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第13 讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应
用
目录
类型一：泰勒展开式................................................................................................................ 2
类型二：利用超越不等式比较大小........................................................................................13
类型三：利用对数型超越放缩证明不等式.............................................................................17
类型四：利用指数型超越放缩证明不等式.............................................................................25
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在
处具有
阶导数的函数利用关于
的
次多项式来逼近函数
的方法.
若函数
在包含
的某个闭区间
上具有
阶导数，且在开区间
上具有
阶导数，则对闭区间
上任意一点
，成立下式：
其中：
表示
在
处的
阶导数，等号后的多项式称为函数
在
处
的泰勒展开式，剩余的
是泰勒公式的余项，是
的高阶无穷小量.
2、麦克劳林(Maclaurin)公式
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取
的特殊结果，由于麦克劳
林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.
3、常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
4.1 对数型超越放缩：
（
）
上式（1）中等号右边只取第一项得：
结论①
用
替换上式结论①中的
得：
结论②
对于结论②左右两边同乘“
”得
，用
替换“
”得：
（
）
结论③
4.2 指数型超越放缩：
（
）
上式（2）中等号右边只取前2 项得：
结论①
用
替换上式结论①中的
得：
结论②
当
时，对于上式结论②
结
论③
当
时，对于上式结论②
结
论④
类型一：泰勒展开式
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数
和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算
，
，
，
等函数的函数值时，是通
过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数
在含有
的
某个开区间
内可以多次进行求导数运算，则当
，且
时，有
．其中
是
的导数，
是
的导数，
是
的导数，阶乘
，
．取
，则
的“泰勒展开式”中第三个非零项为
，
精确到0.01 的近似值为 ．
【答案】
0.84
【分析】根据泰勒展开式，化简得到
，求得的“泰勒展
开式”中第三个非零项，令
，代入上式，进而求得的近似值．
【详解】根据题意，
，
取
时，可得
，
则
，
所以
的“泰勒展开式”中第三个非零项为
，
令
，代入上式可得
．
故答案为：
；0.84
例题2．（24-25 高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将
在
处及
其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中
表
示
的n 次导数），以上公式我们称为函数
在
处的秦勒展开式．
(1)分别求
在
处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：
．（其中为虚数单
位）；
(3)当
时，求证：
．（参考数据
）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数
在
处的泰勒展开式的公式即可求解；
（2）把
在
处的泰勒展开式中的
替换为
，利用复数的运算法则进行化简整理可
得
，从而即可证明；
（3）根据
在
处的泰勒展开式，先证当
时，
恒成立，再证
当
时，
恒成立，即可证得
.
【详解】（1）因为函数
在
处的泰勒展开式为
（其中
表示
的n 次导数），
所以
，
，
在
处的泰勒展开式分别为：
；
；
.
（2）把
在
处的泰勒展开式中的
替换为
，可得
，
所以
，即
.
（3）由
在
处的泰勒展开式，先证当
时，
，
令
，
，又
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，
再令
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，
所以当
时，
恒成立，
则
，
所以
.
【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据
在
处的泰勒展开式，先证
当
时，
恒成立，再证当
时，
恒成立，即
可证得
.
