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专题01 基本不等式解最值问题 （八大核心方法精讲）
情解读考点精
一、
考点总结与提升
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
(当且仅当“
”时取“ ”).
特例：
（
同号）.
（3）其他变形：
①
(沟通两和
与两平方和
的不等关系式)
②
(沟通两积
与两平方和
的不等关系式)
③
(沟通两积
与两和
的不等关系式)
④重要不等式串：
即
调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知
.
（1）如果
(定值)，则
(当且仅当“
”时取“=”).即“和为定值，积有最
大值”.
（2）如果
(定值)，则
(当且仅当“
”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一：mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)，当且仅当x=√
n
m 时等号成立；
模型二：mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn +ma (m>0,n>0)，当且仅当x−a=√
n
m 时等号成立；
模型三：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当x=√
c
a 时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时等号成立.
二、典例精讲
思路方法01 利用和（积）为定求最值
该方法是基本不等式求最值的基础应用，核心依托二元基本不等式 “一正二定三等” 的核心原则，当所
求表达式中求和的项乘积为定值时，可直接用不等式求最小值；当乘积的项和为定值时，可直接用不等式
求最大值，无需对表达式进行复杂变形，直接判断定值条件并验证等号成立条件即可。
例1．已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
的最小值为3
B．
的最小值为
C．
的最小值为3
D．
的最大值为
思路方法02 分式函数求最值
例2. 求函数f ( x)= x2−3 x+3
x−2
( x>2)
的值域.
.
例3. 已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值为___________.
例4 已知随机变量
，且
，则
的最小值为________.
思路方法03 “1”代换
已知
（
均为正数），求
（
均为正数）的最值，或者
，求
的最值（
均为正数）.
这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求
较高，需要重点突破.
例5.已知
，求
的最小值__________
例6．已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为8
D．
的最大值为
例7．已知
，
，且
，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．正实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．5
D．
例9．已知正实数
满足
.则
的最小值为（ ）
A．3
B．9
C．4 D．8
思路方法04.和积转化
适用于已知和或积的等式条件，求含积或和的代数式最值的xy±x±y 型场景，核心利用基本不等式x+y≥2xy
（x,y>0），将条件中的和与积进行相互转化，把问题转化为一元二次不等式 / 方程求解，实现和与积的
互相放缩。适用于
型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉
或
项.
例10（多选题）已知a，b 为正实数，且
，则（ ）
A．ab 的最大值为8
B．
的最小值为8
C．
的最小值为
D．
的最小值为
例11．若实数
满足：
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例12 已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
思路方法05.平方和与积型互化
适用于
型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉
或
项，若
目标函数与
有关，则需先利用配方法换掉
项.
例13．（多选题） 已知
，
，则（ ）
A．
的最小值为4
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
思路方法06 三变元先消元再加均值
适用于已知三个变量的等式条件，求含三个变量的代数式最值的场景，核心思路是利用条件等式进行消元，
将三变量问题转化为基本不等式可求解的单变量或双变量问题，消元后再结合和积定值、“1” 代换等方
法套用基本不等式。
例14．已知实数
满足
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
思路方法07.先换元再均值
针对表达式结构复杂、变量关联隐蔽的最值问题，通过换元法（如整体换元、三角换元、代换变量为倒数
等）将原有变量替换为新变量，简化代数式的结构，让新变量的表达式能明显配凑出和积定值，再套用基
本不等式求解，是化繁为简的核心技巧。
例15．已知正实数
，
满足
，则
的最小值是_______．
例16．已知
，
，则
的最小值________.
例17．已知正数，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
例18．已知
，
，
，则（ ）
A．S 的最大值是
B．S 的最大值是
C．S 的最大值是
D．S 的最大值是
思路方法08 二次函数a x
2+bx +c
d x
2+ex + f 型
例19．函数f (x)= x
2-3 x
x +1
(x>-1)的最小值是（ ）
A．-3
B．-1
C．0
D．4
例20．函数f (x)=
1
1+ x
2，若a，b>0，且f (a)+ f (b)=1，则a
2+b
2+18
a+b
的最小值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
三、高考练场
1．（多选）已知正数a，b 满足
，那么下列不等式中，恒成立的有( )
A.a+b⩾2
B.a+b+
1
a+b ⩾5
2
C. 1
❑√a + 1
❑√b ⩾2❑√2
D.1
a + 1
b ⩽1
2
2.（多选）已知
，
，
，且
，则( )
A.ab⩽1
4
B.ab
2⩽1
27
C.
D.
3．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知正实数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若对任意实数
，不等式
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（25-26 高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（ ）
A．若a
2>b
2，则1
a < 1
b B．若xy >0，则x
y + y
x ≥4
C．当x∈(0,π )时，sin x +
4
sin x ≥4
D．若sin α +cos β =1，则sin
2α +cos
2 β ≥1
2
8.已知
为正实数， 且
， 则
的最小值为___________．
9.已知
，则
的最小值为___________.
10．对任意的θ∈(0, π
2)，不等式
1
sin
2θ
+
4
cos
2θ
≥2 x -1恒成立，则实数x的取值范围是 ．
