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6.5 外接球与内切球（精讲）
考向一 汉堡模型
【例1-1】．（2025·河南·二模）棱长均为2 的正三棱柱
的各个顶点都在球
的球面上，则球
的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，因为正三棱柱
的底面是边长为
的等边三角形，
设
的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为
，
可得
，则
，
所以正三棱柱
外接球
的体积为
.
故选：D
【例1-2】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦汉时期的数学成
､
､
就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称
之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知
平面
，四边形
为正方形，
，若鳖臑
的体积为2，则阳马
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设阳马
外接球的半径为
，
由题意有：
，
又
平面
，四边形
为正方形，所以
，
所以
，
所以阳马
外接球的表面积为：
，
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·贵州毕节·模拟预测）三棱锥
中，
底面
，则三棱锥
的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】作出图形示意图如下：设
外接圆的圆心为
，
因为
，
所以
的外接圆的半径为
，
设三棱锥
的外接球的球心为
，
又因为
底面
，
所以三棱锥
的外接球的半径
，
所以三棱锥
的外接球的表面积为
.
故答案为：
.
2．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥
的四个顶点均在球
的表面上，且
，
，
，
．若点
到底面
的距离为1，则球
的表面积为
【答案】
【解析】因为
平面
，所以
底面
，
因为点
到底面
的距离为1．所以
．
因为
平面
，
所以
平面
，而
平面
，故
，
，
即该球的直径为
所以球的半径为
．
故选：B
3．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2 倍，
则球的体积与圆柱的体积的比值是 ．
【答案】
【解析】设球的半径为
，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，则球的表面积为
，圆柱的表面
积为
，
所以
，得
①，
又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所以
②，
由①②解得
，所以球的体积为
，
圆柱的体积为
，所以
.
故答案为：
.
4．（2025·四川成都·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为
【答案】
【解析】如图，作
平面
于点
，连接
，
平面
，
平面
，所以
，
因为
平面
，所以
平面
，
平面
，所以
，同理得
，
四边形
为矩形，
，则
，
在
中，
,
由余弦定理得
，
即
，解得
，
设三棱锥
外接球的半径为
，则三棱锥
外接球即为四棱锥
外接球,即为以
为棱长的长方体的外接球，故由
得
，解得
，所
以球的表面积为
，故答案为：
考向二 墙角模型
【例2-1】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖
臑
中，
，
平面
，当该鳖臑的外接球的表面积为
时，则该鳖臑的体积为
．
【答案】
【解析】
如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，
则三棱锥
的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥
的外接球的半径为
，
三棱锥
的外接球的表面积为
，
，
，
，
，解得
，
.故答案为：
.
【例2-2】（2025·云南·模拟预测）已知棱长都相等的三棱锥所有顶点都在球O 的表面上．若三棱锥的所有棱长
之和为12，则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，正四面体的棱长为
，
如图所示，将棱长为
的正四面体
放入棱长为
的正方体中，
则该正方体的外接球与球O 是同一个球，则球
的半径为
，
故球O 的表面积为
.故选：D
【例2-3】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为
，
，
，则该四面体
的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】不妨设四面体为
，
，
，
，
可将四面体
放置在长方体中，如图所示:
设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则
，解得
，
，
，
则四面体
的体积
，
该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则
，
所以球的表面积为
.
故答案为：
；
.
【一隅三反】
1.（2025 山西）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设球
的半径为
，由于长方体的体对角线为球
的直径，则
，所以
，
因此，球
的表面积为
.故选：A
2.（2025 北京）已知正三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为
，则此三棱锥的外接球的表面积为
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【解析】正三棱锥的外接球即是棱长为
的正方体的外接球，所以外接球的直径
，所以
,外接球的表面积
，故选：C
3．（2025 河北）已知长方体
的体积为
，
，则当长方体
的表面积最小时，该长方体外接球的体积为__________.
【答案】
【解析】设
，
，因为
，由已知条件可得
，解得
，
所以，长方体
的表面积为
，
当且仅当
时，等号成立，
该长方体的外接球直径为
，则
，
因此，长方体
的外接球的体积为
.故答案为：
.
4.（2025 湖北）在四面体
中，若
，
，
，则四面体
的外接球的表面积为
【答案】
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以
，2，
为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z 长、两两垂直的侧棱
的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z 的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有
（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R 为球的半径），得2R2＝3，
所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．
考向三 斗笠模型
【例3-1】（2025·河北唐山·三模）已知一个圆锥的底面半径为
，侧面积为
，则该圆锥的外接球体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为，则
，解得
，故其高
.
