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2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义
专题09 长方体和正方体的体积（三）
知识精讲
专题简析：
解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟
悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一
个长方
体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两
倍。
典例分析
【典例分析01】一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若
干块，表面积增加多少厘米？
【思路点拨】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的
线共锯6次，每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平
方厘米的面积。因此，锯好后表面积增加432平方厘米。
【典例分析02】有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了 24平方厘米，
这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？
【思路点拨】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是
24÷2=12平方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘
米。
【典例分析03】有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米的小正
方体，这些小正方体的表面积的和是多少？想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个 3×3平方分米的面，你能用这种
思路来计算所求问题吗？
【典例分析04】 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？
【思路点拨】按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个；
（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1个。
【典例分析05】一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成
三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？
【思路点拨】这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4）×2=148平方厘米，
每切割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小长方体要切2刀，一共增加2×2=4个面。
要求表面积和最大，应该增加4个6×5=30平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和
最大是148＋6×5×4=268平方厘米。真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．【思路点拨】根据正方体分割小正方体的方法可得：先求出棱长为 22厘米的正方体的
每条棱长上都能分割成多少个小正方体，由此即可求得分割的小正方体的总个数。
【规范解答】解：每条棱长上都能分割成的小正方体的个数：22÷4＝5（个）……2
（厘米），
所以一共能分成：5×5×5＝125（个）。
答：可以分割成125块。
故选：C。
【考点评析】此题考查了正方体分割小正方体的方法的灵活应用，注意多余的需要舍去，
不能拼起来计算。
2．【思路点拨】通过观察图形可知，一共有3层，最底层每排最多是3个，每层有3排，
共有3层，要拼成一个大正方体，一共需要 3+3+3+3+3+3+3+3+3＝27（个），求出现在
有多少个小正方体，然后根据求一个数比另一个数少几，用减法解答。
【规范解答】解：3+3+3+3+3+3+3+3+3＝27（个）
2+8+8＝18（个）
27﹣18＝9（个）
答：至少还需要9个小正方体。
故选：C。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握简单的立体图形的拼组方法及应用。
