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专题一 三角函数、解三角形与平面向量
第3 讲 解三角形
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅱ卷，T5)在△ABC 中，BC=2，AC=1+❑√3，AB=❑√6，则A 等于( )
A.45°
B.60°
C.120°
D.135°
2.(2024·全国甲卷，T11)在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若B=π
3 ，b2=9
4 ac，则sin
A+sin C 等于( )
A.2❑√39
13
B.
❑√39
13
C.
❑√7
2
D.3 ❑√13
13
3.(2023·全国乙卷，T4)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若acos B-bcos A=c，且C=π
5
，则B 等于( )
A. π
10
B.π
5
C.3 π
10
D.2π
5
4.(2023·全国甲卷，T16)在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，BC=❑√6，∠BAC 的角平分线交BC 于D，则
AD= .
5.(2024·新课标Ⅰ卷，T15)记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin C=❑√2cos B，a2+b2-
c2=❑√2ab.
(1)求B；
(2)若△ABC 的面积为3+❑√3，求c.
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有考查.分值约为5~13 分.
【考向预测】一是考查正弦定理与余弦定理，利用正弦、余弦定理解三角形；二是考查利用正、余弦定理
解决平面几何问题，将已知条件转化到三角形中，根据条件类型选择解题依据求解；三是考查三角形中的
最值、范围问题，将三角函数与三角形相结合求解最值、范围等问题，综合性较强.
考点一 正弦定理、余弦定理
【典例】1 (1)(2025·南昌模拟)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若b=3，2acos
C+2ccos A=3a，则a 等于( )
A.2
B.3
C.4
3
D.9
2
(2)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若b
a+c =1-
sinC
sin A +sin B ，a=3，b=2❑√2，则sin B
的值为( )
A.1
2
B.3
5
C.
❑√3
2
D.
❑√6
3
【考法归纳】(1)三角形边角转化的主要策略
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.
(2)解决此类问题时要注意
①“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”；②三角形内角和定理；③公式变形，角的范围限制.
【变式训练】1 (1)(2025·吕梁模拟)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
a
cosC =
c
cos A ，则△ABC 是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
(2)(2025·重庆模拟)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足a(cos B-cos C)=(b+c)cos
A，若sin B=1
3，则b
a等于( )
A.3 ❑√2
8
B.4 ❑√2
3
C.2
3
D.1
2
考点二 解三角形在平面几何中的应用
【典例】2 (1)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC 的平分线AD 的
长为4 ❑√6
5
，则BC 边上的中线AH 的长等于( )
A.
❑√17
2
B.4 ❑√2
3
C.
❑√17
4
D.4 ❑√3
3
(2)(2025·福州质检)记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知acos C-ccos A=c+b.
①求A；
②D 为边BC 上一点，若∠BAD=90°，且BD=4CD=4，求△ABC 的面积.
【考法归纳】解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识(相似三角形的边角关系、平
行四边形的性质等)与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
【变式训练】2 (2025·泰安模拟)设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且(a-
c)·sin(B+C)=(b-c)·(sin B+sin C)，b=❑√3.
(1)求B；
(2)若|⃗BA+⃗BC|=3，求△ABC 的周长；
(3)如图，点D 是△ABC 外一点，设∠BAC=∠DAC=θ，且∠ADC=2π
3 ，记△BCD 的面积为S，求S 关于
θ 的关系式.
考点三 解三角形中的最值、范围问题
【典例】3 (2025·宜昌模拟)如图所示，在△ABC 中，sin C=3sin B，AD 平分∠BAC，且AD=kAC.
(1)若DC=2，求BC 的长度；
(2)求实数k 的取值范围；
(3)若S△ABC=3
2，求k 为何值时，BC 最短.
【考法归纳】解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a+b 与ab 相互转化求最值或范围.
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值或范围.
【变式训练】3 (2025·安徽江淮十校联考)在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点D
在边AB 上，且CD⊥BC，S△ACD=1
2S△BCD=
❑√3
6 accos B.
(1)求B；
(2)若CD=2❑√3，点E 在线段AB 上，当△CBE 为锐角三角形时，求2CE+BE 的取值范围.
专题强化练
[分值：90 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·杭州模拟)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，A=60°，b=1，c=4，则a 等于( )
A.❑√13
B.❑√15
C.❑√19
D.❑√21
2.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a2，b2，c2成等差数列，且△ABC 的面积为b
2
3 ，
则tan B 等于( )
A.1
2
B.2
C.4
3
D.3
4
3.(2025·苏州模拟)在△ABC 中，A=π
6 ，BC=2，若满足上述条件的△ABC 恰有一解，则边长AC 的取值范围
是( )
A.(0，2)
B.(0，2]
C.(0，2)∪{4}
D.(0，2]∪{4}
4.(2025·赤峰模拟)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且b+c=4
3 a，cos B=1
6，则△ABC 的形
状是( )
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不确定
5.(2025·咸阳模拟)已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若c=1，a+b=cos A+cos B，则该
三角形的外接圆的面积为( )
A.π
3
B.π
4
C.π
2
D.π
6.如图，在平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，∠B=2∠D=120°，记△ABC 与△ACD 的面积分别为S1，S2，
则S2-S1的值为( )
A.2
B.❑√3
C.1
D.
❑√3
2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·南宁模拟)已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2bcos A=acos C+ccos A，b=4，
边BC 上的中线AD=❑√7，则下列结论正确的有( )
A.A=π
3
B.⃗AB·⃗AC=8
C.△ABC 的面积为2❑√3
D.△ABC 的外接圆的面积为4π
8.(2025·武汉模拟)四边形ABCD 内接于半径为R 的圆，如图所示，其中AB=❑√2，BC=3，CD=2❑√2，
DA=1，则下列结论正确的有( )
A.sin∠ADC=7 ❑√2
10
B.R=❑√10
C.四边形ABCD 的面积为7
2
D.⃗AB·⃗AD=-1
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若asin 2B+ccos(A+C)=bcos C，则B= .
10.(2025·宜春模拟)在△ABC 中，D 是边AB 上的一点，且满足∠ACD=∠BCD=π
3 ，BD=35
4 ，AD=21
4 ，则
△ABC 的面积为 ；若E 是边AB 的中点，则CE
CD = .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)(2025·太原模拟)已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，sin2A+cos 2B+sin2C=1，且
a，b，c 成等比数列.
(1)求B；(6 分)
(2)若点D 满足⃗AB=⃗BD，△ABC 的外接圆半径为2❑√3
3
，求△BCD 的内切圆半径.(7 分)
12.(15 分)(2025·长春模拟)已知锐角△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a=❑√3，❑√3cos B+
1
2b=c.
(1)求A；(5 分)
(2)求2b
2+c
2
bc
的取值范围.(10 分)
【巩固必刷题】(每小题5 分，共10 分)
13.已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足1
a+b+ 1
b+c =
3
a+b+c ，则cos 2B 等于( )
A.1
2
B.-1
2
C.
❑√3
2
D.-
❑√3
2
14.(5 分)(2025·鹰潭模拟)如图，在△ABC 中，M，N，P 三点分别在边AB，BC，CA 上，则△AMP，
△BMN，△CNP 的外接圆交于一点Q，称点Q 为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形ABCD 中，
∠B=∠C=60°，AB=4，AD=2，M 为CD 边的中点，动点P 在BC 边上，△ABP 与△CMP 的外接圆交于点
Q(异于点P)，则BQ 的最小值为 .
