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7.1 基本立体图形及其特征（讲义）
目录
知识点01 棱柱的结构特征..................................................................................2
知识点02 棱锥的结构特征..................................................................................4
知识点03 棱台的结构特征..................................................................................5
知识点04：旋转体的结构特征...........................................................................6
知识点05：组合体 的结构特征.........................................................................8
知识点06 几何体的表面积与体积公式..............................................................9
题型一、棱柱的结构特征..................................................................................10
题型二、棱锥的结构特征..................................................................................15
题型三、棱台的结构特征..................................................................................20
题型四、旋转体的结构特征..............................................................................27
题型五、组合体的结构特征..............................................................................33
知识点01 棱柱的结构特征
1.
定义：上底面和下底面互相平行且全等，侧面均为平行四边形
的多面体叫做棱柱．
(1)
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
①两个底面仍然平行且全等
②所有的侧棱都平行且相等
③所有侧面都是平行四边形（包括矩形、菱形、正方形等特例）
④所有的侧棱仍然互相平行且长度相等
(2)
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
①所有侧棱均垂直于上、下底面，即相邻的侧棱和底边形成的角是直
角
②所有侧面都是矩形（特殊情况下可以是正方形）
③两个底面平行且全等（形状大小完全相同）
④所有侧棱平行且长度相等
⑤直棱柱的对角面通常是平行四边形或矩形
(3)
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
①底面为正多边形
②侧棱垂直于底面
③侧面皆为正方形
(4)
平行六面体：由六个平行四边形所围成的多面体。平行六
面体分为斜平行六面体和直平行六面体两种；侧棱不垂直于底面
的平行六面体为斜平行六面体，侧棱垂直于底面的平行六面体为
直平行六面体.
①相对面平行且全等
②平行棱长度相等
③六个面均为平行四边形
(5)
长方体：底面是矩形的直平行六面体
①6 个面：相对面平行且全等，且均为矩形（包括正方形）。
②12 条棱：分为3 组（长、宽、高），每组4 条棱平行且相等
③8 个顶点：每个顶点连接3 条棱（两两垂直）。
④8 个直角：所有面角（共24 个）和空间角均为90°。
(6)
正方体：棱长都相等的长方体
①所有棱等长（设棱长 aa）
②所有面为全等的正方形
知识点02 棱锥的结构特征
1.
定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角
形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
(1)
正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的
中心
①底面：正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。
②侧面：全等的等腰三角形（侧棱相等，底边为底面边长）。
③顶点投影：锥顶向底面的垂线落于底面正多边形的中心
(2)
正四面体：所有棱长都相等，且顶点在底面的射影是底面
的中心的三棱锥（四个面均为等边三角形）
①4 个面：全等的正三角形
②6 条棱：长度均相等
③4 个顶点：每个顶点连接3 条棱
④6 个二面角：所有面与面之间的夹角均相等
知识点03 棱台的结构特征
1.
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之
间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
①两个底面：平行且相似的多边形（上底面较小，下底面较大）
②侧面：均为梯形（若为正棱台，则侧面为全等的等腰梯形）
③侧棱：所有侧棱延长后交于一点（原棱锥顶点）
知识点04：旋转体的结构特征
1.
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成
的面所围成的几何体叫做圆柱．
①两个底面：平行且全等的圆形平面（半径 r）。
②侧面：光滑曲面（展开为矩形）。
③高（h）：两底面间的垂直距离。
④母线：平行于轴且连接两底圆周的线段（长度 =h=h）。
⑤轴：两底面圆心的连线（对称轴）。
2.
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其
旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
①一个底面：圆形平面（半径r）。
②侧面：光滑曲面（展开为扇形）。
③顶点：锥尖（旋转直角顶点）。
④高（h）：顶点到底面的垂直距离。
⑤母线：底面圆周上任意一点到顶点的线段（长度相等）。
⑥轴：顶点与底面圆心的连线（对称轴）。
3.
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的
部分叫做圆台．
①两个底面：平行且相似的圆形平面（下底面半径R，上底面
半径r，R>r）。
②侧面：光滑曲面（展开为扇环）。
③高（h）：两底面间的垂直距离。
④母线（l）：两底面圆周对应点的连线（所有母线延长交于一
点）。
4.
球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成
的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点
间的劣弧长度）．
①球心：空间中的固定点 OO（所有对称操作的不动点）。
②半径（rr）：球心到球面上任意点的距离。
③直径：通过球心的线段（长度 2r2r），是球的最长弦。
知识点05：组合体 的结构特征
1.
