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第10 讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题
目录
1、函数极值的第二判定定理：...............................................................................................1
类型一：利用二阶导数研究函数的极值、最值.......................................................................1
类型二：利用二阶导数研究函数的单调性..............................................................................3
类型三：利用二阶导数研究恒（能）成立问题.......................................................................6
类型四：利用二阶导数研究函数的零点..................................................................................9
1、函数极值的第二判定定理：
若
在
附近有连续的导函数
，且
，
（1）若
则
在点
处取极大值；
（2）若
则
在点
处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数f '( x)，无法判断导函数正负；
（2）对函数
一次求导得到
之后，解不等式
难度较大甚至
根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有
或
3、解题步骤：
设
，再求
，求出
的解，即得到函数
的单调
性，得到函数
的最值，即可得到
的正负情况，即可得到函数
的单调性.
类型一：利用二阶导数研究函数的极值、最值
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.当
时，证明:
有唯一极值点.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
在
上的单调性；
(2)当
时，求
在
内的最大值；
精练高频考点
1．（22-23 高二下·福建福州·期中）已知函数
，
为
的导函数
且
.
(1)求实数a 的值，并判断
是否为函数
的极值点；
(2)确定函数
在区间
内的极值点个数，并说明理由.
2．（2024·河南开封·一模）已知函数
，
.
(1)若
是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，求
在
上的最小值.
类型二：利用二阶导数研究函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·陕西西安·二模）已知函数
．
(1)当
时，
，
，求
的取值范围；
(2)证明：当
时，
在
上单调递增．
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）设
，函数
，讨论
在
的单调性.
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
(1)若函数
在点
处的切线斜率为0，求a 的值．
(2)当
时．设函数
，求证：
与
在
上均单调递增；
2．（23-24 高三下·陕西渭南·阶段练习）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调性．
3．（23-24 高三上·山西大同·阶段练习）已知函数
，
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明
在
上单调递增.
类型三：利用二阶导数研究恒（能）成立问题
典型例题
例题1．（23-24 高二下·河北·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
例题2．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知函数
满足
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
例题3．（24-25 高三上·河北保定·期中）已知函数
.
(1)已知直线
是曲线
的切线，求实数a 的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)求证：
恒成立.
精练高频考点
1．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知函数
，
．
(1)若
，求函数
的图象在点
处的切线方程；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的最大值．
2．（24-25 高三上·四川雅安·阶段练习）已知
，函数
.
(1)当
时，求证：
；
(2)若
，求
的取值范围.
3．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知函数
，函数
的图象与
的图象关于
中心对称.
(1)求函数
的解析式；
(2)证明：
；
(3)若
在
时恒成立，求实数
的取值范围.
类型四：利用二阶导数研究函数的零点
典型例题
例题1．（23-24 高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，试判断函数
与
的图象的交点个数，并说明理由．
例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
．
(1)若
，讨论函数
在
的单调性；
(2)若
在
上有唯一的零点，求实数a 的最小值．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
.函数
，求
的零点个数；
2．（2025·山西·三模）已知函数
有两个极值点
，
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
，求
的最大值.
