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2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义
专题07 长方体和正方体的体积（一）
知识精讲
专题简析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要
注意几点：
1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
典例分析
【典例分析01】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是
多少平方厘米？（单位：厘米）
【思路点拨】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积
是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），
整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与
朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此
此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？【典例分析02】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面
积吗？（单位：厘米）
【思路点拨】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了
一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方
厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于
挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的 5
个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
【典例分析03】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积
比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？
【思路点拨】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体
增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。正方体有6个
这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
【典例分析04】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立
方厘米，求大长方体的表面积。【思路点拨】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用 a、b、h
分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，砖的体积是
a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知，a=12，b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。
【典例分析05】一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、
宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
【思路点拨】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于
此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17＋2），
即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•宜阳县期末）在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一
个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）
A．216dm3 B．27dm3 C．8dm3
2．（2分）（2022春•上虞区期末）赵叔叔制作一个长方体玻璃鱼缸，如图两块长方形玻
璃是这个鱼缸其中的两个面。这个鱼缸的容积是（ ）升。（玻璃的厚度忽略不计）
A．12 B．16 C．24
3．（2分）（2022春•玉屏县期末）根据图，甲的表面积（ ）乙的表面积A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定
4．（2分）（2022春•余杭区期中）一个长8dm，宽4dm，高5dm的长方体木块，能切成（
）个棱长是2dm的小正方体。
A．20 B．16 C．10 D．8
5．（2分）（2022春•正定县期末）一长方体，长、宽、高分别是a米、b米、c米，如果
高增加h米后、新长方体表面积比原来增加了（ ）平方米。
A．abh B．2ah C．2bh D．（a+b）×2×h
二．填空题（共7小题，满分15分）
6．（2分）（2022秋•太原期末）小桐用1立方厘米的小正方体摆满这个长方体框架，一
共需要 个这样的正方体才能摆满.摆成的长方体的体积是 立方厘米。
7．（2分）（2022秋•南京期末）一个正方体玻璃容器，棱长是10分米。如果在这个玻璃
容器内倒入600升水，水面高度是 分米。（玻璃厚度不计）
8．（2分）（2022秋•莱阳市期末）把3个棱长1分米的小正方体拼成一个长方体，这个
长方体的表面积是 。
9．（2分）（2022秋•莱山区期末）从两个棱长为6厘米的正方体木块上，分别锯掉长6
厘米，宽和高都是1厘米的小长方体木块，得到甲乙两种形状的木块，如图所示。则甲
的体积 乙的体积，甲的表面积 乙的表面积。（填写“＞”“＜”或
“＝”）10．（2分）（2022春•梁平区期末）一个长方体鱼缸底面长a分米，比宽多5分米，高是
长的2倍。这个长方体鱼缸的底面积是 平方分米，体积是 立方分米。
（填字母式）
11．（3分）（2021秋•建湖县期末）一个长方体长是8厘米，宽和高都是长的一半，它的
棱长总和是 厘米，表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。
12．（2分）（2022春•金牛区期末）一种纯果汁饮料，它的净含量是1L。这个果汁盒的
长是10cm，宽是5cm，要把4盒这样的饮料包装在一起，至少需要 cm2的包装纸。
（为计算方便，果汁盒本身盒纸的厚度忽略不计）
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
13．（2分）（2022春•临高县期末）棱长是 6cm的正方体，体积与表面积相等。
（判断对错）
14．（2分）（2022春•兴县期中）将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积
之和与原长方体的表面积相比，没有发生变化。 （判断对错）
15．（2分）（2022春•沽源县期中）一个长方体分成几个小长方体后，计算几个小长方体
的表面积和与体积和，与大长方体相比没有变化。 （判断对错）
16．（2分）（2019春•长春月考）正方体的棱长是1厘米，它的表面积就是6厘米．
．（判断对错）
17．（2分）（2022春•巴东县期末）《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，
这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体
的表面积。 （判断对错）
四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）
18．（6分）（2022•杭州模拟）求如图图形的表面积和体积（单位：米）。19．（6分）（2021秋•淮安期中）求下面几何形体的表面积。（单位：cm）
五．应用题（共4小题，满分27分）
20．（6分）（2022秋•莱山区期末）毛叔叔用五块玻璃制作了一个长方体鱼缸，五块玻璃
的大小如图所示，这个鱼缸的容积是多少升？（玻璃厚度忽略不计）（单位：厘米）21．（7分）（2022春•沾益区期末）如图是9个同样的牙膏盒拼成的，每个长1分米，宽
2.5cm，高2.5cm。
（1）这些牙膏盒的体积一共是多少？
（2）拼成的牙膏盒图形表面积是多少？
22．（7分）（2022春•登封市期末）一个长方体鱼缸从内部测量，长 8分米，宽5分米，
高6分米。李叔叔在鱼缸里养了几条鱼，又放入一些石子、植物作为布景，整个水面高
度为5分米。几天后，李叔叔给鱼缸消毒，将鱼、石子和植物全部取出后，水面下降了
2厘米。这些鱼、石子和植物占据了鱼缸多大的空间？
23．（7分）（2022春•舞阳县期末）有一个长方体，从上面截下一个高是2厘米的长方体
后正好得到一个正方体（如图），正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了32平
方厘米，求原来长方体的体积。
六．解答题（共4小题，满分26分）24．（6分）（2022春•通城县期中）计算下面图形的表面积和体积。
（1）计算下面图形的表面积和体积。
（2）计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。
25．（6分）（2022•张家川县模拟）计算图中立体图形的表面积和体积。（单位：dm）
26．（6分）（2022•开平市）计算下面组合图形的表面积。27．（8分）（2017秋•海安县期末）有A、B两个长方体容器，A容器长35厘米，宽20厘
米，高25厘米，水深8厘米，B容器长20厘米，宽15厘米，高18厘米，水深5厘米，
往两个容器中倒入等量的水，使两个容器水面高度相等，往两个容器中各倒多少立方厘
米的水？（提示：可以考虑方程的解法）