例题3．（24-25 高二下·河南信阳·期中）电脑或计算器计算
，
，
，
等函数
的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如
果函数
在含有x0的某个闭区间
上具有n 阶导数，且在开区间
，b）内具有
阶导数，则对于闭区间
上的任意一点
，有
，我们称上
式为函数
在
处的泰勒展开式，其中
为
的高阶无穷小量
．特别地，当
在
处n 阶连续可导，则称
为函数
的麦克劳林公
式．如
的麦克劳林公式为
，
(1)利用麦克劳林公式估算
的近似值（精确到0.01）；
(2)当
时，比较
与
的大小并证明；
(3)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
(3)
【分析】（1）是将特定值代入函数展开式进行近似计算；
（2）通过构造函数，利用导数研究其单调性，进而证明不等式．
（3）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求解不等式恒成立时参数的取值范
围．先对函数
求导，然后分
和
两种情况进行讨论，根据函数单调性判断
与
的大小关系．
【详解】（1）令
，代入上式可得
，所以
．
由
两边同时求导得
，（或通过麦克劳林公式计算得到）
所以
，所以
（2）
证明：令
，
则
，设
，则
，
所以函数
在
上单调递增，则
（或通过麦克劳林公式得
到）．
所以函数
在
上单调递增，则
．
所以当
时，
，即证
．
（3）若
，即
令
，则
，
①当
时，若
，
令
，则
，则函数
在
上单调递增，且
，即
；（或通过麦克劳林公式得到）
令
，则
，令
，令
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
若
，则
，即
（或通过麦克劳林公式得到），
所以
，则
，
所以函数
在
上单调递增，则
，
即
恒成立．
②当
时，
，
存在实数
，使得
均有
，
则函数
在
上单调递减，且
，不符合题意，
所以当
时，不符合题意．
综上，
的取值范围为
．
精练高频考点
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数
可导，我们通常把导函
数
的导数叫做
的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导
数，记作
，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，
阶导数的导数叫做
阶
导数，记作
.②若
，定义
.③若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶
的导数，那么对于任一
有
，我
们将
称为函数
在点
处的
阶泰勒展开式.例如，
在点
处的
阶泰
勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
处的阶泰勒展开式
；
(2)比较（1）中
与
的大小.
(3)证明：
.
【答案】(1)
,
；
(2)答案见解析；
(3)证明过程见解析.
【分析】（1）根据
在点
处的
阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令
，利用导数可求得
在
上单调递增，结合
可得
的正负，由此可得
与
的大小关系；
（3）令
，利用导数可求得
，即
；①当
时，由
，
，可直接证得不等式成立；②当
时，分类讨论，由此可证得不等式成立.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
，
，即
；
同理可得：
；
（2）由（1）知：
，
，
令
，则
，
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递
增；
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
；当
时，
；
综上所述：当
时，
；当
时，
；当
时，
；
（3）令
，则
，
，
在
上单调递增，
又
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
；
在点
处的
阶泰勒展开式为：
，
，当且仅当
时取等号，
①当
时，由（2）可知，
，当且仅当
时取等号，所以
；
②当
时，设
，
，
，
，
当
，由（2）可知
，所以，
，即有
；
当
时，
，
所以，
时，
单调递减，从而
，即
．
综上所述：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确
阶泰勒展开式
的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在
处的阶泰勒
展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
2．（24-25 高一上·湖南长沙·期末）十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公
式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟
合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的
阶泰勒展开式为：
，
，
，
其中
，读作
的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用
计算器计算
，得到的值约为
，用泰勒展开式前三项计算
得到
.
(1)
，
，
，比较
的大小;
(2)当
时，证明：
；
(3)设
，是否存在区间
，使得
的定义域为
时，值域也为
？若存在，求出所有的区间
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
.
【分析】（1）根据题意中常见函数的
阶泰勒展开式，即可比较
的大小；
（2）构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证；
（3）由题知
，
，当
时，显然成立，当
真包
含于
时，结合函数单调性可得
，即可判断此时不存在符合条件的区间，然
后下结论即可.
【详解】（1）由题知，用泰勒展开式前三项计算，
则
，
又
，
，
所以
.
（2）设
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，所以
；
设
，
，
则
，
令
，
，则
在
上单调递增，
令
，
，则
在
上单调递减，
又
，
，
所以
，即
，
综上，
.
（3）易知
，
，
当
时，显然成立；
当
真包含于
时，若
，则函数最小值应大于
，故
，
则函数最大值小于
，于是
，因此
.
同理，若
，也能得到
.
所以函数
在区间
上单调递减，
所以
，于是
，
变形有
，
又函数
在区间
上为单调递增函数，且为奇函数，
故
，所以
可以化为
，
由（2）可以知道
没有两个解，
此时不存在区间
满足条件.
综上所述，符合条件的区间只有
.