3．【思路点拨】根据从前面看到的图形，可以得出至少要4个小正方体，下面三个，上边
一个；根据从上面看到的图形，可以得出至少要4个小正方体，前排3个，后排在中间
有1个；这样得出3个是公共部分，只要上边中间多 1个，后排中间多1个，最少要
3+1+1个小正方体。
【规范解答】解：3+1+1＝5（个）
答：用小正方体拼立体图形，从前面和上面看到的图形是 ，那么搭成这样一个
立体图形至少要4个小正方体。
故选：B。【考点评析】此题应根据从前面和上面看到的形状，进行分析、比较，进而得出所求结
论。
4．【思路点拨】切一刀，增加两个原来正方体面的面积，切两刀，则增加 4个原来正方体
面的面积，据此解答。
【规范解答】解：4×90÷6
＝360÷6
＝60（cm2）
答：这些小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了60cm2。
故选：C。
【考点评析】本题主要考查了简单立方体的切拼，找出切一刀增加的面积是本题解题的
关键。
5．【思路点拨】把一个大正方体切成8个相等的小正方体，需要切3次，每切一次都增加
2个原正方体的面，由此可知共增加了2×3＝6（个）原正方体的面，由此可知：表面
积增加54平方厘米等于原来正方体的表面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此
求出一个面的面积，进而求出棱长，然后根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入
公式解答。
【规范解答】解：正方体一个面的面积：
54÷6＝9（平方厘米）
因为3的平方是9，所以正方体的棱长是3厘米，
3×3×3＝27（立方厘米）
答：原来正方体的体积是27立方厘米。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，解题的关键是
熟记公式。
二．填空题（共8小题，满分19分）
6．【思路点拨】根据长方体的高是7厘米，可以放2层，分上下两层来分析：上层高3厘
米，可放（40÷5）×（12÷4）＝24（块）；下层高 4 厘米，可放（40÷5）×
（12÷3）＝32（块），由此求解。
【规范解答】解：盒子的高是7厘米，可以放2层，第一层以3厘米为高放置，第二层
以4厘米为高放置。40÷5＝8（块）
12÷4＝3（块）
12÷3＝4（块）
第一层放8×4＝32（块）
第二层放8×3＝24（块）
答：最多可以放2层，每层分别放32、24块。
故答案为：2，32、24。
【考点评析】此题考查了借助长方体的体积公式解决实际问题的灵活应用，关键是把长
方体分成上下两层，分别计算可以装下的小长方体的个数。
7．【思路点拨】每个小正方体的体积为1×1×1＝1（cm3），数一数图中有几个小立方体，
体积就是多少；立体图形是两行三列两层，能看到列数的只有上下面和前后面，从上面
看，第二行在第一行的上方，左对齐，符合题意，则从下面看不符合题意，从前面看，
第二层在最右边一列，不符合题意，从后面看，第二层在左边一列，符合题意，据此解
答。
【规范解答】解：每个小正方体的体积为1×1×1＝1（cm3），
立体图形有5个小正方体，
1×5＝5（cm3）
立体图形是两行三列两层，图形下面一排有3个，所以看到的是列数，
能看到列数的只有上下面和前后面，
从上面看，第二行在第一行的上方，左对齐，符合题意，则从下面看不符合题意，
从前面看，第二层在最右边一列，不符合题意，从后面看，第二层在左边一列，符合题
意，
答：它的体积是5cm3，从上或后面看到的图形是 。
故答案为：5，上或后。
【考点评析】本题主要考查了从不同方向观察物体和几何体，掌握三视图所表达的信息
是本题解题的关键。
8．【思路点拨】根据题意，截去的正方体的棱长是3厘米，剩下部分的体积是长方体的体
积减正方体的体积．
【规范解答】解：8×5×3﹣3×3×3＝120﹣27
＝93（立方厘米）
答：剩下的体积是93立方厘米．
故答案为：93．
【考点评析】本题主要考查长方体和正方体的体积，解答本题的关键是根据长方体的长、
宽、高，确定要截去的正方体的棱长．
9．【思路点拨】把每个小正方体的棱长看做1，则每个小正方体的体积就是 1，因为
5×5×5＝125，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；根据立体图形的知识可
知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两
面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，所有的小正方体的个数减去有
红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．
