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6.5 外接球与内切球（精练题组版）
题组一 汉堡模型
1．（2025·重庆·模拟预测）若高为1 的正三棱柱的顶点都在半径为1 的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·河北·开学考试）在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，则该三棱锥外接球的表面积为
3．（2025·安徽合肥·三模）在棱长为
的正方体
中，
是
的中点，则三棱锥
的
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥
中，
平面ABC，
，
D，E，F 分别是棱PB，PC，BC 的中点，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，则四棱锥
外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱
的体积为
，
，则该正六棱柱外接球
的表面积为 .
7．（23-24 天津·期末）所有棱长均为2 的正三棱柱
，它的顶点均在球
的表面上，则球
的表
面积为 .
题组二 墙角模型
1．（2025 北京）球面上有
四个点，若
两两垂直，且
，则该球的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 海南）棱长为
的正四面体的外接球体积为___________.
3．（2025 广东）在三棱锥
中，已知
，
，
两两垂直，且
，
，
，则
三棱锥
的外接球的表面积为
4．（2025 安徽）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外
接球的表面积为
题组三 斗笠模型
1．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为
，侧面展开图的面积为
，则该圆锥的外接球的表面积为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为
，若球心到该圆锥底面的距离为
，则该圆锥体积
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知正六棱锥的底面边长为2，且其侧面积是底面积的2 倍，则此正六棱锥的
外接球的表面积为 .
4．（2025 广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为
，
则球O 的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 云南）已知一个圆锥的底面圆面积为
，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·宁夏银川·三模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为
的扇形，该圆锥的顶点和底
面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为 .
题组四 切瓜模型
1．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在四面体
中，平面
平面
，侧面
是等边三角形，
底面
是等腰直角三角形，
，则四面体
的外接球的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 甘肃）如图所示，在三棱锥
中，平面
平面
，
是以
为斜边的等
腰直角三角形，
，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 上海）已知三棱锥
的每个顶点都在球
的球面上，平面
平面
，
，
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题组五 怀表模型
1．（2025 江苏）四边形ABDC 是菱形，
，
，沿对角线BC 翻折后，二面角A-BD-C 的余弦
值为
，则三棱锥D-ABC 的外接球的体积为_____.
2．（2025 河北）如图，在三棱锥
中，
，
，二面角
的大
小为
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 湖北）在边长为6 的菱形ABCD 中，
，现将
沿BD 折起到
的位置，当三棱锥
的体积最大时，三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．60π
B．45π
C．30π
D．20π
题组六 矩形模型
1．（24-25 陕西宝鸡）将边长为
的正方形
沿对角线
折成一个直二面角
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．4π
B．6π
C．8π
D．12π
2．（2025.江西）在矩形
中
，
，沿对角线
进行翻折，则三棱锥
外接球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·天津河）将长、宽分别为
和
的长方形
沿对角线
折成直二面角，得到四面体
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖
臑”.如图所示的鳖臑
中，
面
，
，若
，
，且顶点
均
在球
上，则球
的表面积为______.
5．（24-25 高二下·广东广州·期末）将边长为4 的正方形
沿对角线
进行翻折，使得二面角
的大小为120°，连接
，得到三棱锥
，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
题组七 折叠模型
1．（2025 高三·全国·专题练习）在边长为4 的等边三角形
中，
是
的中点，将
沿中线
折
起，得到三棱锥
，若二面角
的大小为120°，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·湖南永州·开学考试）已知
是边长为8 的正三角形，
是
的中点，沿
将
折起使得二面角
为
，则三棱锥
外接球的表面积为 ．
3．（24-25 河南信阳·期末）在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，若二面角
为
，则四棱锥
外接球的表面积为 ．
4．（24-25 湖南郴州·期末）在三棱锥
中，
和
均为边长为
的等边三角形，二面角
的大小为60°，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
5．（2025 山东）已知菱形
的边长为4，对角线
，将
沿着
折叠，使得二面角
为
，则三棱锥
的外接球的表面积为___________.
题组八 台体的外接球
1．（2025·河北·二模）已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3 倍，母线与底面所成的角为
60°，那么圆台的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·福建莆田·三模）已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台
的上，下底面边长分别为
和
．若该棱台的体
积为
，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为3 和4，母线与高的夹角为
，则此圆台的
高为 ，圆台的外接球的体积为 .
5．（2025·甘肃白银·三模）已知正三棱台
的侧棱长为
，上、下底面的边长分别为
，
，
则三棱台
的外接球的表面积为 ．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1 和2，它的两个底面的圆周
在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ．
7．（2025·江西新余·模拟预测）已知圆台
的上、下底面积分别为
，
，侧面积为
，则圆台
的外接球的表面积为 .
题组九 向量法求外接球
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知四面体
的顶点坐标为
、
、
、
，
则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川攀枝花·三模）如图，在四面体
中，D 为棱
上一点，
，
，
，且
，
，二面角
的大小为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求四面体
外接球的体积；
(3)求
的长．
题组十 内切球
1．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为
，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知多面体
的底面
为正方形，
，
，
，
均垂直于底面
，
，且
，
，
，
四点共面．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若多面体
存在外接球，则该外接球的表面积为
C．
D．若
，
，则三棱锥
的内切球半径为
3．（24-25 浙江温州·期末）已知一底面边长为
的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为
.
4．（2025·山西·三模）一边长为2 的正方体
，如图所示，则两个三棱锥
，
的公共部分的内切球的表面积为 ．
5．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ．
题组十一 有关球的最值
1．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形
中，
是边长为
的等边三角形，
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线
折成四面体
，在折起的过程中，四面体的外
接球体积最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为
的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球
后，还
可以放入一个半径为1 的小球
，则小球
的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·广西·模拟预测）设正四面体ABCD 的内切球表面积为
，则能装下该正四面体的最小正方体不
计厚度的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川成都·模拟预测）已知
平面
，
，
，
于
，
于
，
在
上，且满足
，则四面体
与
的外接球的体积比的取值范围为 ．
5．（2025·上海浦东新·模拟预测）将一个圆心角为
、面积为
的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大
的球的表面积为 ．
6．（2025·宁夏银川·二模）已知正四棱锥
的一个侧面的周长为
，则该四棱锥体积的最大值时，其
外接球表面积为 .
7．（2025·山东枣庄·二模）在三棱锥
中，
是边长为
的等边三角形，侧面
底面
，
.若三棱锥
的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥
体积的最大值为 .
8．（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范
围为 .