定义：由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体
叫做组合体．
知识点06 几何体的表面积与体积公式
表面
积
柱体
S直棱柱=c h+2S底
S斜棱柱=c
'l+2S底
为直截面周长
S圆锥=2π r
2+2πrl
锥体
S正棱锥= 1
2 nah
' + S
S圆锥= π r
2+ πrl = π
台体
S正棱台= 1
2 n(a+a
'
S圆台= π （r
' 2+r
2
球
S = 4 π R
2
体
积
柱体
V 柱= S h
锥体
V 锥= 1
3 S h
S
h
台体
V 台= 1
3 (S +
❑√S S
' + S
')h
球
V = 4
3 π R
3
题型一、棱柱的结构特征
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
【答案】D
【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边
形，但该几何体不是棱柱，故A 不正确；
对于B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以
B 不正确；
对于C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C 不正确；
对于D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都
是平行四边形，所以D 正确.
故选：D.
2．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
【答案】B
【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确.
【详解】A 错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；
B 正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至
少有两个面的形状完全相同；
C 错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；
D 错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公
共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱．
故选：B.
3．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六
棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【答案】D
【分析】由棱柱、棱锥、棱台的结构特征，判断各选项是否正确.
【详解】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A 错误；
选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B 错误；
选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360
∘时，各侧面构成
平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C 错误；
选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长
方形，符合长方体的定义，故D 正确．
故选：D
4．下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体
B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5 个面
D．正三棱锥的所有面都是全等的等边
三角形
【答案】C
【分析】根据柱体和锥体的定义，即可判断选项.
【详解】正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，不一定是
正方体，也可能是长方体，故A 错误.
圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故B 错误.
一个棱柱至少有5 个面，比如三棱柱，故C 正确.
正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故D 错
误.
故选：C
5．在三棱柱ABC - A1B1C1中，截去三棱锥C1- ABC后，剩余的部分是
（ ）
A．五棱锥B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
【答案】B
【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案.
【详解】如图可得三棱柱ABC - A1B1C1中，截去三棱锥C1- ABC后，剩余
的部分是四棱锥.
故选：B
6．正三棱柱ABC - A1B1C1的所有棱长都为4，E , F分别是B1C1, AB的中点，
则EF的长是（ ）
A．2❑√5
B．2❑√7
C．4
D．6
【答案】A
【分析】取BC的中点为D，连接DE , DF，结合勾股定理即可求解；
【详解】
取BC的中点为D，连接DE , DF，
由正三棱柱的性质易知：DE⊥平面ABC,
又DF ⊂面ABC，
所以DE⊥DF，又DE = 4 , DF =2，
所以EF = ❑√16+ 4 =2❑√5，
故选：A
7．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为❑√2，体对角线长为❑√6，
则这个棱柱的侧面积是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】根据棱柱的底面对角线长为
❑√2，求得底面边长，在由体对角线长
为❑√6，求得侧棱长，代入直棱柱的侧面积公式求解.
【详解】因为底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为
❑√2，
所以底面边长为1，
又因为体对角线长为
❑√6，
所以侧棱长为❑√6-2＝2.
∴S 侧＝1×2×4＝8.
故选：D
【点睛】本题主要考查正棱柱的结构特征和有关运算，属于基础题.
8．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（
）
A．4
B．❑√29
C．2❑√23
D．4 ❑√17
【答案】B
【分析】利用x
2+ y
2+ y
2=(x + y + z)
2-2(xy + yz + zx)可得对角线的长.
【详解】设长方体的三条棱的长分别为：x , y , z，
则¿，
可得对角线的长为
❑√x
2+ y
2+ z
2=
❑√( x + y + z)
2-2( xy + yz + zx)=
❑√9
2-52= ❑√29．
故选B．
【点睛】设长方体的棱长和为A，表面积为B，对角线的长为C，则
C =
❑√
A
2
16 - B，解题中注意各代数式之间的关系.
题型二、棱锥的结构特征
1．一个几何体恰有10 个顶点，则这个几何体可能是（ ）
A．四棱柱B．四棱台
C．五棱锥
D．五棱台
【答案】D
【分析】根据棱柱，棱台和棱锥的顶点个数，结合选项得出答案即可.
【详解】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8 个顶点，不满足题意；
对于B，四棱台是上下两个四边形，有8 个顶点，不满足题意；
对于C，五棱锥有6 个顶点，不满足题意；
对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10 个顶点，满足题意.