3．（24-25 高三上·四川成都·开学考试）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，
的麦克劳林展开式为：
，其中
表示
的n 阶导数在0 处的取值，我们称
为
麦克劳林展开式的第
项．例如：
．
(1)请写出
的麦克劳林展开式中的第2 项与第4 项；
(2)数学竞赛小组发现
的麦克劳林展开式为
，这意味
着：当
时，
，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
(3)当
时，若
，求整数
的最大值．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)3
【分析】（1）根据泰勒展开式得出第2 项及第4 项；
（2）构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式；
（3）先根据特殊值法得出
的范围，再应用麦克劳林的结论证明成立即可.
【详解】（1）因为
所以第2 项
.
（2）设
，
，
因为
所以
单调递增，
所以
，
所以
.
（3）当
时，
成立，得出
，
的最大整数不超过3.
当
时，因为
，所以
，
所以
，
令
当
单调递增，则
，
所以
，
故当
时，
，所以整数m 的最大值为3.
【点睛】方法点睛：构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式.
类型二：利用超越不等式比较大小
典型例题
例题1．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用不等式
，当且仅当
时等号成立，可得当
时，
，所以
，
，可判断
；设
，
，利用导数分析
的单调性可得
，即
，可判断
，继而即可求解.
【详解】令
，则
，
令
，则
，令
，则
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故
，即
，即
，当且仅当
时等号成立，
当
时，由
，得
，
所以
，
，即
.
设
，
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小的四种类型.
1.构造相同函数，比较不同函数值；
2.构造不同函数，比较相同函数值；
3.构造不同函数，比较不同函数值；
常用切线不等式；高次不等式放缩；分式不等式放缩.
4.先同构，再构造，再比较.
例题2．（24-25 高三下·云南昆明·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性，再构造函数求出导数根据函数单调性即可判断大小.
【详解】
，
又∵
且
，
∴令
则
时，
，即
时，
单调递增．
由
得
即
，
故选:A．
例题3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，由导数得出单调性即可得出
，构造
，由导数得出单调性，即可得出
．
【详解】构造函数
，
当
时，
，故
在
上单调递增，
所以
，
构造函数
，
则
，
当
在
单调递增，
所以
，即
，
所以
.
故选：B．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·山东青岛·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小.
【详解】令
，求导得
，函数
在
上单
调递增，
则
，即
，
；
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递减，
则
，即
，
所以
.
故选：A
2．（24-25 高二下·辽宁·期中）已知实数
分别满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导结合不等式判断即可．
【详解】设
，（
），则
，
则函数
在
上单调递减，所以
，则
；
设
（
），则
，
则函数
在
上单调递减，所以
，则
.
所以
；
设函数
（
），对其求导
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增.
所以
，
所以
，即
.
综上可得：
．
故选：D
3．（24-25 高二下·河北石家庄·期中）已知
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，求导分析单调性，可得
与的大小关系，又
，结合余弦函数的单调性，可得
与的大小关系．
【详解】令
，
则
，
令
，得
，
所以在
上
，
单调递增，在
上
，单调递减，
所以
，
所以
，即
，
所以
，即
，
因为
，
所以
，即
所以
．
故选：C．
类型三：利用对数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：
.
【答案】(1)单调递减区间是
，单调递增区间是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当
时，函数
，对
求导，令
即可解得函数
的单调递减区间，令
即可解得函数
的单调递减区间；
（2）利用分离参数法可得
恒成立等价于
恒成立，设函数
，其中
，对函数
求导，研究函数的单调性，解出
的最大值即
可求解实数
的取值范围；
（3）由（1）可知当
时，
，即
，当且仅当
时取
等号，取
，
，则
，累加求和即可证明.
【详解】（1）当
时，函数
，函数
的定义域为
，求导得
.
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）函数
的定义域为
，
则
恒成立，即为
恒成立，所以
恒成立.
设函数
，其中
，
则
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以
，故
.
所以实数
的取值范围是
.
（3）证明：由（1）可知当
时，
，即
，当且仅当
时取等号，
取
，
，则
，
因此
，
所以
.
例题2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数
．
(1)证明：
；
(2)证明：
在其定义域内为减函数；
(3)若在
的定义域内，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令
，利用导数与函数的单调性间的关系，求出
的单调区间，进可求得
的最小值，即可求解；
（2）对
求导，得到
，利用（1）中结果可得
恒成立，
即可求解；
（3）根据条件得到
，令
，利用导数求出
的
单调区间，进而求出
的最大值，即可求解.
