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2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义
专题07 长方体和正方体的体积（一）
知识精讲
专题简析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要
注意几点：
1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
典例分析
【典例分析01】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是
多少平方厘米？（单位：厘米）
【思路点拨】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积
是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），
整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与
朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此
此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？【典例分析02】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面
积吗？（单位：厘米）
【思路点拨】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了
一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方
厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于
挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的 5
个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
【典例分析03】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积
比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？
【思路点拨】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体
增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。正方体有6个
这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
【典例分析04】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立
方厘米，求大长方体的表面积。【思路点拨】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用 a、b、h
分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，砖的体积是
a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知，a=12，b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。
【典例分析05】一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、
宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
【思路点拨】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于
此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17＋2），
即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．【规范解答】解：2×2×2
＝4×2
＝8（立方分米）
答：这个正方体的体积是8立方分米。
故选：C。
2．【规范解答】解：4×2×3
＝8×3
＝24（立方分米）
24立方分米＝24升
答：这个鱼缸的容积是24升。
故选：C。3．【规范解答】解：根据图，甲的表面积等于乙的表面积。
故选：C。
4．【规范解答】解：8÷2＝4（个）
4÷2＝2（个）
5÷2＝2（个）......1（分米）
4×2×2＝16（个）
答：能切成16个棱长是2分米的正方体。
故选：B。
5．【规范解答】解：（2ah+2ch）平方米或（a+c）×2×h（平方米）
答：新长方体表面积比原来增加了（2ah+2ch）平方米或[（a+c）×2×h]平方米。
故选：D。
二．填空题（共7小题，满分15分）
6．【规范解答】解：4×3×2
＝12×2
＝24（个）
1×24＝24（立方厘米）
答：一共需要24个这样的正方体才能摆满，摆成的长方体的体积是24立方厘米。
故答案为：24，24。
7．【规范解答】解：600升＝600立方分米
600÷（10×10）
＝600÷100
＝6（分米）
答：水面高度是6分米。
故答案为：6。
8．【规范解答】解：（3×1+1×1+3×1）×2
＝7×2
＝14（平方分米）
答：这个长方体的表面积是14平方分米。
故答案为：14平方分米。
9．【规范解答】解：由分析得：甲的体积等于乙的体积，甲的表面积小于乙的表面积。故答案为：＝，＜。
10．【规范解答】解：长方体宽＝a﹣5（分米）
长方体高＝2a（分米）
长方体底面积＝a（a﹣5）
