文档文本内容
第08 讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................1
高频考点一：求三角形面积（定值问题）.................................................................................................1
高频考点二：根据三角形面积求其它元素.................................................................................................5
高频考点三：求三角形面积最值................................................................................................................8
高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）......................................................11
高频考点五：求三角形面积取值范围（锐/钝角三角形面积取值范围）................................................14
第一部分：基础知识
1、三角形面积的计算公式：
①
；
②
；
③
（其中，
是三角形
的各边长，
是三角形
的内切圆半径）；
④
(其中，
是三角形
的各边长，
是三角形
的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式
，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理
，
，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
，
.
(1)求A 及
的周长；
(2)求
的面积．
例题2．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的面积．
例题3．已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，
，AC 边上的高等于
.
(1)求
的值；
(2)若
，求△ABC 的面积.
精练高频考点
1．在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一，求
的面积．
条件①：
；
条件②：
边上的中线长为
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
2．在
中，角
，
的对边分别为
，且满足
．
(1)求
；
(2)若
满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，求
的面积．
条件①
；条件②
；条件③
．
注：如果选择多个组合分别解答，按第一组解答计分．
3．已知
的内角
的对边分别为
，且
，
，
.
(1)求
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
的面积.
条件①：
，
为锐角；
条件②：
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
典型例题
例题1．在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长
例题2．设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
的值；
(2)若点
在线段
上，
，
，
的面积为
，求
的长度.
例题3．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
．
(1)求角
；
(2)若
，三角形
的面积为
．求
．
精练高频考点
1．在
中，已知
，
，
．
(1)求
及
的正弦值；
(2)沿射线
方向延长至点
，使得
的面积为
，求
．
2．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)设D 为边
的中点，若
，
的面积为14，求
的长
3．在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
为
边的中点，
的面积为
，求CD.
高频考点三：求三角形面积最值
典型例题
例题1．已知在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，___________．在①
，
，且
；②
，且
中任选一个条件填在上
面横线中，并解答下列问题．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积的最大值．
注：若选择两个条件分别作答，则按第一个解答计分．
例题2．在
中，角
的对边分别为
.已知向量
，
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
是
的中点，
，求
面积的最大值.
例题3．在
中，已知
分别为三个内角
的对边，且
．
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的最大值．
精练高频考点
1．已知
的内角
的对边分别为
，
的面积为，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积的最大值.
2．已知
的内角
的对边分别为
，且
的周长为
.
(1)求角
；
(2)若
外接圆的面积为
，求
面积的最大值.
3．在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
.
(1)求角A；
(2)若角A 的平分线交BC 边于D 且
，求
的面积的最小值.
高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）
典型例题
例题1．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)求角
；
(2)若
，
为边
上一点（不同于
，
两点），
，求
的面积的取值范围.
例题2．已知
的三个内角
的对边分别为
，
．
(1)求a；
(2)若
，求
面积的取值范围．
例题3．
中角
所对的边分别为
，其面积为，且
.
(1)求
；
(2)已知
，求的取值范围.
精练高频考点
1．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)求
；
(2)若角
的平分线
交
于点
，且
，求
面积的取值范围．
2．已知在
，角
所对的边分别是
，且
．
(1)求
的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
3．在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)若
，求角
的值；
(2)若
外接圆的周长为
，求
面积的取值范围．
高频考点五：求三角形面积取值范围（锐/钝角三角形面积取值范围）
典型例题
例题1．在锐角
中，内角
的对边分别为
且
.
(1)求角
；
(2)求
的面积的取值范围.
例题2．在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且边
，求
面积的取值范围
例题3．已知
是锐角三角形，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求A；
(2)若
，求
面积的取值范围.
例题4．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)若
，求a；
(2)若
为钝角三角形，求
面积的取值范围．
精练高频考点
1．已知
为锐角三角形，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
(1)求
；
(2)若
，求
面积的取值范围.
2．已知a，b，c 分别为锐角
三个内角A，B，C 的对边，且
.
(1)求A；
(2)若
，D 为BC 边的中点，求AD 长的最大值；
(3)若
，求
面积的取值范围.
3．在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)若
，求
的面积S 的取值范围．
4．已知
的内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，边长
，求
面积的取值范围．
5．
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
6．在
中，角
的对边分别为
，若
．
(1)求
；
(2)若
，证明：
是直角三角形．
(3)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围．