故选：D.
2．下列说法中正确的是（ ）
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行．
A．①
B．①②
C．②
D．③
【答案】B
【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可.
【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，
因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；
棱锥的侧棱交于一点，故③错误．
故选：B.
3．下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B．直四棱柱是长方体
C．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几
何体是一个圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】D
【分析】根据几何体的定义和性质，即可判断选项.
【详解】A. 圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径可能相等，故A 错误；
B.直四棱柱是底面是四边形，侧棱和底面垂直的棱柱，不一定是长方体，
故B 错误；
C. 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体
是一个组合体，上下是圆锥，中间是圆柱，故C 错误；
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D 正确.
故选：D
4．下列结论正确的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体
是四棱台
D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
【答案】D
【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台
特点即可判断D.
【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才
是正四棱锥，故A 错误；
对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两
个同底的圆锥，故B 错误；
对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱
台， C 错误；
对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D 正确.
故选：D.
5．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2 倍，则此正四
棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可
求解.
【详解】如图，在正四棱锥
中，
为四棱锥的高，
为侧
面的高，
因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2 倍，
所以
，解得
，
，
所以
，
故选：A.
6．已知以边长为4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为
，则该四棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可知平面
平面
，可知
平面
，再结合等体积法，即可求解．
【详解】底面
为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时，
不妨设
，
，
分别取
，
的中点
，
，连接
，
，
，
如图所示：
则
，
，且
，
，
平面
，
故
平面
，且
平面
，
所以平面
平面
，
过
作
的垂线，垂足为
，即
，
由平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
由题意可得：
，
，
，
则
，即
，
则
，
故
，
所以四棱锥的高为
，当相对的棱长相等时，不妨设
，
，
因为
，此时不能形成三角形
，与题意不符，这
样情况不存在．
故选：D．
7．已知正四棱锥
的底面积为64，侧棱长
，则该四棱锥的
高为（ ）
A．
B．
C．8
D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解.
【详解】如图：正四棱锥
的底面积为64，则
，
又顶点
在在底面
上的射影是四边形
的中心
，
过点
作
于
，连接
，
则
，又侧棱长为
，
所以该四棱锥的高为
.
故选：A.
8．底面边长为
，且侧棱长为
的正四棱锥的体积和侧面积分别为
（ ）
A．
B．
C．32，24
D．32，6
【答案】A
【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结
果.
【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影，
结合题设，底面对角线长为
，则棱锥的高
，斜高为
，
所以正四棱锥的体积为
，
侧面积为
.
故选：A.
题型三、棱台的结构特征
1．下列结论正确的是（ ）
A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形
B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台
C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
【答案】C
【分析】根据截面性质可判断A，根据棱台、棱柱、圆台的定义可判断
BCD.
【详解】对于A：用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，
当交线是母线时显然
对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组
对边分别平
行的截面不可能，故A 错误；
对于B：根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要
交于一点，故B 错误；
对于C：根据棱柱的定义可知：C 正确；
对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆
台，故D 错误；
故选：C.
2．给出下列命题：
①有两个面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四边形，且相邻两
四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱；
②有一个面是五边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围
成的封闭几何体一定是五棱锥；
③有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由
这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台.
其中正确的命题是（ ）
A．②③
B．①②
C．①③
D．①②③
【答案】B
【分析】①根据棱柱的定义进行判断；②根据棱锥的定义进行判断；③根
据棱台的定义进行判断．
【详解】①由棱柱的定义知①正确；
②由棱锥的定义知②正确；
③棱台是由平行于底面的棱锥所截得的，有两个面是互相平行且相似的矩
形（不全等），其余各面都是梯形，四条侧棱不一定交于一点，则③不一定是
四棱台，故③错误；
故正确的是①②；
故选：
．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合棱柱，棱锥，棱台的定义是
解决本题的关键，比较基础．
3．如图，
是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直
线的是（ ）．
A．
和
；
B．
和
；
C．
和
；
D．
和
．
【答案】D
【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断.
【详解】因为
是正四棱台，所以
，故
A 错误，
侧棱延长交于一点，所以
与
相交，故B 错误，
同理
与
也相交，所以
四点共面，所以
与
相交，
故C 错误，
与
是异面直线，故D 正确.
