文档文本内容
7.3 直线、平面垂直的判定和性质（讲义）
目录
1
知识点01 直线与平面垂直的判定定理1.................................................2
2
题型一、利用线线垂直证明线面垂直.....................................................3
3
题型二、利用线面垂直证明线线垂直.....................................................7
1 知识点01 直线与平面垂直的判定定理1
(1)
文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该
直线与此平面垂直（线线垂直⇒线面垂直）
(2)
图示：
(3)
符号语言：
a,b⊂α
a⊥l
b⊥l
a∩b= P}
⇒l⊥α
(4)
利用线线垂直证明线面垂直的步骤：
①根据题中的条件，寻找已知的线线垂直
②若已知的线线垂直不足以证明线面垂直，则利用利用证明线线垂直
的十种方法，寻找线线垂直，最终证明线面垂直
(5)
知识拓展：证明线线垂直的九种方法：
①线面垂直的性质：直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任一条直
线
②勾股定理的逆定理：两条邻边的平方和等于第三边的平方，则三角
形为直角三角形
③矩形的性质：邻边垂直
④菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分
⑤等腰三角形得性质：底边上的中线垂直于底边
⑥等边三角形的性质：任意底边上的中线均垂直于底边
⑦圆的性质：直径所对的圆周角为直角
⑧向量法：⃗a⋅⃗b=0⇒⃗a⊥⃗b
⑨三垂线定理：平面内直线垂直于斜线在平面内的射影 ⇒ 垂直于斜线
本身
⑩利用三角函数求角度，得线线垂直
等面积法：根据边长和三角形面积来确定所求边为三角形的高线
2 题型一、利用线线垂直证明线面垂直
1．如图，在三棱锥
中，
平面
，
PA = AB = BC =1，PC = ❑√3，求证：BC ⊥平面PAB
2．如图，
是正四棱柱，求证：BD⊥平面
3．如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底
面
，
，
是
的中点，作
交
于点
，证明
平面
4．如图，在四棱锥
中，底面
是矩形．已知
，
，
，
，
，证明：
平面
5．如图，在四棱锥
中，
底面
为直角，
，E、F 分别为
的中点，证明：
平
面
6．如图所示，在四面体
中，已知
，
，
，
．
是线段
上一点，
，点
在线段
上，且
，证明：
平面
7．如图，在四棱锥P-ABCD 中，
底面ABCD，AB⊥AD，
，∠ABC =60°，PA = AB = BC，E 是PC 的中点，证明
平面PCD
8．如图，在底面为直角梯形的四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，求证：BD⊥平面PAC
3 题型二、利用线面垂直证明线线垂直
1．如图，四棱锥
的底面是边长为1 的正方形，
底面
，
，求证：
2．已知正三棱锥
的体积为
，侧面与底面所成二面角的大
小为60，证明：
3．如图，三棱锥
中，
，BD⊥CD，
∠ADB =∠ADC =60
∘，E 为BC 的中点，证明：
4．如图,在三棱锥
中,侧面
是全等的直角三角形,
是公共的斜边,且
,另一个侧面
是正三角形，求证:
5．如图，在四棱锥
中，底面为直角梯形，
，
底面
，且
分别为
的中点，求证：
6．如图，正三棱柱
中，D 是
的中点，
，求证：
直线
7．如图，在正方体
中，
分别是
的中点，
证明：
8．在四棱锥
中，
底面
ABCD ,CD∥AB , AD = DC =CB =1, AB =2, DP = ❑√3，证明：
9．如图所示，在直三棱柱
中，
，
，
，
，M 是
中点，求证：
．
10．已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别为
和
的中点，
，已知D 为棱
上的点，证明：