取圆锥
的轴截面
，如下图所示：
由圆锥的几何性质可知，球心
在直线
上，设该圆锥的外接球
的半径为
，
由题意可知，
，
，由勾股定理可得
，即
，解得
，
故其体积
.故选：A.
【例3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，侧棱长都等于
，
其中
在球
的表面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知
，
，由余弦定理得：
所以
，
由正弦定理，底面
的外接圆半径满足
，即
，故
，
由于侧棱长
，则顶点在底面
上的投影为底面三角形的外心
，则
，
设
，由勾股定理
，即
，解得：
，
则外接球的球心
必在过
且垂直于底面的直线上，
设
到
的距离为
，则
，
，因
，故
，解得：
，
所以球的半径
，表面积为
.故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为
，其外接球体积为
，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3π
B．6π
C．9π
D．12π
【答案】C
【解析】
圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为
，则外接球体积为
，则
，即
，
设圆锥的高为
，圆锥的底面圆半径为
，则
，
由
，解得
，则此圆锥的表面积为
.
2．（24-25 高三下·云南·阶段练习）已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为
，若该四棱锥的顶点都在球O
的球面上，则球O 的表面积等于（ ）
A．9π
B．4π
C．
D．3π
【答案】A
【解析】正四棱锥
的外接球的球心在它的高
上， 由已知得
，得
，
易知正四棱锥底面外接圆半径
，球
的半径为
，由球的性质得
，解得
，
所以球O 的表面积为
.故选：A．
3（2025 湖南）在三棱锥
中，
，
，则三棱锥
外接球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知
是正三棱锥，设
是正棱锥的高，由外接球球心
在
上，如图，设外接球半
径为
，又
，则
，
由
得
，解得
，
所以表面积为
．故选：D．
考向四 切瓜模型
【例4】（2025 湖南）在四面体ABCD 中，已知平面
平面
，且
，
其外接球表面积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】四面体ABCD 中，取AB 的中点E，连CE，DE，如图：
因
，则
，有
平面CDE，
所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD 中心为O2，正△ABC 中心为O1，
在平面CDE 内分别过O1，O2作直线CE，DE 的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，
由球的截面小圆性质知，四面体ABCD 外接球球心在直线O1O 和直线O2O 上，即点O 是球心，连OA，O1A，OA 即
为球O 的半径，
因平面
平面
，则
，而
，
即有四边形OO1EO2是正方形，则
，
中，
，则
，
所求外接球的表面积
.故选：B
【一隅三反】
1.（2025 湖南）如图，边长为
的正方形ABCD 所在平面与矩形ABEF 所在的平面垂直，
，N 为AF 的
中点，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可知，
，
，可求
，
，
，
因为平面
平面ABEF，平面
平面
，
又
，
平面
，
所以
平面ABEF，
平面ABEF，所以
，
由
，
，得
，
又
，同理可得得
，又
，
所以
，所以
.
所以MC 为外接球直径，
在Rt△MBC 中
，即
，
故外接球表面积为
．
故选：A．
2．（2025 山东枣庄）已知三棱锥底面ABC 是边长为2 的等边三角形，顶点S 与AB 边中点D 的连线SD 垂直于
底面ABC，且
，则三棱锥S－ABC 外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．12π
D．60π
【答案】B
【解析】如图：
设底面正三角形
的外心为
，三角形
的外心为
，
分别过
、
作所在面的垂线相交于
，则
为三棱锥
外接球的球心，
再设底面正三角形外接圆的半径为，则
.
由已知求得
，可得
也为边长是
的正三角形，
所以
外接圆的半径为
，则
.
所以三棱锥
外接球的半径满足：
.
则三棱锥
外接球的表面积为
.
故选：B.
3．（2025 四川）已知三棱锥
的底面
是正三角形，侧面
底面
，且
，
，若该三棱锥的外接球的表面积为
，则AB 的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】设
的外接圆的圆心为
，连
，并延长交
与
，则
为
的中点，
设
为
的中点，因为侧面
底面
，
，平面
平面
，
平面
，
所以
底面
，又
底面
，所以
，所以
为三角形
的外接圆的圆心，
设该三棱锥的外接球的球心为
，连
，
，则
平面
，
平面
，
取
的中点
，则
，因为
底面
，所以
平面
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
所以四边形
为矩形，所以
，
因为三棱锥的外接球的表面积为
，所以
，得
，
设
，则
，
，
因为
，
，
，所以
，
所以
，
由
，得
，得
，即
.
