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专题03导数高考专项复习
专题3.1 导数的基本概念和切线相关题型
3.1.1 导数的基本运算
知识点梳理
1.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=sinx
f(x)=cosx
f(x)＝ax（a>0且a≠1）
f(x)＝ex（a>0且a≠1）
f(x)＝log x(a>0，且a≠1)
a
f(x)=lnx
注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可
导的问题.（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可.
2.导数的四则运算法则
（1）函数的和差的导数运算法则： .
拓展： .
[f (x)±f (x)±⋯±f (x)]'=f '(x)±f '(x)±⋯±f '(x)
1 2 n 1 2 n
（2）函数积的导数运算法则： .
拓展：①若c为常数，则 .
[cf(x)]'=cf '(x)
②若a,b为常数，则 .
[af(x)±bg(x)]'=af '(x)±bg'(x)（3）函数商的导数运算法则： .
拓展：若c为常数，[ c ]
'=−
cg'(x)
.
g(x) [g(x)] 2
3.简单复合函数的导数
（1）复合函数的定义：一般地，对于两个函数y=f(μ)和μ=g(x),如果通过中间量μ
，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(μ)和μ=g(x)的复合函数，记作
y=f(g(x)).
（2）复合函数的求导法则：一般地，对于由函数y=f(μ)和μ=g(x)复合而成的函数
y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(μ)和μ=g(x)的导数间的关系为y '= y '⋅u '.
x u x
典型例题
例1.求下列函数的导数：
（1）y=sin(2x+1)；
（2） ；
y=(4x−1) 3
（3）y＝xln（x+1）；
（4）y＝sin22x+2x+1．
lim f(1+Δx)−f(1)
例2.已知函数 ，则 （ ）
f(x)=❑√x+1 Δx→0 =
Δx
3 1
A． B．1 C． D．2
2 2
例3.已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则
f(x) f'(x) f(x)=x2+3xf '(2)+ex f '(2)
的值为（ ）e2 e2 e2
A．-2 B． −2 C．− D．− −2
2 2 2
例4.函数y=cos2x+sin❑√x的导数为（ ）
A． cos❑√x B． cos❑√x
y'=−2sin2x+ y'=2sin2x+
2❑√x 2❑√x
C． sin❑√x D． cos❑√x
y'=−2sin2x+ y'=2sin2x−
2❑√x 2❑√x
随堂演练
1.求下列函数的导函数．
（1）f（x）＝﹣2x3+4x2；
1
（2）f(x)= x3−x2+ax+1；
3
（3）f（x）＝x+cosx，x （0，1）；
（4）f（x）＝﹣x2+3x﹣∈lnx；
（5）y＝sinx；
x+1
（6）y= ．
x−1
π
2.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则f'( )的值为（ ）
2
π
A． B．1 C．-1 D．0
2
3.已知函数f（x）的导数为f '(x)，且满足f（x）=3x2+2xf '（2），则f '（5）的
值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．-12
4.设 xlnx，若 ，则 的值为（ ）
f(x)= f '(x )=2 x
0 0ln2
A．e2 B． C．e D．ln2
2
5.求下列函数的导数．
（1）y＝（log x）sinx
3
（2）y＝xtanx﹣2lnx
3.1.2 切线-已知点为切点
知识点梳理
1.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x 处的导数f'(x)就是曲线y=f(x)在点（x ，
0 0 0
f(x +∆x)−f(x )
f(x )）处的切线的斜率k,即k = lim 0 0 =f '(x ).如果切线的倾斜角为
0 0 0 ∆x 0
∆x→0
α，则tanα=f'(x).
0
2. 由 1 可 知 ， 若 函 数 y=f(x)在 点 （ x ， f(x )） 处 的 切 线 方 程 为 ：
0 0
y−f(x )=f '(x )(x−x ).
0 0 0
典型例题
例1.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0
x
例2.曲线y= 在点(1,-1)处的切线方程为（ ）
x−2
A．y=−2x+1 B．y=−3x+2
C．y=2x−3 D．y=x−2
1−a
例3.设f(x)=lnx−ax+ −1．
x
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．1
例4.已知函数f（x）＝（ +a）ln（1+x）．
x
则当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
随堂演练
1
1.已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）是偶函数，当x＜ 时，f（x）＝ln（1﹣
2
2x），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为（ ）
2 2
A． B．− C．2 D．﹣2
5 5
lnx
2.已知函数f(x)= ， 求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
x+1
.
3.已知函数f（x）＝lnx﹣ax+x2，若a＝﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线
方程为 .
x2 π
4.已知曲线f(x)=lnx+ 在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为 ，则a的值为
a 3
．
5.已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣ax+2，当a＝1时，则f（x）在（1，f（1））处的切线方
程为 .
6.已知函数f(x)=❑√xlnx，则曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
.
7.若曲线 y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线 y＝ln（x+1）+a的切线，则 a＝
．
8.已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l在x轴上的截距为2，则a的值为 .
3.1.3 切线-已知点为曲线外一点
知识点梳理
已知函数y=f(x)的切线过了点A（m，n），且点A不在y=f(x)图像上，则可先设切
点坐标为(x ，y )，则斜率k=f '(x )，则切线方程为y−f(x )=f '(x )(x−x )，然后
0 0 0 0 0 0
将点A（m，n）代入得n−f(x )=f '(x )(m−x )，由此解出x 的值.
0 0 0 0
典型例题
例1.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上，则曲线y＝f（x）过点E
（2，0）的切线方程为 .
例2.已知曲线 f（x）＝x3，则过点（﹣1，﹣1）且与曲线 f（x）相切的直线方程为
．
例3.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1．
（1）求a，b的值； ∈
（2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程．随堂演练
1.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+1在x＝0时取得极大值1，则过点（0，2）与曲线y＝f（x）
相切的直线方程为 ．
2.已知函数f（x）＝x3-6x2+9x-7，直线l过点(0,1)且与曲线y＝f（x）相切,则直线l的斜
率为（ ）
A．24 B．24或-3 C．45 D．0或45
3.若曲线f(x)=lnx在点P(x ，y )处的切线过原点O(0,0)，则x = .
0 0 0
1 4
4.已知直线l为曲线f(x)= x3+ 过点P(2，4)的切线. 则直线l的方程为 .
3 3
5.已知点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)（e为自然对数的底
数），则点A的坐标是 ，切线方程为 .
6.过点(0,-2)作曲线f(x)=lnx−2的切线，则切线方程为 .
7.已知函数f(x)=alnx (a≠0)，过原点作曲线y＝f（x）的切线l，则切线l的斜
率为 ．