＝a2﹣5a（平方分米）
长方体体积＝a×（a﹣5）×2a
＝2a2×（a﹣5）
＝2a3﹣10a2（立方分米）
答：这个长方体鱼缸的底面积是（a2﹣5a）平方分米，体积是（2a3﹣10a2）立方分米。
故答案为：（a2﹣5a），（2a3﹣10a2）。
11．【规范解答】解：8÷2＝4（厘米）
（8+4+4）×4
＝16×4
＝64（厘米）
（8×4+8×4+4×4）×2
＝（32+32+16）×2
＝80×2
＝160（平方厘米）
8×4×4
＝32×4
＝128（立方厘米）
答：它的棱长总和是64厘米，表面积是160平方厘米，体积是128立方厘米。
故答案为：64，160，128。
12．【规范解答】解：1升＝1000立方厘米
1000÷（10×5）
＝1000÷50
＝20（厘米）
5×4＝20（厘米）
（10×20+10×20+20×20）×2
＝（200+200+400）×2＝800×2
＝1600（平方厘米）
答：至少需要1600平方厘米的包装纸。
故答案为：1600。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
13．【规范解答】解：因为正方体的表面积和体积不是同类量，所以无法进行比较。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
14．【规范解答】解：将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积之和与原长
方体的表面积相比，这两个小长方体的表面积和比原来大长方体的表面积增加了两个切
面的面积。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
15．【规范解答】解：把一个长方体分成几个小长方体后，这几个小长方体的表面积和大
于原来长方体的表面积，这几个小长方体的体积和等于原来长方体的体积。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
16．【规范解答】解：1×1×6＝6（平方厘米），
所以正方体的棱长是1厘米，它的表面积就是6平方厘米．
所以“表面积是6厘米”弄错了面积单位，这个说法是错误的．
故答案为：×．
17．【规范解答】解：“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得
到长方体的体积。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）
18．【规范解答】解：（1）正方体4个面的面积：
2×2×4
＝4×4
＝16（平方米）长方体的表面积：
（4×2+4×2+2×2）×2
＝（8+8+4）×2
＝20×2
＝40（平方米）
组合图形的表面积：
16+40＝56（平方米）
（2）正方体的体积：
2×2×2
＝4×2
＝8（立方米）
长方体的体积：
4×2×2
＝8×2
＝16（立方米）
组合图形的体积：
8+16＝24（立方米）
19．【规范解答】解：5×5×6+5×2×4
＝25×6+10×4
＝150+40
＝190（平方厘米）
答：它的表面积是190平方厘米。
五．应用题（共4小题，满分27分）
20．【规范解答】解：60×30×20
＝1800×20
＝36000（立方厘米）
36000立方厘米＝36升
答：这个鱼缸的容积是36升。
21．【规范解答】解：（1）1分米＝10厘米
（10×3）×（2.5×3）×2.5＝30×7.5×2.5
＝562.5（立方厘米）
（2）（10×3）×（2.5×3）×2+（10×3）×2.5×2+（2.5×3）×2.5×2
＝30×7.5×2+30×2.5×2+7.5×2.5×2
＝450+150+37.5
＝637.5（平方厘米）
答：（1）这些牙膏盒的体积一共是562.5立方厘米。
（2）拼成的牙膏盒图形表面积是637.5平方厘米。
22．【规范解答】解：2厘米＝0.2分米
8×5×0.2
＝40×0.2
＝8（立方分米）
答：这些鱼、石子和植物占据了鱼缸8立方分米的空间。
23．【规范解答】解：减少的面的长（剩下正方体的棱长）32÷4÷2＝4（厘米）
原来长方体的高：4+2＝6（厘米）
原来的体积：4×4×6＝96（立方厘米）
答：原来长方体的体积是96立方厘米。
六．解答题（共4小题，满分26分）
24．【规范解答】解：（1）（8×5+8×3+5×3）×2
＝（40+24+15）×2
＝79×2
＝158（平方厘米）
8×5×3
＝40×3
＝120（立方厘米）
答：这个长方体的表面积是158平方厘米，体积是120立方厘米。
（2）3×3×4+（8×3+8×3+3×3）×2
＝9×4+（24+24+9）×2
＝36+57×2
＝36+114＝150（平方厘米）
3×3×3+8×3×3
＝27+72
＝99（立方厘米）
答：这个组合图形的表面积是150平方厘米，体积是99立方厘米。
25．【规范解答】解：表面积：10×l0×6+3.14×4×l0﹣3.14×（4÷2）2×2
＝600+125.6﹣25.12
＝700.48（dm2）
体积：10×10×10﹣3.14×（4÷2）2×10
＝1000﹣3.14×4×10
＝1000﹣125.6
＝874.4（ dm3）
答：它的表面积是700.48dm2，体积是874.4dm3。
26．【规范解答】解：（6×2+6×4+2×4）×2
＝（12+24+8）×2
＝44×2
＝88（平方米）
答：这个组合图形的表面积是88平方米。
27．【规范解答】解：设往两个容器中各倒x立方厘米的水，A容器的水高为h，B容器的
1
水高为h，
2
h＝ ， ，
1
所以，
700（1500+x）＝300（5600+x）
1050000+700x＝1680000+300x
700x﹣300x＝1680000﹣1050000
400x＝630000
400x÷400＝630000÷400
x＝1575．答：往两个容器中各倒1575立方厘米的水
