🌈
⾼三冲刺笔记-导数（⼀）
考点归纳：单变量恒成⽴
🌶🌶
📍
题型训练：“参变分离”解恒成⽴
⼀
、单变量的恒成⽴问题
结论:
1
. 对rxcta.bg/tX)3a
恒成⽴
<
> fcxjm.in ≥a
f(加≤a 恒成⽴
<
> f(⼒) max ≤a
⽅法
:
1 、分类讨论法
2
,参变分离法
3. 端点值代⼊
洛必达法则
: 没fcx )
、9(加满⾜
;
⼩当x
> a 时
, limfcxkl.mgix) ⼆。
"
ǒ
" 型
1 2 ) 在V0(a) 内
, 物和物都存在, 且物≠0 1
) 则当⼒
) 9时
lim 加)
( 3 ) 当⼒
) 9时limfi"
= A
(或± e)
gcilimti
"
= A
9ix)
9 ix)
🌶
📍
题型训练：“分类讨论”解恒成⽴
🌶
。
📍
题型训练：“端点值代⼊型”解恒成⽴
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：“洛必达法则”解恒成⽴
🌶
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（⼆）
考点归纳：单变量存在性
📍
题型训练：单变量存在性问题
⼀
、单变量的存在性问题
:
结论:
1
, 对于Vx , E [a , b]
, 总存在加E [m m ] 使得fxn ≥9(加)
<
> fcxjm.in ≥9(加min
2
, 对于tx , E [a , b] , 总存在加E [m , n] 使得fcxn ≤9 (加)
<
>f(x) max ≤9 (九) max
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（三）
考点归纳：双变量-任意与存在
📍
题型训练：双变量-任意与存在
⼀
、双变量
任意与存在
1、Vx , E [a , b] , 总⺕加E [m , 叮
, 使得flx i) ≤9(加)
<
>fcx.hn ≤9(加)
maxz.VX.EU
, b] 总⺕加E [m n] ,使得fcx , ) ≥9(加)
<
> fcxnm.in?9lx2)min
🌶
。
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（四）
考点归纳：双变量-任意与任意
🌶
📍
题型训练：双变量-任意与任意
r
⼀、双变量
任意与任意
⼼⼒, E [a , b]
, 加E [ m , 叮
, 使fcx i) ≤9 (加)
<
> f(加max ≤9 (加)
min2.VX.EU
, b]
, 加E [m n]
, 使fcxn ≥9 (加)
<
> fcx.mn ≥9 (加) max
🌶
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（四）
考点归纳：双变量-任意与任意
🌶
📍
题型训练：双变量-任意与任意
r
⼀、双变量
任意与任意
⼼⼒, E [a , b]
, 加E [ m , 叮
, 使fcx i) ≤9 (加)
<
> f(加max ≤9 (加)
min2.VX.EU
, b]
, 加E [m n]
, 使fcxn ≥9 (加)
<
> fcx.mn ≥9 (加) max
🌶
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（五）
考点归纳：双变量-存在与存在
📍
题型训练：双变量-存在与存在
🌶
🌶
r
_i
ntl-tia.it
-
,
e
⼀
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（六）
考点归纳：双变量-任意=存在
📍
题型训练：双变量-任意=存在
🌶
r
_i
-2
"
1
-
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（七）
考点归纳：双变量-存在=存在
📍
题型训练：双变量-存在=存在
🌶
r
_i
-2
-1
-
1
-
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（⼋）
考点归纳：极值点偏移（⼀）-判定定理
r
I
nr
-1
⼀、极值点偏移:
1 . 含义:
若拟满⾜定义域内任意⾃变量✗都有fnkfnm.in
, 则拟关于直线Xm对称,
可以理解为抛在对称轴两侧
, 函数值变化快慢相同
, 若仙为单峰函数,
则⼩m
⼼为扣的极值点
。
若ftp.c 的两根中点为加⼯
,
则刚好有
进
⽕
⼆为,
即极值点在两根正中间
, 也就是极值点, 没有偏移。
⼈
⼋
⼋
拟1
f㖄
y.ec
fxi
˙
fn
N
˙
˙
f灬
y.co
•
y = C
•
•
•
•
>
,
X
梦
⽕
ㄨ2
X
11 0 X '
xnxx.tn 从
灬
X!
2
极值点⽆偏移
极值点在偏移
极值点在偏移
X.tk
x,
=
2
x。> 梦"
加
⼈Xi
苦相等变为不等
, 则为极值点偏移
, 若单峰函数和的极值点为x
,且如
满⾜定灶或内⼼M 左侧的任意⾃变量x , 都有f M > f ( 2110
- x) 或拟对(2州)
则函数和极值点
, x。在右侧变化快慢不同。
,
若x。⼈逖
, 则称为极值点
在偏; 若x。> 㦓
, 则称为极值点在偏
。
2
.
