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第08 讲 函数与方程
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
,
是关于
的一元二次方程
的两个
实数根，且
,
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据一元二次函数的图象和零点存在定理求解
的取值范围.
【详解】由题意可得
，
为函数
的两个零点．
因为
，
，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即
，所以
．
所以
，解得：
．
故选：C．
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数
，若函数
恰
有3 个零点，则
的取值茫围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由已知作出函数
的大致图象，将函数的零点问题转化为图象的交点问题，即
可求解.
【详解】当
时，
，
，
作出
的大致图象，如图所示，
由
，得
，
若函数
恰有3 个零点，
则函数
的图象与函数
的图象有个不同的交点，
则
.
故选：
.
3．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的零点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据零点存在定理可判断.
【详解】函数
是连续增函数，
，
，
所以函数
的零点在
内，所以
，
故选：C．
4．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知函数
－
，则用二分法求
的
零点时，其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断零点所在的区间
【详解】由函数
，得
，所以
，又因为函
数
的图象在区间
上连续，所以函数
的一个零点的初始区间可
以为
.
5．（2025·安徽·模拟预测）函数
的零点的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定，与
的取值有关
【答案】A
【知识点】指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解.
【详解】因为
时，由指数函数的图象与性质知，
当
时，
，
，所以
，
当
时，
，
，所以
，
又当
时，
，所以函数
只有一个零点，
故选：A.
6．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，若在其定义域内存在实数
满足
，则称函数
为“局部奇函数”，若函数
是定义在
上的“局部奇函数”，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数与方程的综合应用、函数新定义
【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可.
【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程
有解即可，
即
，所以
，
化为
有解，令
，
由基本不等式可知
，当且仅当
时取等，故
，
则有
在
上有解，设
，对称轴为
．
①若
，则
，满足方程在
上有解；
②若
，要使
在
时有解，则需
，
解得
．
综上可得，实数
的取值范围为
．
故选：B.
7．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的零点个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】应用分段函数当
时计算零点，当
时，应用对数运算结合零点存在定理
判断零点个数即可.
【详解】当
时，由
得
；
当
时，
在
上单调递增，并且
，
即
，所以函数
在区间
内必有一个零点，
综上，函数
的零点个数为2．
故选：D.
8．（2025·云南·三模）已知定义在
上的函数
与函数
的图象
有唯一公共点，则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、
cosx（型）函数对称性的其他应用
【分析】先推得
的对称性与单调性，又
也关于
对称，由对称性可知方程
唯一的根在对称轴
上，代入即可解得.
【详解】因为
，则
，
所以
的图象关于
对称，且当
时，
单调递增，当
时，
单调递
减；
又
，故可看作由函数
向右平移1 个单位得到，
所以
的图象也关于
对称；
又由于函数
与函数
的图象有唯一公共点，即方程
只有一根，
因为两函数图象都关于
对称，所以方程的根为，即
，解得
.
故选：C．
二、多选题
9．（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，
，且
的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）
A．
在区间
上可能存在零点
B．
在区间
上可能存在极值点
C．
在区间
上一定存在零点
D．
在区间
上一定存在极值点
【答案】ABC
【知识点】零点存在性定理的应用、函数极值点的辨析
【分析】假设
在区间
上先减后增时，
，
，由零点存
在性定理与极值点的概念逐项判断即可.
【详解】当
在区间
上先减后增，且存在极值点
时，若
，
则设
，
，
且
的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理，
在
与
上有两个零点，故A 正确；
此时存在极值点
，故B 正确；
由
，且
的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理可知
在区间
上一定存在零点，故C 正确；
若
在区间
上单调递减，此时D 无法满足，故D 错误．
故选：ABC．
三、填空题
10．（24-25 高二下·浙江金华·期中）若函数
满足
，且
时，
，已知函数
，则函数
在区
间
内的零点个数有 个
【答案】12
【知识点】分段函数的性质及应用、函数周期性的应用、函数图象的应用、求函数零点或
方程根的个数
【分析】根据题意，作出函数
的图像，即可得到交点个数，从而得到结果.
【详解】因为
，
所以函数
是周期为2 函数，
因为
时，
，
所以作出它的图象，则
的图象如图所示．
再作出函数
的图象，
容易得出交点为12 个．
故答案为：
四、解答题
11．（24-25 高三下·上海·阶段练习）已知
(1)当
时， 判断函数
的奇偶性;
(2)若函数
的图像经过点
， 且函数
在
上有两个不相等的零
点，求实数
的值以及实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
，
且
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参
数范围
【分析】（1）利用奇偶函数的判断，直接判断即可；
（2）根据图像过的点坐标，即可求出
的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不
同的零点转化为方程
在固定范围有两个不同的根，即可求出
的范围.
