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第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·广西玉林·高一期末）若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
由题可知，该圆锥的底面半径为 ，因此，该圆锥表面积为
故选：A
2．（2022·广东梅州·高一期末）如图， 是水平放置的 AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，
已知 为坐标原点，顶点 、 均在坐标轴上，且 AOB的面△积为12，则 的长度为（ ）
△
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
画出 AOB的原图为直角三角形，且 ，
△
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
3．（2022·广东茂名·高二期末）储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢
板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300 的水
稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ）A．6 B．9 C．10 D．11
【答案】C
因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，
所以圆锥的母线长为2，底面半径为 ，
所以一个“钢板仓”的体积为
，
因为
所以要储存300 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个，
故选：C
4．（2022·辽宁锦州·高一期末）正三棱锥 的高为 ，斜高为 ，则该三棱锥的侧棱长为
（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
依题意作上图，其中E是BC的中点，D是正三角形ABC的中心，
并且 平面ABC， ，
则有 ，在 中，
，
在 中， ；
故选：D.5．（2022·上海·复旦附中高二期末）小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直
六棱柱 ，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六
棱柱 ，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为 和 ，斜棱柱的体积和侧面积
分别为 和 ，则（ ）.
A． B． C． D． 与 的大小关系无法确定
【答案】A
设底面面积为S，底面周长为C，
则 ， ，所以 ，
设斜棱柱的高为 ，则 ，
,
所以 .
故选：A
6．（2022·湖南常德·高一期末）轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为 ，
则该圆锥的内切球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
轴截面如图所示，设内切球的半径为 ，则 ，
由题意可得 ， ，
在 中， ，所以 ，即 ，
所以内切球体积为 ，
故选：D
7．（2022·河南驻马店·高一期末）已知平面四边形ABCD，连接对角线BD，得到等边三角形ABD和直角
三角形BCD，且 ， ， ，将平面四边形ABCD沿对角线BD翻折，得到四面体
，则当四面体 的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．18π C．21π D．28π
【答案】C
因为底面 为正三角形，所以底面 面积为定值，
所以当 平面 时，四面体ABCD的体积最大.
设 外接圆圆心为 ,则四面体ABCD的外接球的球心 满足 ,且 ，三角形
的外接圆半径为 ，
因此外接球的半径 满足
从而外接球的表面积为 .
故选：C.
8．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图所示，在平面四边形 中， ， ，
， ．现将 沿 折起，并连接 ，当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 的面积不变，要使体积最大，需
D到平面ABC的距离最大，
即当平面ACD 平面ABC时，体积最大，
因为 等腰直角三角形，取AC中点E,则DE 平面ABC，高为DE= 最大，AC= ，则
中， ，BC= ，AB= ，所以EB= ，故 中BD= ，所以 中
，即得空间中
即AB为球的直径，故半径 ，所以外接球的表面积 .
故选:D.
二、多选题
9．（2022·重庆八中高一期末）某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台 ，在轴
截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为
D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm
【答案】BCD
如图，作 交 于 ，易得 ，则 ，则圆台的高为
，A错误；
圆台的轴截面面积为 ，B正确；
圆台的体积为 ，C正确；
将圆台一半侧面展开，如图中 ，设 为 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形 ，由圆
台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm，底面半径为4cm，侧面展开图的圆心角为 ，连接
CP，可得∠COP＝90°，OC＝8，OP＝4＋2＝6，则 ，所以沿着该圆台表面从点C到AD
中点的最短距离为10cm，故D正确．
故选：BCD.
10．（2022·安徽宣城·高一期末）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点 、 ，若线段
的最小值为 ，则（ ）
A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为
C．正四面体的外接球的体积为 D．线段 的最大值为
【答案】ABD
设这个四面体的棱长为 ，则此四面体可看作棱长为 的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方
体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，
设外接球的半径为 ，内切球的半径为 ，则
，所以 ，四面体的高为 ，则等体积法可得
，
所以 ，
由题意得 ，
所以 ，解得
所以A正确，
所以 ，所以外接球的体积为 ，所以C错误，
因为内切球半径为 ，所以内切球的表面积为 ，所以B正确，
线段 的最大值为 ，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题
11．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西
经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.
【答案】
如图示，设 为北纬30°圈的圆心，地球球心为O，
则 ,故 ,即北纬30°圈的圆的半径为 ，
由题意可知 ,
故点A和B两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的 的长，故 的长为 ,
故答案为：
12．（2022·广东·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，
书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四
棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖孺．如图，在堑堵 中， ，
， ，则鳖臑 的外接球的表面积为__________．
【答案】
堑堵 的外接球即为鳖臑 外接球，又可将堑堵 补成长方体，长方体的外
接球即为堑堵 的外接球，
长方体的外接球直径为 ，
所以鳖臑 的外接球的半径为 ，
∴鳖臑 的外接球表面积为 ．
故答案为： .