故选：D
4．如图，在正四棱台
中，
分别为棱
的中点，则（ ）
A．直线
与直线
是异面直线B．直线
与直线
是异面直
线
C．直线
与直线
共面
D．直线
与直线
共面
【答案】C
【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，
的
延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系.
【详解】延长
，
由正四棱台的性质可得侧棱
的延长线交于同一点，设该
交点为
.
分别为棱
的中点，
延长
，则
的延长线必过点
，
则直线
与直线
相交于点
；与直线
相交于点
；与直线
相交于点
；与直线
是异面直线.
故选：C.
5．如果棱台的两底面积分别是
，中截面的面积是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设棱台的高为
，棱台上底面截去的棱锥的高为
，根据比例关
系得到
，
，进而可得结果.
【详解】棱台可以看成是由与棱锥底面平行的平面截棱锥之后所得几何体，
设棱台的高为
，棱台上底面截去的棱锥的高为
，
因为棱台的两底面积分别是
，不放令
为上底面积，
为下底面积，
则
，
，
所以
，因此
；
故选：D
6．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374 年），
它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽
黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，
该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的
斜高约为（参考数据：
）（ ）
A．9.1m
B．10.9m
C．11.2m
D．12.1m
【答案】A
【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可.
【详解】如图所示，设该正四棱台为
，上下底面中心分
别为
，
分别取
的中点
，连接
，
在平面
内，作
交
于
，
则
，
，
，
显然四边形
是矩形，则
，
，
所以
，
在直角
中，
，
即该墩台的斜高约为9.1m.
故选：A
7．已知正四棱台
的体积为
，且
，
则正四棱台的高为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据正四棱台的体积公式，结合已知条件求出正四棱台的高.涉及
的公式为正四棱台体积公式
（其中
为体积，
为高，
为下底面积，
为上底面积）.
【详解】已知
，
，因为正四棱台的底面为正方形，可得下
底面积
，上底面积
.
已知正四棱台体积
，将
，
代入正四棱台体积公式
，可得
.
解得
.
即正四棱台的高为
.
故选：A.
8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4 和6，高是
，则它的侧
面积为（ ）
A．10
B．
C．40
D．44
【答案】C
【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方
法求其侧面积.
【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为
4，6，高为
，
所以侧面梯形的斜高为
，
所以棱台的侧面积为
.
故选：C
9．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，
鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中
国国家馆结构类似的正四棱台
，上下底面的中心分别为
和
，若
，
，则正四棱台
的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公
式，即可求得答案.
【详解】因为
是正四棱台，
，
，
侧面以及对角面为等腰梯形，故
，
，
，所以
，
所以该四棱台的体积为
，
故选：B.
题型四、旋转体的结构特征
1．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径
是10，水面宽
是16，则截面水深
是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由题意知
，交
于点
，在
中，求出
，即可得答案；
【详解】由题意知
，交
于点
，
∵
，∴
，
在
中，∵
，
，
∴
，∴
．
故选：B．
2．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R 的圆柱内装等高H 的液体，
圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝
R，圆锥内
液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（ ）
A．V1＝2V2 B．V1＝V2
C．V2＝2V1
D．V1＝
V2
【答案】B
【分析】由题意可得H＝
R，得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半
径，再由圆锥与圆柱体积公式求解
【详解】解：如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝
R，
则圆锥的水面圆的直径为
，
由
,
所以
,
故选：B
【点睛】此题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，属于基础题
3．已知圆锥PO 的底面半径为
，轴截面的面积为
，则该圆锥的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据轴截面面积和底面半径得到圆锥的高，进而得到圆锥的体积.
【详解】轴截面为等腰三角形，底边长为
，设圆锥的高为
，
则
，解得
，
故圆锥的体积为
.
故选：B
4．已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为
，则该圆锥的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系
，再结合
和
即可计算.
【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为
，则外接球表面积为
，则
，
即
，
设圆锥的高为
，圆锥的底面圆半径为
，则
，
由
，解得
，
则此圆锥的表面积为
.
故选：B
5．给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的
棱柱是正棱柱；③有两个面平行且相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台；
④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个
数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】根据正三棱锥的性质判断①，根据正棱柱的概念判断②，根据棱
台的概念判断③，根据圆台的概念判断④.
【详解】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等，
且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，侧棱长和底面棱长不一定相
等，故①错误；
底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误；
对③如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，
错误；
对于④，根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所
得的旋转体为圆台，
另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，错误.