【详解】（1）令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，故
.
（2）因为
，易知
，则
，
令
，由（1）知
，
则
在区间
上恒成立，又
，
所以
恒成立，故
在其定义域内为减函数.
（3）易知
，由
，得到
，即
，
令
，则
，
由（1）知
，当且仅当
时取等号，
所以当
时，
，当
时，
，
即
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，故
，得到
，
所以实数
的取值范围为
.
例题3．（24-25 高二下·山东·阶段练习）（1）证明：当
时，
．
（2）证明：
．
（3）从编号1 到100 的100 张卡片中随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取n 次
（
），设抽到的n 个号码互不相同的概率为
，证明：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）令
，利用导数法研究单调性证得
，令
，利用导数法研究单调性证得
，即可证明；
（2）由（1）可知
，结合对数运算法则利用累加法即可证明；
（3）先求出
，则
，利用二项式定理得
，利用
（1）得
，指对互化令
得
，即可证明.
【详解】（1）令
，
则
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
．
综上所述，当
时，
．
（2）由（1）可知
，
令
，2，3，…，n，可得
，
相加可得
．
（3）连续抽取m 次，n 个号码互不相同的概率为
，
则
，所以
，
当
时，
，得
，即
，
所以
，令
，得
，
故
．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·河南·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
有且仅有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若
是两个不相等的正数，证明：
.
【答案】(1)
的减区间为
，增区间为
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）由（1）可知
，解不等式即可；
（3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而可证不等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，由
，
令
，可得
，令
，可得
，
故函数
的减区间为
，增区间为
；
（2）由（1）知，若函数
有且仅有两个零点，必须
，
又由
，有
，可得
，
令
，有
，
令
，可得
，令
，可得
，
可得函数
的减区间为
，增区间为
，
可得
，
当
时，
，有
，
当
时，
，
可得若函数
有且仅有两个零点，则实数
的取值范围为
；
（3）不妨设
，令
，
有
，
，
又由
，可得函数
单调递增，
又由
，
令
，
则
，当
时，
，当
时，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立，
故
<0
同理可得
，
又由函数
单调递增，且
，可得存在
，使得
，
可得函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又由
，可得当
时，
，
又由
，可得
，
有
，
可化为
，
故当
时，
成立．
2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)设
，讨论函数
的零点个数；
(3)证明：
，
．
【答案】(1)递增区间是
，递减区间是
；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把
代入，利用导数求出函数的单调区间.
（2）求出函数
的导数
，按
讨论单调性，借助零点存在性定理及函数
最值情况分类得解.
（3）由（2）可得
，再利用不等式性质及累加法推理得证.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
的递增区间是
，递减区间是
.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
，
当
从大于0 的方向趋近于0 时，
趋近于负无穷大，则函数
存在唯一零点；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
当
时，
，当
从大于0 的方向趋近于0 时，
趋近于负无穷大，
当
趋近于正无穷大时，
趋近于负无穷大，函数
有2 个零点；
当
时，
，函数
存在唯一零点；
当
时，
，函数
无零点，即零点个数为0，
所以当
或
时，函数
有1 个零点；
当
时，函数
有2 个零点；
当
时，函数
有0 个零点.
（3）由（2）知，当
时，
，当且仅当
时取等号，
取
，则
，
因此
，
所以
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的最小值．
(2)求证：
．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求函数的最小值即可；
（2）根据（1）易得
，分析法化为证明
，即可证.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
从而
．
（2）由（1）知
，即有
，
要证
，即证
，
综上，
显然是成立的，结论得证．
类型四：利用指数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（24-25 高二下·河南洛阳·期末）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
存在两个极值点
，
，
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
【答案】(1)
在R 上单调递增.
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）先求出导函数，结合基本不等式得出导函数范围即可证明单调性；
（2）（ⅰ）根据函数存在两个极值点
列式计算得出参数范围；（ⅱ）
结合
消参化简构造函数
，根据导函数得出函数单调性即可
证明不等式.