极值点偏移问题的⼀般题这形式
:
1
若扣存在两个零点Xi
, 112
, 且X.tk
, 求证
: X.tl/272Xo
2
茬扣存在
Xi
, ⼈
, 且X.tk
, 满⾜拟对咧
, 求证
: x.tk 72110
3
若fix) 存在两个零点x.xz.EX.tk
,
令x
=
迦
, 求证: fix.no
4
若如存在
X . X2
, 助, 我2
,
满⾜flxifn)
, ⽗加
⼆邮
2
, 求证
: fix.in
⼆、判定定理求极值点偏移
1
.
求出f ix) 极值点加
;
2
、构造
- 元差函数Fcxifcxotxi.fix_x) 或FcxkfM
- f(25)
3
、确定FM 单调性;
4 、结合下(0) = 0
, 判断FM 符号
, 从⽽确定flxotxi.fi x_x) 关系。
三、答题模版
:
第⼀步
:
过论⼼单调性并求flxl 极值点后
,
第⼆步
:
构造下lxiflx.tn
- fcx。
- x) 或Fcxifxl.kzx_x )
第三步,
通过求导
下闪过论下⼼单调性
, 判断下必在某段区间上的正负
, 并得出
我t X)
与㧄。
- x) 的⼤⼩关系。
第四步
:
不妨设x < X , ⼈⼈
, 通过和单调性
, fix.HN2)
, flxotx) 与⼈的⼤⼩关系
得出结论。
第五步
,
若要证明f
'
( 逖) 们
,
还需进⼀步讨论过"
与⼼的⼤⼩
, 得出5"
所在
单调区间
, 从⽽得出该处函数导数值正负
, 从⽽结论得证。
> eg :
若已知拟满⾜fixiflxn.to 为极值点
, 求证:
X.tk 从如
解
假没加在c.vn
, x。)
,
在cxo.tn)
FM
构造
下cnn.fm
-f ( 2⼈们
假设FM在lo.to)
"代⼊
"
"
。
ia.FM
>
Flx。)
= f No)
- f(州
⼆0
x,
x.it
> 加时.fm
> fczx.tl
flx)
世
@
且XKXo-x.fm )
⼆捌
改写
"
!
)
,
"
改写
"
,
xxox2.ifcxnfcxi-fIX.tl
x_x 。)]
> fIXo-lxz-x.BA 1邓州
和
我
i
>
d
i
X
加
X2
x
v 加
i
'
n <
2为
- X2
"
2xo-X2.ix.sn
2.x,
⼀加
s
h t n
< 2为
得证,
X.tk
< x,
且f内在
(-0,0) ↳
ㄡ
. :
⺾加
⼈如
'
z
i f
' l i ) < o
, 得证。
📍
题型训练：判定定理求极值点偏移问题
🌶
🌶
🌶
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（九）
考点归纳：极值点偏移（⼆）-⽅法篇
📍
题型训练：左右构造
🌶
题型训练：居中构造
🌶
r
-i
-7
+
⼀、极值点偏移⽅法:
1 . 在有构造
4、
⻬次化
2. 居中构造
5. 州直换元
3
. 对扚不等式
6
,
⼆次函数拟合
🌶
📍
题型训练：对均不等式
题型训练：⻬次化
🌶
📍
题型训练：⽐值换元
🌶
📍
题型训练：⼆次函数拟合
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-导数（⼗）
考点归纳：极值点偏移（三）-不含参
题型训练：不含参极值点偏移
🌶
r
I
nr
-1
⼀、极值点偏移:
不含参
解题模板
⼀
:
这函数如极值点为X ,
加丰加
且拟以仮)
证明
: Xt ㄨ2 72 X 。
或Xtk ㄑ2为
(i) 构造
、次差值函数FM.fm
-f(2x_x)
的研究FM 单调性
B) 根据Fcx 。) = o
, 判断f贩) 与f 1 2加州⼤⼩
(4)
有拟) 代替fn
, 结合抝单调性得到x, 与
2X
- 加⼤⼩
解题模板⼆
:
没函数拟极值点为xo.x.tn
, 且姒) = 姒)
证明:
Xixa > X 。
2
或
不仅⼋102
⼋)
构造
⼀次差值函数
下(⾮如
- f (沪)
的
研究Fnn 单调性
B)
由FN.ro ,
判断沝⽉fl 炒的⼤⼩
似
有⼩州代替f 响
, 结合抛单调性得到x ,
与炉的⼤⼩。
🌶
🌶
🌶
