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7.1 基本立体图形及其特征（讲义）
目录
知识点01 棱柱的结构特征..................................................................................2
知识点02 棱锥的结构特征..................................................................................4
知识点03 棱台的结构特征..................................................................................5
知识点04：旋转体的结构特征...........................................................................6
知识点05：组合体 的结构特征.........................................................................8
知识点06 几何体的表面积与体积公式..............................................................9
题型一、棱柱的结构特征..................................................................................10
题型二、棱锥的结构特征..................................................................................15
题型三、棱台的结构特征..................................................................................20
题型四、旋转体的结构特征..............................................................................27
题型五、组合体的结构特征..............................................................................33
知识点01 棱柱的结构特征
1.
定义：上底面和下底面互相平行且全等，侧面均为平行四边形
的多面体叫做棱柱．
(1)
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
①两个底面仍然平行且全等
②所有的侧棱都平行且相等
③所有侧面都是平行四边形（包括矩形、菱形、正方形等特例）
④所有的侧棱仍然互相平行且长度相等
(2)
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
①所有侧棱均垂直于上、下底面，即相邻的侧棱和底边形成的角是直
角
②所有侧面都是矩形（特殊情况下可以是正方形）
③两个底面平行且全等（形状大小完全相同）
④所有侧棱平行且长度相等
⑤直棱柱的对角面通常是平行四边形或矩形
(3)
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
①底面为正多边形
②侧棱垂直于底面
③侧面皆为正方形
(4)
平行六面体：由六个平行四边形所围成的多面体。平行六
面体分为斜平行六面体和直平行六面体两种；侧棱不垂直于底面
的平行六面体为斜平行六面体，侧棱垂直于底面的平行六面体为
直平行六面体.
①相对面平行且全等
②平行棱长度相等
③六个面均为平行四边形
(5)
长方体：底面是矩形的直平行六面体
①6 个面：相对面平行且全等，且均为矩形（包括正方形）。
②12 条棱：分为3 组（长、宽、高），每组4 条棱平行且相等
③8 个顶点：每个顶点连接3 条棱（两两垂直）。
④8 个直角：所有面角（共24 个）和空间角均为90°。
(6)
正方体：棱长都相等的长方体
①所有棱等长（设棱长 aa）
②所有面为全等的正方形
知识点02 棱锥的结构特征
1.
定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角
形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
(1)
正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的
中心
①底面：正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。
②侧面：全等的等腰三角形（侧棱相等，底边为底面边长）。
③顶点投影：锥顶向底面的垂线落于底面正多边形的中心
(2)
正四面体：所有棱长都相等，且顶点在底面的射影是底面
的中心的三棱锥（四个面均为等边三角形）
①4 个面：全等的正三角形
②6 条棱：长度均相等
③4 个顶点：每个顶点连接3 条棱
④6 个二面角：所有面与面之间的夹角均相等
知识点03 棱台的结构特征
1.
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之
间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
①两个底面：平行且相似的多边形（上底面较小，下底面较大）
②侧面：均为梯形（若为正棱台，则侧面为全等的等腰梯形）
③侧棱：所有侧棱延长后交于一点（原棱锥顶点）
知识点04：旋转体的结构特征
1.
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成
的面所围成的几何体叫做圆柱．
①两个底面：平行且全等的圆形平面（半径 r）。
②侧面：光滑曲面（展开为矩形）。
③高（h）：两底面间的垂直距离。
④母线：平行于轴且连接两底圆周的线段（长度 =h=h）。
⑤轴：两底面圆心的连线（对称轴）。
2.
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其
旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
①一个底面：圆形平面（半径r）。
②侧面：光滑曲面（展开为扇形）。
③顶点：锥尖（旋转直角顶点）。
④高（h）：顶点到底面的垂直距离。
⑤母线：底面圆周上任意一点到顶点的线段（长度相等）。
⑥轴：顶点与底面圆心的连线（对称轴）。
3.
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的
部分叫做圆台．
①两个底面：平行且相似的圆形平面（下底面半径R，上底面
半径r，R>r）。
②侧面：光滑曲面（展开为扇环）。
③高（h）：两底面间的垂直距离。
④母线（l）：两底面圆周对应点的连线（所有母线延长交于一
点）。
4.
球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成
的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点
间的劣弧长度）．
①球心：空间中的固定点 OO（所有对称操作的不动点）。
②半径（rr）：球心到球面上任意点的距离。
③直径：通过球心的线段（长度 2r2r），是球的最长弦。
知识点05：组合体 的结构特征
1.