故选：C.
4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知三棱锥
，平面
平面
，
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设
的外接圆圆心分别为
，三棱锥
外接球球心为
，
过
作平面
的垂线，过
作平面
的垂线，两垂线的交点即为三棱锥
外接球的球心.
取
中点
，则
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
所以
，同理，
，
因为
平面
，所以
，故四边形
为矩形.
因为
的外接圆半径
，即
，
所以
.
因为
的外接圆半径
，即
，
所以
，即球
的半径
，
所以三棱锥
外接球的表面积为
.
故选：B.
考向五 怀表模型
【例5】（2025·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2 的等边三角形，且二面角
的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．7π
B．8π
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，取BD 中点H，连接AH，CH
因为△ABD 与△CBD 均为边长为2 的等边三角形
所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC 为二面角A﹣BD﹣C 的平面角，即∠AHD＝120°
设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E，F
则由AH＝2
可得AE
AH
，EH
AH
分别过E，F 作平面ABD，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点
记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°
所以OE＝1，则R＝OA
则三棱锥外接球的表面积
故选：D
【一隅三反】
1．（2025·南昌）如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1 的正三角形，二面角A﹣BC﹣S
的大小为
，若S，A，B，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．3π
【答案】A
【解析】取线段BC 的中点D，连结AD，SD，
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS 是二面角A﹣BC﹣S 的平面角，∴∠ADS
，
由题意得BC⊥平面ADS，
分别取AD，SD 的三等分点E，F，
在平面ADS 内，过点E，F 分别作直线垂直于AD，SD，
两条直线的交点即球心O，
连结OA，则球O 半径R＝|OA|，
由题意知BD
，AD
，DE
，AE
，
连结OD，在Rt△ODE 中，
，OE
DE
，
∴OA2＝OE2+AE2
，
∴球O 的表面积为S＝4πR2
．
故选：A．
2．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥
的底面边长为6，二面角
的余弦值为
，则
正三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，正三棱锥
，作
平面
于点
，则
为正三角形
的中心，
取
的中点
，连接
，设外接球心为
，则
在
上，连接
.
由已知
的边长为6，由于
，
即二面角
的平面角，则
.
因为
，所以
，
所以
，
.
设外接球
的半径为，则
，
，
又
，
，
所以
，解得
.
故正三棱锥
外接球的表面积
.
故选：C.
3．（2025 湖南）已知菱形
的边长为4，对角线
，将
沿着
折叠，使得二面角
为
，则三棱锥
的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】如图所示：
将
沿
折起后，取
中点为
，连接
，
，则
，
，
所以
即为二面角
的平面角，所以
；
与
是边长为4 的等边三角形.
分别记三角形
与
的重心为
、
，
则
，
；即
；
因为
与
都是边长为4 的等边三角形，
所以点
是
的外心，点
是
的外心；
记该几何体
的外接球球心为
，连接
，
，
根据球的性质，可得
平面
，
平面
，
所以
与
都是直角三角形，且
为公共边，
所以
与
全等，因此
，
所以
；
因为
，
，
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
；
又
平面
，所以
，连接
，则外接球半径
，
所以外接球表面积为
.故答案为：
.
考向六 矩形模型
【例6】（2025·安徽合肥·三模）将边长为4 的正方形ABCD 沿对角线BD 进行翻折，使得二面角
的
大小为
，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】翻折后所得图形如下图所示，易知BD 的中点O 为球心，
故该四面体的外接球体积
，
又
，
平面AOC，
，
所以
平面AOC，
二面角
的大小为
，
，
,
故所求体积之比为
，故选：D．
【一隅三反】
1．（2025·安徽）在四面体
中，
，
，则四面体
的外接球的
表面积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，
所以
，
可得
，所以
，
即
为外接球的球心，球的半径
所以四面体
的外接球的表面积为：
.故选：B
2．（2025 福建）四面体
中，
，
平面
，
，
，
，则该
四面体外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由已知可得
与
为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为
的中点O，
因为
,且
,所以
,
所以
,
所以四面体
的外接球半径
,则表面积
.故答案选：C
3．（2025 海南）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖
臑”.如图所示的鳖臑
中，
面
，
，若
，
，且顶点
均
在球
上，则球
的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意可知：球
为鳖臑
的外接球，
面
，
面
，
，
，
又
，
面
，
，
面
，
又
面
，
；
取
中点
，连接
，
，
，同理可知：
，
点
与球
的球心
重合，球
的半径
，
球
的表面积
.故答案为：
.
