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第08 讲：拓展一：分离变量法解决导数问题
目录
类型一：恒成立（存在问题）求解参数
范围.......................................................................1
角度1：完全分离参数法..................................................................................................1
角度2：部分分离参数法..................................................................................................3
类型二：已知零点个数求解参数
范围..................................................................................5
角度1：完全分离参数法..................................................................................................5
角度2：部分分离参数法..................................................................................................7
类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围
角度1：完全分离参数法
典型例题
例题1．（云南省2025 届高三下学期5 月新高考自主命题冲刺金卷数学试卷）已知函数
．
(1)求
的解析式；
(2)若
在
内有两个零点，求m 的取值范围；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求整数k 的值组成的集合．
例题2．（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，求
的极值；
(3)当
时，
，求
的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·广西河池·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的极值点个数；
(2)当
时，若
的图象在
图象的下方，求整数
的最大值（
）.
2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数
．
(1)证明：
；
(2)证明：
在其定义域内为减函数；
(3)若在
的定义域内，
恒成立，求实数
的取值范围．
角度2：部分分离参数法
典型例题
例题1．（24-25 高二下·内蒙古包头·阶段练习）已知不等式
恰有1
个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高二下·北京·期中）设函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
在区间
内单调递增；
(3)若关于x 的不等式
在区间
内恰有一个整数解，直接写出k 的取值
范围．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式
解集中有且仅含
有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．
2．（2024 高三上·江苏·专题练习）设函数
，其中
，若存在唯一负
整数
，使得
，则实数
的取值范围是
3．（24-25 高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数
.
(1)若
只有2 个正整数解，求a 的取值范围；
类型二：已知零点个数求解参数范围
角度1：完全分离参数法
典型型例题
例题1.（24-25 高二下·浙江·期中）已知定义在
上的函数
.
(1)若
，判断
的单调性；
(2)若
存在两个零点，求m 的取值范围.
例题2．（24-25 高二下·重庆·期中）已知函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若函数
有3 个不同的零点，求实数
的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·福建三明·期中）已知函数
，e 是自然对数的底
数.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若关于
的方程
有两个不等实根，求
的取值范围.
2．（24-25 高二下·重庆·期中）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且函数
有三个零点，求
的取值范围．
3．（24-25 高二下·云南昆明·期中）已知函数
(1)若
，求
的最小值
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个不同的零点
，求
的取值范围．
角度2：部分分离参数法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·山东·开学考试）已知函数
有4 个不同
的零点，则
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．0
例题2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题
为假命题，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
有且仅有3 个零点，则m 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二上·河北保定·期末）已知函数
，若方程
在
上有且仅有一个实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