故选：A
6．下列命题中为真命题的是（ ）
A．圆台的侧面展开图是一个扇形
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的
公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D．五棱锥共有6 个顶点，11 条棱
【答案】C
【分析】利用圆台、棱台、棱柱、棱锥的结构特征逐项判断即得.
【详解】对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，A 错误；
对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱
台，B 错误；
对于C，由棱柱的定义知，C 正确；
对于D，五棱锥共有6 个顶点，10 条棱，D 错误.
故选：C
7．已知
，
，
是球
的球面上的三个点，且
，
球心
到平面
的距离为1，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，
由表面积公式求解即可.
【详解】设球O 的半径为R，
外接圆的半径为r，则
.
因为球心O 到平面ABC 的距离为1，所以
，从而球O 的表
面积为
.
故选：B
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个
球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如
果不计容器厚度，则球的表面积为（ ）
.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出正方体的上底面截球面所得小圆半径，再利
用截面性质列式求出球半径，进而求出球的表面积.
【详解】正方体的上底面所在平面截球面所得小圆为正方形的内切圆，半
径
，
设球半径为
，依题意，球心到截面小圆距离
，
由截面小圆性质得
，即
，解得
，
所以球的表面积为
.
故选：A
9．如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l 旋转一周可以
得到（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根
据四个选项中三角形的特征及旋转轴即可作出判断．
【详解】A 旋转一周是圆锥，不满足题意；
B 旋转一周是两个圆锥，满足题意；
C 旋转一周是圆锥，不满足题意；
D 旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意.
故选：B.
10．旋转后形成的几何体如图所示的平面图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】直接根据旋转体的定义得到答案.
【详解】观察图形知：选项
旋转形成图中几何体
故选：
【点睛】本题考查了旋转体对应的平面图像，属于简单题.
题型五、组合体的结构特征
1．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去
八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12 个面
C．该几何体恰有24 条棱
D．该几何体恰有12 个顶点
【答案】B
【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可.
【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A 正确；该几何
体恰有14 个面，B 不正确；该几何体恰有24 条棱，C 正确；该几何体恰有12
个顶点，D 正确．
故选：B
2．如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【答案】B
【分析】根据组合体基本构成即可得答案.
【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.
故选：B.
3．下列说法正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
【答案】C
【分析】根据几何体的结构特征可以一一判断各选项.
【详解】对于A，当直四棱柱的底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，
A 错误；
对于B，不符合棱柱的结构特征，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以
正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱，B 错误；
对于C，正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体，C
正确；
对于D，不符合台体的结构特征, 截面应该跟底面平行，D 错误.
故选：C
4．由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中
塔的底面是边长为
的正六边形，则该塔底面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分成六个等边三角形，计算面积和.
【详解】因为正六边形的边长为
，所以正六边形可以分成六个等边三
角形，
所以面积
.
故选：D.
5．已知正三棱锥
中，
，
，该三棱锥的外接球球
心
到侧面距离为
，到底面距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意得到
，
，
两两垂直，把该三棱锥补成一个正
方体，结合正方体的性质，即可求解.
【详解】由题意，正三棱锥
中，
，
则
，所以
，同理可得
，
即
，
，
两两垂直，可把该三棱锥补成一个正方体，
则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即正方体的体对角线就是球
的直径，
所以球心
位于正方体对角线的中点,
所以三棱锥的外接球球心
到侧面距离为
，到底面距离为
，
所以
.
6．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体
包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆柱、一个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
【答案】D
【分析】根据旋转体的概念，作出直观图，可得答案.
【详解】图①是一个等腰梯形，
为较长的底边，
以
边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，
如图②，包括一个圆柱、两个圆锥，
故选：D
7．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一
个平面截它，所得截面图形不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可
判断选项.
【详解】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，
截面图形是A；
当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B；
当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C；
过球心的截面不能为D.
故选：D
8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面
圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则
截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（1）（5）
【答案】D
【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形
状即可.
【详解】当截面
如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；
当截面
如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物
线的形状；
故选：D
9．如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正
方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面
去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解.
【详解】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四
个面的中心，即可得到截面图形A，如图；
对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正
方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B；
对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，
切点在截面
的边CD 的中点处，且CD 为长方形
中较短的线段，
即可得到D.
故选：C
10．如图，在圆柱
内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均
相切.若
，则圆柱
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的内切球，求出圆柱
的底面半径和母线长，根据圆
柱的表面积公式求解即可.
【详解】由题意知，圆柱
底面半径
，母线长
，
所以圆柱
的表面积
.
故选：C