考向七 折叠模型
【例7】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角
的大小为
，且
，
，
，点
、
、
、
在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，则
为
外接圆的一条直径，
在
外接圆上取一点
，使得
，则
，
且三棱锥
和
的外接球是同一个球，
取线段
的中点
，连接
、
，如下图所示：
因为
，
，则
，
，
由二面角的定义可知，二面角
的平面角为
，
因为
，则
，且
，
所以
，
的外接圆半径为
，
设
的外心为
，过点
在平面
内作
，
过点
在平面
内作
平面
，设
，
因为
，
，
，
、
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
，
、
平面
，所以
平面
，
同理可证
平面
，故
为三棱锥
外接球的球心，如下图所示：
由题意得
，
，
，
所以，
，
所以，球
的半径为
，
因此，球
的表面积为
，
故选：A.
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥
的底面边长为6，二面角
的余弦值为
，则
正三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，正三棱锥
，作
平面
于点
，则
为正三角形
的中心，
取
的中点
，连接
，设外接球心为
，则
在
上，连接
.
由已知
的边长为6，由于
，
即二面角
的平面角，则
.
因为
，所以
，
所以
，
.
设外接球
的半径为，则
，
，
又
，
，
所以
，解得
.
故正三棱锥
外接球的表面积
.
故选：C.
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形
中，
，
是边长为3 的正三角形．
将该四边形沿对角线
折成一个大小为
的二面角
，则四面体
的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，取
的中点
，连接
，
设
为正
的外心，则点
在
上，且
．
设
为四面体
的外接球球心，则
平面
．
，则
为
的外心，
平面
．
二面角
的大小为
，则直线
与平面
成
角，
．
是边长为3 的正三角形，则
，
．
在
中，
．
在
中，
，则
，
四面体
的外接球半径
，
.
故选：B．
3．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥
中，
，若三棱锥
的外接球表面积为
，则二面角
的大小为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】设
外接圆圆心分别为
，外接圆半径为
，三棱锥外接球半径为
，
过
分别作平面
，平面
的垂线，交点即为三棱锥
的外接球心
，
，
，即
，
所以
在
中点处，
，
，
，
，且
在
垂直平分线上，
所以
，
三棱锥
的外接球表面积为
，
，
，
又
平面
，
平面
，所以
，
则
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
，所以
共面，
所以
就是二面角
的平面角，
或
.
故选：A.
考向八 台体的外接球
【例8-1】（2025·河南·模拟预测）已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1 和2，它的两个底面的圆周
在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图.
易得球心
在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为
，
则球心到下底面圆的距离为
，由勾股定理得
，解得
，
则外接球的半径
，表面积为
.
故选：A.
【例8-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台
，
，
，侧棱与底面所成
的角为
，则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，正四棱台的高为
，
其外接球的球心O 在正四棱台的高上，如图所示.
不妨设O 距离下底面距离为x，则
，解得
，即正四棱台下底面中心即为球
心，
则外接球的直径为
，表面积为
，故选:C.
【一隅三反】
1．（2025·重庆·三模）正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为
，则其外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，设正三棱台上、下底面的中心分别为
的中点分别为
，
连接
，由正三棱台的性质可知 ，
易知正三棱台外接球的球心在直线
上，设球心为
，如图所示，
过
作
于
，
因为正三棱台上、下底面边长分别为3、6，所以
，
，
因为
分别为
、
的中心，所以
，
根据梯形的性质结合勾股定理得出
，
，两边平方整理得
，则由勾股定理得出
，
设
，则
，两边平方整理得
，
则其外接球的表面积为
.故选：C
2．（2025·安徽·模拟预测）在高为
的正四棱台
中，
，
，则此四棱台的外接
球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，正四棱台
中，
、
分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，
是正四棱台的高，
．
，
，
由对称性外接球球心
在直线
上，设球半径为，连接
，
，
，
若
在线段
上（如图），由
得
，
因为
，
，所以方程无实数解；
因此
在
的延长线上（如图），即在平面
下方，
因此有
，解得
，所以球表面积为
．故选：D．
3．（2025·江苏南通·三模）已知正四棱台上底面边长为
，下底面边长为
，高为3，则该四棱台外接球
的表面积为 ．
【答案】
【解析】上底正方形外接圆圆心
，半径
，下底正方形外接圆圆心
，半径
，
设球心O 半径R，
，
，
该四棱台外接球的表面积
.