【规范解答】解：因为5×5×5＝125，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；
所以一面涂色的有：（5﹣2）×（5﹣2）×6，
＝3×3×6，
＝54（块），
两面涂色的有：（5﹣2）×12＝3×12＝36（块），
三面涂色的都在顶点处，所以一共有8块．
【考点评析】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．
10．【思路点拨】观察图形可知，图中只有3个小正方体由一个面与其它小正方体的面相
粘合，所以只有这3个小正方体5个面涂色，据此即可解答问题．
【规范解答】解：观察图形可知，只有3个小正方体由一个面与其它小正方体的面相粘
合，所以只有这3个小正方体5个面涂色．
答：5个面涂红色的有 2个小正方体．
故答案为：3．
【考点评析】抓住题干，得出小正方体的排列特点，分别得出它们各自露出的面的多少，
是解决本题的关键．
11．【思路点拨】假设小正方体的长、宽、高是1厘米，经分析较大的正方体的长、宽、
高至少为2厘米，所以较大的正方体的体积为8立方厘米，根据倍数关系即可解答。
【规范解答】解：2×2×2＝81×1×1＝1
8÷1＝8（个）
答：至少要用8个同样的小正方体，才能摆出一个较大的正方体。
故答案为：8。
【考点评析】本题考查简单的立方体切拼问题，根据较大正方体的体积与小正方体的体
积的倍数关系进行解决。
12．【思路点拨】以长为边最多放：9÷2＝4（块）……1（分米）
以宽为边最多放：4÷2＝2（块）
以高为边最多放：5÷2＝2（块）……1（分米）
所以：4×2×2＝16（块）
【规范解答】解：9÷2＝4（块）……1（分米）
4÷2＝2（块）
5÷2＝2（块）……1（分米）
4×2×2＝16（块）。
所以一个长9分米，宽4分米，高5分米的长方体盒子，最多能放16个棱长2分米
的正方体木块。
故答案为：16。
【考点评析】本题的关键是理解一层放几个，能放几层。
13．【思路点拨】（1）先根据“正方体的体积＝棱长3”先求出一个正方体的面积，然后
据求几个相同加数和的简便运算，用乘法进行解答即可；
（2）先根据“正方形的面积＝边长×边长”先求出一个正方形的面积，然后求出底面
有几个小正方形的面，据求几个相同加数和的简便运算，用乘法进行解答即可；
（3）从右面看到的图形是3层：最下层3个正方形，中层2个正方形靠右面，上层1个
正方形靠右面；
（4）先根据“正方形的面积＝边长×边长”先求出一个正方形的面积，然后求出右面
有几个小正方形的面，据求几个相同加数和的简便运算，用乘法进行解答即可；
（5）根据长方体的特点可知：不改变现在形状的情况下，堆成的长方体应该是长是4
个，宽为3个，高为3个的长方体，求出长方体的个数，然后减去原来立体图形的个数
即可．
【规范解答】解：（1）1×1×1×12＝1×12
＝12（立方厘米）．
答：它的体积是12立方厘米．
（2）1×1×8＝8（平方厘米）．
答：它的占地面积是8平方厘米．
（3）从右面看到图形是：
（4）1×1×6＝6（平方厘米）．
答：从右面看到面积是6平方厘米．
（5）4×3×3﹣12
＝36﹣12
＝24（平方厘米）．
答：至少再有24个小正方体就能堆成一个长方体．
故答案为：12，8， ，6，24．
【考点评析】解答此题应结合图形，根据题意，根据正方体的体积计算公式和正方形的
面积计算公式进行解答即可．
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．【思路点拨】把两个一样的正方体拼成一个长方体后，所占的空间没变，所以体积不
变，但是表面积变了，减少了两个面的面积．
【规范解答】解：把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积不变，表面积减少．故判断为：√．
【考点评析】此题关键是理解组合图形的表面积和体积的求法．
15．【思路点拨】根据“包含”除法的意义，用除法分别求出盒子的长里面包含多少个 2
分米，宽里面包含多少个2分米，高里面包含多少个2分米，再根据整数乘法的意义，
用乘法求出最多可以放的个数，然后与24进行比较。
【规范解答】解：8÷2＝4（个）
5÷2＝2（个）......1（分米）
6÷2＝3（个）
4×2×3
＝8×3
＝24（个）
所以最多可以放24个棱长为2分米的小正方体木块。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握“包含”除法的意义及应用，简单立体图形的
拼组方法及应用。
16．【思路点拨】假设小正方体的棱长是1厘米，体积是1立方厘米，拼成的稍大的正方
体棱长至少是2厘米，体积为8立方厘米，进一步求出个数．
【规范解答】解：假设小正方体的棱长是1厘米，体积：1×1×1＝1（立方厘米）；
稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积：2×2×2＝8（立方厘米）；