定义：由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体
叫做组合体．
知识点06 几何体的表面积与体积公式
表面
积
柱体
S直棱柱=c h+2S底
S斜棱柱=c
'l+2S底
为直截面周长
S圆锥=2π r
2+2πrl
锥体
S正棱锥= 1
2 nah
' + S
S圆锥= π r
2+ πrl = π
台体
S正棱台= 1
2 n(a+a
'
S圆台= π （r
' 2+r
2
球
S = 4 π R
2
体
积
柱体
V 柱= S h
锥体
V 锥= 1
3 S h
S
h
台体
V 台= 1
3 (S +
❑√S S
' + S
')h
球
V = 4
3 π R
3
题型一、棱柱的结构特征
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
2．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
3．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六
棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
4．下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体
B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5 个面
D．正三棱锥的所有面都是全等的等边
三角形
5．在三棱柱ABC - A1B1C1中，截去三棱锥C1- ABC后，剩余的部分是
（ ）
A．五棱锥B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
6．正三棱柱ABC - A1B1C1的所有棱长都为4，E , F分别是B1C1, AB的中点，
则EF的长是（ ）
A．2❑√5
B．2❑√7
C．4
D．6
7．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为❑√2，体对角线长为❑√6，
则这个棱柱的侧面积是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
8．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（
）
A．4
B．❑√29
C．2❑√23
D．4 ❑√17
题型二、棱锥的结构特征
1．一个几何体恰有10 个顶点，则这个几何体可能是（ ）
A．四棱柱B．四棱台
C．五棱锥
D．五棱台
2．下列说法中正确的是（ ）
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行．
A．①
B．①②
C．②
D．③
3．下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B．直四棱柱是长方体
C．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几
何体是一个圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
4．下列结论正确的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体
是四棱台
D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
5．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2 倍，则此正四
棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知以边长为4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为
，则该四棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知正四棱锥
的底面积为64，侧棱长
，则该四棱锥的
高为（ ）
A．
B．
C．8
D．
8．底面边长为
，且侧棱长为
的正四棱锥的体积和侧面积分别为
（ ）
A．
B．
C．32，24
D．32，6
题型三、棱台的结构特征
1．下列结论正确的是（ ）
A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形
B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台
C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
2．给出下列命题：
①有两个面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四边形，且相邻两
四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱；
②有一个面是五边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围
成的封闭几何体一定是五棱锥；
③有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由
这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台.
其中正确的命题是（ ）
A．②③
B．①②
C．①③
D．①②③
3．如图，
是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直
线的是（ ）．
A．
和
；
B．
和
；
C．
和
；
D．
和
．
4．如图，在正四棱台
中，
分别为棱
的中点，则（ ）
A．直线
与直线
是异面直线B．直线
与直线
是异面直
线
C．直线
与直线
共面
D．直线
与直线
共面
5．如果棱台的两底面积分别是
，中截面的面积是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374 年），
它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽
黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，
该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的
斜高约为（参考数据：
）（ ）
A．9.1m
B．10.9m
C．11.2m
D．12.1m
7．已知正四棱台
的体积为
，且
，
则正四棱台的高为（ ）
A．
B．
C．2
D．
8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4 和6，高是
，则它的侧
面积为（ ）
A．10
B．
C．40
D．44
9．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，
鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中
国国家馆结构类似的正四棱台
，上下底面的中心分别为
和
，若
，
，则正四棱台
的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四、旋转体的结构特征
1．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径
是10，水面宽
是16，则截面水深
是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R 的圆柱内装等高H 的液体，
圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝
R，圆锥内
液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（ ）
A．V1＝2V2 B．V1＝V2
C．V2＝2V1
D．V1＝
V2
3．已知圆锥PO 的底面半径为
，轴截面的面积为
，则该圆锥的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为
，则该圆锥的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的
棱柱是正棱柱；③有两个面平行且相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台；
④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个
数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．下列命题中为真命题的是（ ）
A．圆台的侧面展开图是一个扇形
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的
公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D．五棱锥共有6 个顶点，11 条棱
7．已知
，
，
是球
的球面上的三个点，且
，
球心
到平面
的距离为1，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个
球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如
果不计容器厚度，则球的表面积为（ ）
.
A．
B．
C．
D．
9．如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l 旋转一周可以
得到（ ）
A．
B．
C．
D．
10．旋转后形成的几何体如图所示的平面图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五、组合体的结构特征
1．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去
八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12 个面
C．该几何体恰有24 条棱
D．该几何体恰有12 个顶点
2．如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
3．下列说法正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
4．由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中
塔的底面是边长为
的正六边形，则该塔底面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知正三棱锥
中，
，
，该三棱锥的外接球球
心
到侧面距离为
，到底面距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体
包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆柱、一个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
7．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一
个平面截它，所得截面图形不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面
圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则
截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（1）（5）
9．如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正
方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面
去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在圆柱
内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均
相切.若
，则圆柱
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