故答案为：
.
考向九 向量法求外接球
【例9】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC 中，平面
平面
，且平面ABC 是边长为
的等边三角形，
，
，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积为（ ）
A．52π
B．39π
C．26π
D．13π
【答案】A
【解析】令
是三棱锥P-ABC 外接球的球心，
是
在平面
上的射影.，
分别为
的中点，则
∥
.
∵
，∴
.
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，∴
平面
∵
是等边三角形，∴
，
是
的重心.
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系.
∵
，
，则
，
∴
，
.
设
，由
,得
，
化简得
解得
.
∴三棱锥
外接球的表面积为
.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥
中，
底面ABC，
，
，
，点D 满
足
，三棱锥
的外接球为球O，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小
值之差为
，则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，因为在三棱锥
中，
底面ABC，
，所以将其补为一个长方体（长为
4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O 为长方体体对角线中点，设外接球半径为R，
以A 为坐标原点，AB、AC、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
，
过D 作求O 的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为
，
最小截面为：与OD 垂直，半径为
，面积为
.
因为过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为
，
所以
，解得
，
则
，外接球表面积为：
.
故选：D
2．（24-25 高三下·山西·期中）（多选）已知正方体
的棱长为2，E 是
的中点，点F 是面
上的动点（包括边界），且满足
平面
，则下列结论正确的是（ ）
A．动点F 的轨迹的长度为
B．三棱锥
体积的取值范围为
C．当三棱锥
体积取最大值时，其外接球的表面积为
D．当三棱锥
体积取最小值时，其外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A，取
的中点
，连接
，
所以
，又易证
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
为棱
的中点，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
，
又
，
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
，
又
为正方形
内一个动点（包括边界），且
平面
，
所以
为
的轨迹，又
，所以动点
的轨迹的长度为
，故A 错误；
对于B，
，其中
为
到
的距离，
所以
最小时，
最小，显然
在点
处时，
最小，
此时
，
最大时，
最大，显然
在点
处时，
最大，
此时
，故B 正确；
对于C，如图，当三棱锥
体积最大时，
在
处，
如图建立空间直角坐标系，设球心为
，外接球的半径为
，
易知
，
所以
①，
②，
③，
④，
联立①②③④解得，
，所以
，
故外接球的表面积为
，所以选项C 正确；
对于D，因为
是直角三角形，
所以外接球的球心在过
中点
且与平面
垂直的直线上，
设外接球的球心为
，由
，可得
，
所以
，解得
，
解得
，所以外接球的表面积为
，故D 正确.
故选：BCD
3．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
，
与底面
所成的角分别为
和
，已知
，当四棱锥
体积最小时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图，以A 为原点，以AB、AD 所在直线为x 轴，y 轴空间直角坐标系，
则
，
设
，P 在平面
的投影为
，
因为PA 与底面的夹角
，所以
，
PC 与底面的夹角
，
所以
，
由
，
即
，
所以点P 在底面的投影P'的轨迹是一个圆，圆心在
，半径
，
因为
，
当四棱锥
体积最小时，此时
最小，
表示圆
的点到原点距离，
而
，所以原点
在圆内，
所以圆
上的点到原点的最小距离为半径
减去原点到圆心的距离，
所以
的最小值为
，
所以
，
所以当四棱锥
体积最小时，P 的坐标为
，
因为正方形
的外接圆的圆心即为
交点O
，半径为
，
所以四棱锥
外接球的球心为
，则球心到A 和P 的距离相等，
则
，
解得
，所以球心为
，半径为
，
所以外接球的表面积公式为：
,故答案为:
考向十 内切球
【例10-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2 倍，那么该圆锥的表面积与
圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图所示，作圆锥轴截面
及其内切圆
，与三角形切于
两点，
设圆锥底面半径为
，内切球半径为，则
，由勾股定理易知
，
所以在
中，
，
由三角形内切圆可得
，可得
，即
，化简得
，
圆锥表面积为
，内切球表面积
，
则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比
，
故选：B.