需要小正方体的个数：8÷1＝8（个）．
故答案为：×．
【考点评析】此题考查运用正方体的特征与正方体的体积来解决问题．
17．【思路点拨】观察图形可知：拼组后的大正方体的每条棱长至少是由 3个小正方体组
成的，由此可以求出拼组后的大正方体中的小正方体的个数，再减去图中已有的小正方
体个数即可。
【规范解答】解：3×3×3＝27（个）
27﹣20＝7（个）
答：图中还需要7个小 ，才能拼成一个大正方体。所以原题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】此题主要考查了学生通过观察立体图形解决问题的能力，根据已知图形确
定出拼组后的正方体的最小棱长是解决本题的关键。
18．【思路点拨】根据题意，这个长方体的长变为10厘米，但是宽和高没变还是5厘米，
由此即可判断．
【规范解答】解：（10+5+5）×4＝80厘米，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【考点评析】此题是考查长方体的所有棱长之和的计算，这里要注意拼组后的长方体宽
和高没有变化．
四．应用题（共2小题，满分12分，每小题6分）
19．【思路点拨】小正方体的棱长是这个长方体长、宽、高的最大公因数，长、宽、高分
别除以小正方体的棱长，就是长、宽、高所用小正方体的个数，长、宽、高用小正方体
的个数之积，就是用小正方体的个数。
【规范解答】解：20和36的最大公因数是4
所以小正方体的棱长是4厘米
（20÷4）×（20÷4）×（36÷4）
＝5×5×9
＝225（个）
答：至少需要225个小方体。
【考点评析】此题是考查简单的立方体拼切问题。求出所用小正方体的棱长是关键。
20．【思路点拨】（1）（2）根据两个长方体拼成一个大长方体的表面积变化规律：大长
方体表面积＝原来两个长方体的面积和﹣重合面的面积×2可知，要想大长方体表面最
大，需要重合面的面积最小，要想大长方体表面积最小，需要重合面的面积最大，据此
计算；
（3）想要最省包装材料，就是要大长方体的表面积最小。
【规范解答】解：原来长方体的三对面的面积分别为：
5×4＝20（平方厘米）
5×2＝10（平方厘米）
4×2＝8（平方厘米）表面积为：（20+10+8）×2
＝28×2
＝56（平方厘米）
（1）大长方体表面积最大，将4×2的面组合在一起：
最大表面积：
56×2﹣8×2
＝112﹣16
＝96（平方厘米）
答：大长方体的表面积最大为96平方厘米。
（2）大长方体表面积最小，将5×4的面组合在一起；
最小表面积：
56×2﹣20×2
＝112﹣40
＝72（平方厘米）
答：大长方体的表面积最小为72平方厘米。
（3）想要最省包装材料，需要大长方体表面积最小，将5×4的面重合在一起最省。
答：将5×4的面重合在一起最省。
【考点评析】本题主要考查了简单立方体的切拼问题，把握拼在一起时表面积的变化规
律是本题解题的关键。
五．解答题（共8小题，满分49分）
21．【思路点拨】从一个长10分米，宽8分米，高3分米的长方体中截出一个体积最大的
正方体．这个正方体的体积的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：v＝a3，
把数据代入公式解答即可．
【规范解答】解：3×3×3＝27（立方分米）
答：这个正方体的体积是27立方分米．
【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式的灵活运用．
22．【思路点拨】（1）分别讨论再三个缺口处补上小正方体，几何体表面积的变化情况，
做出判断即可；
（2）根据（1）的计算结果，求解即可。
【规范解答】解：（1）A处：原来的A处的表面积是4个小正方形，补上后，表面积变为两个小正方形，所以，表面积减少了两个小正方形；
B处：原来B处的表面积是3个小正方形，
补上后，表面积还是3个小正方形，所以，表面积没有变化；
C处：原来表面积是5个小正方形，
补上后，表面积变为1个小正方形，所以，表面积减少了4个小正方形，
综上所述，补在B处，几何体表面积保持不变。
（2）由（1）可知，A，B，C处都补上小正方形后，
表面积减少了（2+4）个小正方形，
（2+4）×2×2
＝6×4
＝24（平方厘米）
答：几何体表面积减少了24平方厘米。
故答案为：B。
【考点评析】本题主要考查了简单立方体的切拼问题，分别比较补上前后的表面积从而
得出结论即可。
23．【思路点拨】（1）从上面看，图①有两行正方形，上3下2；图2有3行正方形，上
3中2下2；图③有3行正方形，上3中2下2，左对齐；据此填写即可．
（2）图中①含有6个小正方体，③含有11个小正方体，要求①的体积是③的体积的几
分之几，用6除以11即可．
（3）如果要把③继续补搭成一个大正方体，则大正方体的棱长至少应是3cm，则需要
