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5.立体几何与空间向量
1.柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S=2S 底+S 侧
V=S 底·h
圆柱
长方形
S=2πr2+2πrl
V=πr2·l
棱锥
由若干个三角形构成
S=S 底+S 侧
V=1
3S 底·h
圆锥
扇形
S=πr2+πrl
V=1
3πr2·h
圆台
扇环
S=S 上+S 下+S 侧
S=π(r'2+r2+r'l+rl)
V=1
3(S 上+√S上S下+S 下)h
V=1
3π(r'2+r'r+r2)h
球
S=4πr2
V=4
3 πr3
2.外接球、内切球问题
(1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长.
(2)正四面体的外接球、内切球球心重合，R 外接球∶r 内切球=3∶1.
(3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点.
(4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体.
(5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②.
(6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线.
(7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂线，两垂线的交
点即为外接球球心.
3.直观图与斜二测画法
(1)空间几何体的直观图的画法常采用斜二测画法.斜二测画法的规则为“平行要保持，横长不变，纵长减
半.”
(2)任何一个平面图形的面积S 与它的斜二测画法得到的直观图的面积S'之间的关系为S'=√2
4 S.
4.平行、垂直关系的转化示意图
(1)
(2)两个结论
①a⊥α
b⊥α}⇒a∥b；②a∥b
a⊥α}⇒b⊥α.
5.方向向量与法向量
(1)直线的方向向量：设A，B 是直线l 上任意两点，则⃗AB为直线l 的方向向量.
(2)平面的法向量：若向量n 所在的直线与平面α 垂直，则n 为平面α 的法向量.
(3)平面法向量的求法：设A，B，C 是平面α 上任意不共线的三点，
第一步：设平面α 的法向量为n=(x，y，z)；
第二步：将A，B，C，n 的坐标代入{
n·⃗AB =0,
n·⃗AC =0,可得到与x，y，z 有关的方程组；
第三步：令x，y，z 中的其中一个量为一个非零常数，代入方程组计算出另外两个量，从而得到法向量.
(注意，平面的法向量有很多个，我们只要能算出其中一个即可)
(4)直线的向量表示式(直线的参数方程)：设A，B 为直线l 上的两点，P 为直线l 上的动点，则⃗AP=λ⃗AB为
直线l 的向量表示式(直线l 的参数方程)，
若给出定点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，设动点P(x，y，z)，
则{
x - x1= λ( x2- x1),
y - y1= λ( y2- y1),
z - z1= λ( z2- z1)
(即用一个字母λ 表示出点P 的坐标)，
消去λ 得x - x1
x2- x1
= y - y1
y2- y1
= z - z1
z2- z1
(直线l 的方程).
(5)平面的向量表示式(平面的方程)：设A0为平面α 上的定点，P 为平面α 上的动点，n 为平面α 的法向量，
则⃗A0 P·n=0 为平面α 的向量表示式(平面α 的方程)，
若给出定点A0(x0，y0，z0)，法向量n=(A，B，C)，设动点P(x，y，z)，则A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 为平面α
的方程.
6.用空间向量证明平行、垂直
设直线l 的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β 的法向量分别为u=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3).则有：
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔u∥v⇔u=λv⇔a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.
7.用空间向量求空间角
(1)两直线的夹角：设a，b 分别为直线a，b 的方向向量，两直线的夹角为θ∈[0, π
2]，则cos θ=|cos〈a，
b〉|.
(2)直线与平面所成的角：设l 为直线l 的方向向量，n 为平面α 的法向量，直线与平面所成的角为θ∈
[0, π
2]，则sin θ=|cos〈l，n〉|.
(3)平面与平面的夹角：设n1，n2分别为平面α，β 的法向量，两平面的夹角为θ∈[0, π
2]，则cos θ=|cos
〈n1，n2〉|=|
n1·n2
|n1||n2||.
(4)二面角：设n1，n2分别为平面α，β 的法向量，α∩β=l，二面角α-l-β 的平面角为θ∈[0,π ]，
若观察出二面角α-l-β 为锐角，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|=|
n1·n2
|n1||n2||；
若观察出二面角α-l-β 为钝角，则cos θ=-|cos〈n1，n2〉|=-|
n1·n2
|n1||n2||.
8.用空间向量求距离
(1)点到直线的距离：设P 是直线l 外一点，A 是直线l 上任意一点，l0是直线l 的单位方向向量，则点P 到
直线l 的距离d=√|⃗PA |
2-(⃗PA ·l0)
2.
(2)点到平面的距离：设P 是平面α 外一点，A 是平面α 内任意一点，n0是平面α 的单位法向量，则点P 到
平面α 的距离d=|⃗PA· n 0|.
1.混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α 内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α.
2.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易漏
掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数1
3.
3.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判
断出错.如由α⊥β，α∩β=l，m⊥l，易误得出m⊥β 的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α 的限
制条件.
4.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立
足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系.
5.几种角的范围
两条异面直线所成的角：0°<θ≤90°；
直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°；
平面与平面的夹角：0°≤θ≤90°.
6.用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方
向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错.