【例10-2】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1 的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为半径为1 的球与正三棱柱的各个面均相切，
所以正三棱柱的高
，底面正三角形的内切圆半径为1，
则底面正三角形的外接圆半径
，
所以该正三棱柱外接球半径为
，
所以外接球的表面积为
．
故选：D．
【例10-3】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为
，母线长为
，则内切于该圆
台的球体体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为
，由题知
，
又母线长为
，则圆台的高为
，
若球与圆台的下底面和侧面相切，
设球的半径为
，球心为
，圆台的上、下底面的中心分别为
，
与圆台侧面的一个切点为
，过球心的轴截面如图所示，
连接
，易知
，则
，又
，
由
，得到
，解得
，
又
，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切，
所以
，球的体积为
，
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）若一个正方体内切球的表面积为
，则这个正方体的体积为 .
【答案】
【解析】一个正方体内切球的表面积为
，假设内切球半径为，
则
，所以可得正方体的边长为
，
即正方体的体积为
，
故答案为：
.
2．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为
，内切球的体积为
，则这个正四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．16
【答案】C
【解析】因为内切球的体积为
，所以内切球的半径为1.
如图所示，设球与正四棱锥底面切于点
，侧面切于点
，设
，延长
交底面于点
.
因为正四棱锥的底面边长为
，
所以
.
又
，所以
，即
，解得
.
所以
，所以正四棱锥的体积为
.
故选：C.
3．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为
（ ）
A．48π
B．36π
C．24π
D．12π
【答案】A
【解析】
因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到
所以外接球半径
，
∵
，∴
因此圆锥外接球的表面积为48π.
故选：A.
4．（24-25 高三下·陕西西安·阶段练习）正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱
台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆，
根据
，设球的半径为
，则由直角三角形
中的勾股定理得：
，
利用等面积法：
，
可得：
，
解得：
，
再由棱台体积公式得：
，
由球的体积公式得：
，
所以正四棱台与球的体积之比是：
，
故选：B.
考向十一 有关球的最值
【例11-1】（2025·四川达州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图：
为圆锥的轴截面，其中
，
，且点M 为BC 边上的中点，设内切
圆的圆心为O.
由于
，故
.
设内切圆半径为r，则
，
解得
，其体积
.
故选：D
【例11-2】（2025·福建漳州·模拟预测）一个高为
，上、下底面半径分别是
和
的封闭圆台容器
（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与
相切，
设圆
的半径为
，则
，
由
，所以
，所以
，
作
，由
，
所以
，又
，所以
，
又
，
，
所以
，
即
，
所以球的表面积的最大值为
，
故选：C.
【例10-3】（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D 都在半径为3 的球面上，且
是边长为
的正
三角形，则三棱锥
体积的最大值为 .
【答案】
【解析】设
外接圆的圆心为
，半径为.
由正弦定理，在正
中，
，
，则
.
因为
，所以
，即
，解得
.
已知球的半径
，球心
到平面
的距离
，
外接圆的半径，根据勾股定理
，可得
.
当点
，球心
，
共线且
与
在平面
同侧时，点
到平面
的距离最大，最大距离
.
根据正三角形面积公式，可得
.
根据三棱锥体积公式，可得
.
故答案为：
.
【一隅三反】
1．（2025·四川巴中·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为
，则该正四棱台
内半径最大的球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
在正四棱台
中，上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为
，
设
分别是下、上底面中心，
分别是
的中点，
在侧面
中，
，则
，
因为正棱台的内切球半径即为截面
的内切圆半径，
在截面
中，
，
则
，
若球心
在
中点处，即梯形高
的中点处，
以下底面中心
为坐标原点，
所在直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，
则直线
的方程为
，
故点
到直线
的距离
，即直线
与圆相离.
结合图形可知，当球心
在
中点处，球半径
时，正四棱台的内切球半径最大.
即该正四棱台内半径最大的球的体积
，
故选：B.
2．（2025·重庆·三模）棱长为
的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，
则这样一个小球的体积最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，由题意知球和正四面体
的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球球心为O，半径为
，空隙处的最大球球心为
，半径为，
由正四面体结构特征可知G 为
的中心，
面
，
设E 为
中点，球O 和球
分别与面
相切于F 和
.
易得
，
，
，
由
可得
，
又
，
，
故
，
，
，
又由
和
相似，可得
，即
，解得
，
即空隙处的最大球的半径为
.
所以空隙处的最大球的体积为为
.
故选：D
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、
正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示，设
为大球的球心，大球的半径为
，大正四面体的底面中心为
，棱长为
，高
为，
的中点为
，
连接
，
则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高
，
∴
，
∴小球的体积为：
，
故答案为：
.