3×3×3＝27个小正方体，所以至少还要27﹣11＝16个小正方体．
【规范解答】解：（1）
（2）图中①含有6个小正方体，③含有11个小正方体，
①的体积是③的体积的：6÷11＝ ．（3）如果要把③继续补搭成一个大正方体，则大正方体的棱长至少应是3cm，
则需要小正方体：3×3×3＝27（个），
所以至少还要小正方体：27﹣11＝16（个）．
故答案为：（1）③、②、①，（2） ，（3）16．
【考点评析】此题考查了从不同方向观察几何体、求一个数是另一个数的几分之几以及
立方体的拼组问题．
24．【思路点拨】棱长为1厘米的正方体的一个面的面积是1平方厘米，且相邻的2个正
方体拼组在一起减少了2个小正方体的面：
第一个长方体的表面积是：6个小正方体的面，可以写成1×4+2；
第二个长方体的表面积是：10个小正方体的面，可以写成2×4+2；
第三个长方体的表面积是：14个小正方体的面，可以写成3×4+2；…
则第n个长方体的表面积是：4n+2个小正方体的面．
【规范解答】解：根据题干分析可得：第n个长方体的表面积是：4n+2个小正方体的面；
小正方体的一个面的面积为：1×1＝1（平方厘米）；所以
（1）当n＝4时，长方体的表面积有：4×4+2＝18，所以1×18＝18（平方厘米）；
（2）第n个长方体的表面积为：1×（4n+2）＝4n+2（平方厘米）；
答：第4个长方体的表面积是18平方厘米，第n个长方体的表面积是4n+2平方厘米．
故答案为：18；4n+2．
【考点评析】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规
律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部
分的变化规律后直接利用规律求解．
25．【思路点拨】先求出每条棱长上最多能锯出的块数，再借助长方体的体积公式进行计
算即可解答．
【规范解答】解：以长为边最多锯：12÷2＝6（块），
以宽为边最多锯：8÷2＝4（块），
以高为边最多锯：9÷2＝4（块）…1（分米），
所以：6×4×4＝96（块）；
答：最多能锯96块．
【考点评析】解答此题时不要用大体积除以小体积来计算块数，因为高还有剩余．26．【思路点拨】长为45cm的长方体木块，点M把棱AB分成1：2的两段，则可得：AM＝
45× ＝15（厘米），则BM＝45﹣15＝30（厘米），根据切割特点，表面积是增加了2
个正方体的面的面积，据此求出正方体一个面的面积是 1000÷2＝500平方厘米，据此
再利用长方体的体积＝侧面积×长计算即可解答．
【规范解答】解：点M把棱AB分成1：2的两段，则可得：AM＝45× ＝15（厘米），
则BM＝45﹣15＝30（厘米），
1000÷2＝500（平方厘米），
500×15＝7500（立方厘米），
500×30＝15000（立方厘米），
答：这两块长方体的体积分别是7500立方厘米、15000立方厘米．
【考点评析】解答此题的关键是明确两部分的长以及横截面的面积．
27．【思路点拨】根据题干分析可得：这个长方体的底面是正方形的面，切割后表面积减
少了120平方厘米，就是减少了高为2+4＝6厘米的长方体的侧面积，由此可以求出这
个长方体的底面周长是：120÷6＝20厘米，则底面边长是：20÷4＝5厘米，则原来的
长方体的长宽都是5厘米，则长方体的高是5+2+4＝11厘米，由此利用长方体的体积公
式即可解答．
【规范解答】解：长方体的长和宽分别是：120÷（2+4）÷4，
＝120÷6÷4，
＝5（厘米），
则高是5+4+2＝11（厘米），
所以长方体的体积是：5×5×11＝275（立方厘米），
答：长方体的体积是275立方厘米．
【考点评析】根据长方体的切割特点，先求出原长方体的长和宽，即正方形底面的边长，
是解决本题的关键．
28．【思路点拨】切完三刀之后，表面积之和是原来大长方体表面积的 2倍，所以原来的
大长方体的表面积是：752÷2＝376，
切完第一刀，增加的两个面的面积是472﹣376＝96平方厘米，一个面的面积是96÷2＝
48平方厘米；切完第二刀，又增加的两个面的面积是632﹣472＝160，一个面的面积是160÷2＝80平
方厘米；
切完第三刀，又增加两个面的面积是752﹣632＝120平方厘米，一个面的面积是120÷2
＝60平方厘米，然后比较即可。
【规范解答】解：752÷2＝376（平方厘米）
（472﹣376）÷2＝48（平方厘米）
（632﹣472）÷2＝80（平方厘米）
（752﹣632）÷2＝60（平方厘米）
48＜60＜80
答：在原来长方体的6个面中，面积最小的面是48平方厘米。
【考点评析】弄清楚每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切一刀，
表面积之和就多了两个这样的切面是关键
