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第 13 讲 长方体和正方体（一）
一、知识要点
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形
问题要注意几点：
1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起
来；
2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生
的变化；
3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练
【例题1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表
面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如下
左图），剩下部分的表面积和体积各是多少？
12.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各
切掉一个正方体（如上右图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
【例题2】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能
算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）
练习2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。
2第1题 第2题 第3题
2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米
的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体
的体积和表面积各是多少？
【例题3】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体
的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多
少平方厘米？
3练习3：
1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面
积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2
倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一
个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
【例题4】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方
体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的
4表面积。
练习4：
1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体
所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体
的表面积。
【例题5】 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体
的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少
5练习5：
1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都
是质数，那么这个长方体的体积是多少？
2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是192立方厘米，求它的表
面积。
三、课后作业
1.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，
求这根木料原来的体积。
62.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减
少多少平方分米？
3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼
成几种不同的长方体？
4.一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体长、宽、高分别是
16分米、4分米、25分米，求正方体体积。
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