对边分别为
且
.
(1)求角
；
(2)求
的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简得
，再由正弦定理即可求解；
（2）由正弦定理得
，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得
，最后由
是锐角三角形得
的范围，进而得解.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
为锐角三角形，即
，所以
，
由正弦定理
，所以
，因为
，所以
，
又因为
为锐角，所以
；
（2）由正弦定理有
，所以
，
所以
的面积
，
因为是锐角
，所以
，即
解得
，
所以
，所以
，所以
，
则
的面积的取值范围为
.
例题2．在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且边
，求
面积的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到
，从而得到
；
（2）方法一：由
为锐角三角形，得到
的范围，三角形面积公式表示出
的面积，整理成关
于
的函数，根据
的范围得到面积的范围；
方法二：根据直角三角形的临界条件，得到
为锐角三角形时，面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
，
因为
，所以
；
（2）方法一：因为
是锐角三角形，又
，
所以
，解得
，
，
因为
，∴
，则
，
从而
.
方法二：
若
为锐角三角形，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
又因为
，
所以
.
例题3．已知
是锐角三角形，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求A；
(2)若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可；
（2）利用三角形的面积公式求出
然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出
的取值范围即
可.
【详解】（1）
，
故
，即
故
，
且
，故
.
（2）由正弦定理
得，
，
因为
是锐角三角形，.
故
，即
所以
，故
，
且
故
面积的取值范围为
.
例题4．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)若
，求a；
(2)若
为钝角三角形，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角公式化简得到
，从而求出
，由余弦定理得到
；
（2）由正弦定理，结合
为钝角三角形，得到
，从而由三角形面
积公式求出
.
【详解】（1）因为
，所以
，即
．
因为
，
，所以
，
，
．
，解得
；
（2）
的面积
．
由正弦定理得
，
因为
为钝角三角形，所以
或
，
即
或
，故
，
所以
，
所以
．
故
面积的取值范围是
．
精练高频考点
1．已知
为锐角三角形，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
(1)求
；
(2)若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理，结合题意可得答案；
（2）由正弦定理，可得
，则
，然后由
可得
答案.
【详解】（1）由余弦定理，
，
结合题意得
，即
.
（2）由题意，
为锐角三角形，
,则
，.
由正弦定理得
，即
，
.
.
2．已知a，b，c 分别为锐角
三个内角A，B，C 的对边，且
.
(1)求A；
(2)若
，D 为BC 边的中点，求AD 长的最大值；
(3)若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式化简整理得
，结合三角形内角性质求角
的大小；
（2）由余弦定理、基本不等式可得
，再由
及数量积的运算律求模长，即可得；
（3）由正弦定理及三角形面积公式、三角恒等变换可得
，结合
求范围.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系知
，
所以
，
由
，则
，且
，可得
；
（2）由（1）及余弦定理有
，
所以
，当且仅当
时取等号，
D 为BC 边的中点，则
，
所以
，
综上，AD 长的最大值
；
（3）由
，
，
由（1）易知
，则
，
由
为锐角三角形，则
，则
，
所以
.
3．在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)若
，求
的面积S 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解；
（2）由正弦定理可得
，根据面积公式结合角的范围即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，所以
，因为
为锐角三角形，所以
；
（2）因为
，
，所以
，
由正弦定理
得
，
所以
，
所以
，
由
可得
，所以
，所以
，
所以
，即
.
4．已知
的内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，边长
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用边化角及辅助角公式即可求解；
（2）利用正弦定理、和差公式、辅助角公式计算可得
，根据题意求出角
的范围，利用正切
函数的性质求出
的范围，再根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）
，即
，
因为
，
所以
，
所以
，即
，
因为
为三角形的内角，
所以
，所以
.
（2）已知
，
，
所以
，
因为
，即
， 解得
，
所以
，
所以
，所以
，
.
5．
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出
，得解；
（2）根据三角形面积公式，正弦定理可得
，结合
，进而求出
面积的
取值范围.
【详解】（1）因为
，则
，又
，
所以
，则
，
又
，所以
，
因为
，解得
．
（2）因为
是锐角三角形，又
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
从而
，
故
面积的取值范围是
.
6．在
中，角
的对边分别为
，若
．
(1)求
；
(2)若
，证明：
是直角三角形．
(3)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得
，进而可得角
；
（2）根据余弦定理以及已知条件有
，
，据此可证明
，即可得到
结论；
（3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得
，结合锐角三角形条件即可求得
取值范围.
【详解】（1）由
可知
，从而由正弦定理得
.
故
，这就得到
，故
.
此即
，故
，得
或
，这里
.
结合
，就知道
.
（2）因为
，由余弦定理可得
.
又因为
，故
.
这就得到
.
所以
，即
，从而必有
是直角三角形．
（3）由正弦定理可得
，故
.
而因为
为锐角三角形，故
，解得
的范围是
.
从而
的范围是
，故
的取值范围是
.