四、解答题
13．（2022·广东佛山·高一期末）如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面 水平放置时，
水面恰好过AC，BC， ， 的中点E，F，G，H．(1)直接写出直线FG与直线 的位置关系；
(2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由．
(3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面 全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好
装满此三棱锥，求此三棱锥的高．
【答案】(1)异面(2)不是棱台，理由见详解(3)18
(1)因为水面恰好过AC，BC， ， 的中点E，F，G，H，
所以
又 且
因此 且 ，所以四边形 是平行四边形，
故 ，而 ，所以直线FG与直线 不可能平行，
而面 平面 ，所以直线FG与直线 不可能是相交直线，
所以直线FG与直线 是异面直线；
(2)因为棱台各侧棱交于一点，易知 无交点，
所以该几何体不是棱台；
(3)设此三棱锥的高为 ，底面面积为S，
容器中水的形状为棱柱，体积为
所以有 ，解得 ，即三棱锥的高为18
14．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB是圆柱 的一条母线，BC过底面圆心O，D是
圆O上一点．已知 ，
(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
【答案】(1) (2)
(1)由题意知AB是圆柱 的一条母线，BC过底面圆心O，且 ，
可得圆柱的底面圆的半径为 ，
则圆柱的底面积为 ，
圆柱的侧面积为
所以圆柱的表面积为 ．
(2)由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，
线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥，
所以以 绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为：
．
B 能力提升
1．(多选）（2022·海南·高一期末）已知正四棱台 的体积为 ，且 ，则
（ ）
A．正四棱台的侧棱长为 B．侧棱与底面所成的角为
C．正四棱台的侧面积为 D．正四棱台的外接球体积为
【答案】ABD
设正四棱台的高为k，由题意可知该四棱台的上下底面面积分别为1和4，
则 ，得 ．如图，过 作 底面 ，易知点G在线段AC上，则 ，
又由 ， ，可得 ，
所以 ，故A正确；
在 中， ，所以 ，
即侧棱与下底面所成的角为 ，故B正确；
在梯形 中， ， ，高为 ，
所以梯形 的面积为 ，
因此正四棱台的侧面积为 ，故C错误；
设正方形 的中心为O，易知 为等边三角形，
，由正四棱台的对称性可知，
点O到正四棱台的8个顶点的距离均相等，即外接球的半径为 ，
则正四棱台的外接球体积为 ，故D正确．
故选：ABD
2．（2022·江苏徐州·高一阶段练习）已知正方体 的棱长为6， ､ 分别是 ､ 的中
点，平面 截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为___________，截面多边形的周长为
___________.
【答案】 五, .
解：延长EF交DA的延长线于M,连接MC交AB于N, 延长FE与DD1的延长线相交于点P,连接PC交
C1D1于Q,连接EQ, 则五边形EFNCQ即为平面 截正方体所得的截面.
如图所示：则有A1F=FA=AM=3,
又因为 与 相似，
所以 ，解得AN=2,
所以 ， ，
同理可得：QD =2,QC =4,
1 1
所以 ， ，
又因为 ，
所以五边形EFNCQ的周长为 ，
故答案为：五； .
C 综合素养
1．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，
有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．
图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.
【答案】
解：如图所示：
易知该几何体是侧棱长为1，以边长为1的等边三角形 为底的两个正三棱锥组成，
O为 的中心，即内切球的球心，M为FB的中点，连接HM，
作 ，则ON为内切球的半径，
因为 ，
所以 ，
所以内切球的半径为 ，
内切球的体积为 ，
故答案为： ，
2．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边 的中点，将， ， 分别沿 向上翻折至与平面 均成直二面角，得到几何体 ．
则二面角 的余弦值为_____；几何体 的外接球表面积为_____．
【答案】 ##
取 的中点 ， 的中点 ，故 ，根据面面垂直的性质可得 平面 ，
平面 ，故 ，且 ，故矩形 .所以 .根据图形的对称性，易得
为正三角形，取 中点 ，因为 ， ，则 ， ，则二面角
为 ，且 ，作 ，易得 ，且
， ，故
，即二面角 的余弦值为
（2）设几何体 的外接球球心为 ，设 中心为 ， 中心为 ，易得 共线，如
图，设外接球半径 ，根据正三角形中的关系， ， .因为 ，
则 ，即 ，即 ，故
，解得 ，故外接球表面积为故答案为： ；
3．（2022·山东菏泽·高一期中）在一个正方形 内有一个小正方形ABCD和四个全等的等边三角形
（如图1）．将四个等边三角形折起来，使 、 、 、 重合于点P，且折叠后的四棱锥 （如
图2）的外接球的表面积是 ，则四棱锥 的侧棱PA的长为______；若在四棱锥 内放
一个正方体，使正方体可以在四棱锥 内任意转动，则该正方体棱长的最大值为______．
【答案】
连接AC，BD交于点O，
则易得 是等腰直角三角形，
则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，
则外接球的半径是OA= ，所以 ， ，即 ，
因此 ，
故四棱锥P－ABCD的体积 .
设四棱锥P－ABCD的内切球半径为R，
四棱锥的表面积： ，
所以四棱锥的体积 ，
则 ，
在四棱锥P－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，设
放入四棱锥S－ABCD内部的小正方体棱长为a，
则 ，故 ，
故a最大为 ，
故答案为： ， .
4．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由
边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正
多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的
表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为
___________.
【答案】
由题意知，该半正多面体的外接球的球心是正方体的中心，正方体棱长为 ，所以该半正多面体外接球的半径 ，故其表面积为 .
若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正
四面体体积最小.
此时，设正四面体的棱长为a，则正四面体的高为 ，考查轴截面，则有 ，解
得 ，
所以 .
故答案为： ； .