【详解】（1）当
时，
，
∴
，当且仅当
时取等号.
∴
在R 上单调递增.
（2）（ⅰ）因
存在两个极值点
，
，
则
.
令
，则方程
有两个相异正根
，
.
等价于
有两个相异正根，∴
解得
.∴a 的取值范围为
.
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可得
∴
∴
，
设
，结合
∴
，∴
，
∴
.
若要证
，
只需证
，即
，其中
.
令
，
，则
.
令
，
，则
，
∴
在
上单调递增，有
.
∴
，得
在
上单调递增，
∴当
时，得
.
综上，可得
.
例题2．（2025·湖南·模拟预测）已知
为奇函数.
(1)求a 的值；
(2)解不等式：
；
(3)证明：函数
有3 个零点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用奇函数恒等式可求得参数；
（2）利用复合函数单调性可求解不等式；
（3）利用奇函数的对称性来研究零点个数，转化为在
仅有唯一零点，然后通过方
程变形重构造函数
来求导证明即可.
【详解】（1）由
可得定义域为
，
因为
是奇函数，所以
，
即有
；
（2）由（1）得：
，有
，
再由复合函数单调可知：
在
上单调递增函数，
所以原不等式变形为
，
根据单调性可得：
；
即原不等式的解集为：
（3）因为
是奇函数，所以
也是奇函数，由
，
要证函数
有3 个零点，只需要证明
在
上仅有一个
零点，
则由
得：
，
构造
，求导得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
则在
上，
，
设
,
当
单调递增，当
单调递减，所以
，故
由于
恒成立，则
，
所以有
，
由于
根据
在
上单调递减，且
，所以在
上
不存在零点，
又根据
在
上单调递增，且
，所以在区间
必
存在唯一零点，
故可证明
在
上仅有一个零点，
即函数
有3 个零点得证.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·山东济宁·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)若函数
在
处有极值，求函数
的单调区间
(3)当
时，求证
.
【答案】(1)
(2)在
上单调递减，在
上单调递增
(3)证明见解析
【分析】（1）求出
，利用直线的点斜式方程可得答案；
（2）利用
求出
，可得
，可得答案；
（3）法一：令
，利用导数求出
，得
，令
，利用导数
，可得答案；法二：利用函数
在
上单调递增，得
在
上有唯一实根
，且
，由
得
，由
可得答案.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
故
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）
，
因为函数
在
处有极值，
所以
，即
，解得
，
此时
，
因为函数
在
上都是增函数，
所以函数
在
上是增函数，
又
，
所以
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
（3）法一：令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，..
故
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
当
时，
，所以
；
法二：当
时，
，
故只需证明当
时，
.
当
时，函数
在
上单调递增.
又
，故
在
上有唯一实根
，
且
.
当
时，
；当
时，
，
从而当
时，
取得最小值.
由
得
，
故
.
综上，当
时，
.
2．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数
．
(1)设
，
（i）证明：
，并由此求
(精确到
)．
（ii）比较
与
的大小并说明理由．
(2)求证：当
趋于0 时，
．
【答案】(1)（i）证明见解析；
（ii）
，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）利用导数的定义结合合理变形得到结论，再利用结论估值计算即可.
（ii）合理构造函数，利用导数判断其最大值，最后得到要求证明不等式即可.
（2）对原目标式子合理变形，转化为证明
，再构造函数并利用导数求出
，进而证明出
，判断出原目标式子成立.
【详解】（1）（i）由题意得
的导数一定存在，
结合导数的定义可得
，
则
，
故
得证，
由题意得
，
当
时，
，故
，
则
，
，符合
，
因为
，
所以
，
因为要进行估计，不妨取
，所以
.
（ii）由题意得
的定义域为
，
构造
，则
，
令
，
，令
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得
，
即
，得到
，即
得证.
（2）我们欲证当
趋于0 时，
，则证
即可，
即证
即可，故证
即可，
则证
即可，令
，故证
即可，
因为
，所以
，令
，
得到
，令
得，
，令
得，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
的最小值为
，得到
时，
，
即当
时，
，故
，
可得
，故原命题得证.