【详解】（1）当
时，
，
因为
，
当
时，
，
所以函数
既不是奇函数也不是偶函数；
当
时，
，函数
是偶函数；
（2）因为函数
的图像经过点
，
所以
，则
，且
，
所以
，
令
，
则
，
因为函数
在
上有两个不相等的零点，
所以
且
，解得
，
综上，
，
且
.
12．（2025 高三下·全国·专题练习）关于
的方程
，求
为何值
时？
(1)方程有唯一实根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
【答案】(1)
或
(2)
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由一元二次不等式的解确定参数、一
元二次方程根的分布问题
【分析】（1）令
，当
和
时分情况讨论即可求解；
（2）方程一根大于1，一根小于1，必须满足
或
解出即可.
【详解】（1）令
．
当
时，方程变为
，即
，符合题意；
当
时，
，
．
所以当
或
时，方程有唯一实根．
（2）因为方程有一根大于1，一根小于1．
大致图象如图⑤，⑥．
所以必须满足
或
解得
．
所以当
时，方程有一根大于1，一根小于1．
B 相遇高考
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范
围、求余弦（型）函数的奇偶性
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有
一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即
可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性
可知
的零点只能为0，即可得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
2．（2023·天津·高考真题）设
,函数
,若
恰有两个零
点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断
的
取值范围．
【详解】（1）当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
（2）当
时，
，
即
，
若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
；
若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求
出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
C 素养提升
1．（24-25 高二下·湖南长沙·期中）函数
有且只有一个零点的充要条
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【知识点】根据充要条件求参数、根据函数零点的个数求参数范围、对数型函数图象过定
点问题、指数函数图像应用
【分析】由题意得函数
的图象过点
，把问题转化为：函数
没有
零点
函数
的图象与直线
无交点，数形结合可得解．
【详解】因为
时，
，可知函数
的图象过点
，
所以函数
有且只有一个零点
函数
没有零点
函数
的图象与直线
无交点．
当
时，
，
由图可知，函数
的图象与直线
无交点
或
．
即函数
有且只有一个零点的充要条件是
或
．
故选：D．
2．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，方程
有4 个不同的根
，且满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的
最小值
【分析】根据函数
的图象易知
，且
.设
，则
，
，
，代入
中利用换元法及基本不等
式即可求解.
【详解】在同一平面直角坐标系下，作出函数
和
的图象如下图所示：
依题意得：
，且
，则
.
设
，则
，
，
，
所以
，令
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）当实数
取何值时，方程
有
一个实数解、两个实数解，没有实数解？
【答案】答案见解析
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求对数型复合函数的定义域、用导数判断或
证明已知函数的单调性
【分析】解法1：转化为
，令
，根据二
次函数对称轴和根的判别式得到不等式或方程，求出答案；
解法2：转化为
，令
，分别作出上述两个
函数的图像，数形结合得到答案.
【详解】解法1：原方程可化为
.
即
，令
.
由题意可知，
①原方程有一个解等价于:
或
，
解上述不等式或不等式组可得：
或
，
当
时，
，解得
或4，不合要求，
当
时，
，解得
或3，其中
，满足只有一个解，
所以当
或
时，原方程只有一个解.
②原方程有两个解等价于:
解此不等式组可得:
，
所以当
时，原方程有两个解.
③由①②可知，当
或
时，原方程没有实数解，
综上：当
或
时，只有一个解；当
时，有两个解；当
或
时，没有实数解.
解法2：
原方程可化为：
，即
.
令
，
其中
在
上单调递减，在
上单调递增，理由如下：
，当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
分别作出上述两个函数的图像，如下：
当
或
时，只有一个解；当
时，有两个解；当
或
时， 没有
实数解.
4．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知函数
，
．
(1)若函数
在区间
上不单调，求实数a 的取值范围；
(2)用
表示实数m，n 中的较大者，设函数
，讨论函
数
的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、求函数零点或方程根的个数、对数函
数图象的应用、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】（1）分
和
两种情况，结合函数对称轴，得到不等式，求出实数a 的取
值范围；
（2）分
和
，再细分
，
，
，得到两函数交点情况，从而得
到
的零点个数.
【详解】（1）①当
时，则
是单调函数，不成立；
②当
时，
为二次函数，对称轴为
，
则
；解得
；
综上，
．
（2）当
时，则
，
，
显然，
的图象在
的图象上方，
故
，无零点；
当
时，
，即
，所以
或
；
（ⅰ）当
时，
，当
时，
在
上单调递增，
且
，故
，无零点；
（ⅱ）当
时，当
时，即
，
此时
与
只有1 个交点，且交点在
轴下方，
故
有2 个零点，分别为
和1；
当
时，即
，此时
与
只有1 个交点，交点横坐标为1，
故
有1 个零点1；
当
时，即
，此时
与
只有1 个交点，交点在
轴上方，
故
无零点．
综上，当
时，
无零点，当
时，
有1 个零点，
当
时，
有2 个零点．
