限时练2
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 湖北十堰三模)已知复数z=-1+3i
2+i
,则|z|=( )
A.1
B.❑√2
C.
❑√2
5
D.2❑√2
5
2.(2025 湖南长沙模拟)已知集合A={x|x2-x-6≤0},B={x|ex≤1},则A∪B=( )
A.[-2,0]
B.[-2,3]
C.(-∞,0]
D.(-∞,3]
3.(2025 山东青岛一模)已知a=(1,1),b=(1,-2),则a 在b 上的投影向量为( )
A.(-1
5 , 2
5
)
B.(1
5 , 2
5
)
C.(-
❑√5
5 , 2❑√5
5
)
D.(
❑√5
5 , 2❑√5
5
)
4.(2025 湖北宜昌二模)已知a>1,函数f(x)={
1
4 x
3, x ≤2,
lo ga x, x>2
的值域为R,则实数a 的取值范围
是( )
A.[2,+∞)
B.(1,❑√2]
C.(1,❑√2)
D.[❑√2,+∞)
5.(2025 广东深圳三模)已知{an}是公差不为0 的等差数列,其前n 项和为Sn,则
“∀n∈N*,Sn≥S9”是“a9≤0”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2025 湖北鄂州模拟)现有5 种颜色的筷子各一双,从中任取两根筷子,若已知取到的筷
子中有红色的,则两根筷子都是红色的概率为( )
A.1
5
B.1
9
C. 1
13
D. 1
17
7.(2025 河南郑州三模)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关
于直线x=3 对称,若g(-2)=-5,则f(4)=( )
A.-3
B.-1
C.0
D.1
8.(2025 浙江嘉兴三模)甲、乙、丙三人玩传球游戏,每次传球时,传球者都等可能地将球
传给另外两个人中的任何一人,若第一次由甲传出,则经过6 次传球后,球恰在乙手中的
概率为( )
A.31
96
B.11
32
C.21
64
D.23
64
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 广东深圳二模)已知函数f(x)=2sin(x+π
4
)cos(x+π
4
),则( )
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)在(0,π
2
)上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x=π
4
对称
10.(2025 山东潍坊一模)已知圆台的高为2,其母线与底面所成的角为π
3
,下底面半径是上
底面半径的2 倍,则( )
A.该圆台的上底面半径为2
B.该圆台的体积为56 π
9
C.该圆台外接球(圆台的上、下底面的圆周均在球面上)的表面积为64 π
3
D.用平面截该圆台,若所截图形为椭圆,则椭圆离心率的取值范围为(0,
❑√3
3
]
11.(2025 山东济宁一模)若双曲线C:x2- y
2
8
=1 的左、右焦点分别为F1,F2,过C 的右支上一
点P 作圆(x-3)2+y2=1 的切线,切点为A,B,则下列结论正确的是( )
A.若⃗P F1·⃗P F2=0,则△PF1F2的面积为9
B.若Q 为圆(x-3)2+y2=1 上的一动点,则|PF2|+|PQ|的最小值为3
C.四边形PAF2B 面积的最小值为❑√3
D.⃗PA ·⃗PB的最小值为2❑√2-3
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 安徽淮南模拟)(2x-3y)5的展开式中含x3y2项的系数为 .
13.(2025 福建龙岩二模)在△ABC 中,BC=2❑√6,D 为边AB 上的点,且满足AD=AC,
BD=CD=3,则cos A= .
14.(2025 广东惠州一模)已知函数f(x)=xm+lognx(m>0,n>0,且n≠1),若f(x)≥1 恒成立,则m
n
的最小值为 .
答案：
1.B 解析 因为z=-1+3i
2+i
=(-1+3i)(2-i)
(2+i)(2-i)
= 1
5 + 7
5i,故|z|=❑√( 1
5 )
2+( 7
5 )
2= ❑√2.故选B.
2.D 解析 由题知,不等式x2-x-6=(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3.不等式ex≤1=e0,解得
x≤0,所以集合A=[-2,3],B=(-∞,0],所以A∪B=(-∞,3].故选D.
3.A 解析 a 在b 上的投影向量为|a|cos<a,b>·
b
|b| = a·b
|b|
·
b
|b| = a·b
|b|
2 ·b=-1
5
(1,-2)=(-
1
5 , 2
5
).故选A.
4.D 解析 当x≤2 时,函数f(x)单调递增,所以f(x)=1
4
x3≤2.要使函数f(x)的值域为R,则
当x>2 时,loga2≤2,解得a≥❑√2,所以实数a 的取值范围是[❑√2,+∞).故选D.
5.C 解析 由题意知,S9是数列{Sn}中的最小值,所以a9≤0,且a10≥0,所以由
“∀n∈N*,Sn≥S9”可以推出“a9≤0”,充分性成立;反之,若a9≤0,a10的符号无法确定,所以
无法确定S9就是{Sn}中的最小值,所以必要性不成立.故“∀n∈N*,Sn≥S9”是“a9≤0”的
充分不必要条件.故选C.
6.D 解析 设事件M 为“两根筷子都是红色的”,事件N 为“取到的筷子中有红色的”,
则P(M)= 1
C10
2 = 1
45,P(N)=1-
C8
2
C10
2 = 17
45 .故P(M|N)= P( MN )
P( N ) = P( M )
P( N ) = 1
17 .故选D.
7.D 解析 因为g(-2)=(-2-3)·f(-2)=-5f(-2)=-5,所以f(-2)=1.因为f(x)是奇函数,f(2)=-
f(-2)=-1,所以g(2)=(2-3)f(2)=1.因为函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于直线x=3 对称,所以
g(4)=g(2)=1,即g(4)=(4-3)f(4)=f(4)=1.故选D.
8.C 解析 设事件An=“第n 次球在甲手中”,Bn=“第n 次球在乙手中”,Cn=“第n 次球在
丙手中”,由题意可知P(An+1)=1
2
P(Bn)+1
2
P(Cn).又P(An)+P(Bn)+P(Cn)=1,所以P(An+1)=
1
2 −1
2
P(An),构造等比数列P(An+1)-1
3 = 1
2 −1
2
P(An)-1
3
=-1
2
(P(An)-1
3
).因为第一次由甲传球,可
认为第0 次传球在甲,即P(A0)=1,所以{P(An)-1
3
}是以P(A0)-1
3 = 2
3
为首项,公比为-1
2
的等比
数列,故P(An)-1
3 = 2
3
(-1
2
)n,P(An)=1
3 + 2
3
(-1
2
)n.
因为第一次由甲传球,之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,则
P(Bn)=P(Cn),所以经过6 次传球后,球恰在乙手中的概率为P(B6)=1
2
(1-P(A6))=21
64 .故选C.
9.AB 解析 由题知,f(x)=2sin(x+π
4
)cos(x+π
4
)=sin 2(x+π
4
)=sin(2x+π
2
)= cos
2x,∴f(x)max=1,故A 正确;函数f(x)的最小正周期T=2π
2
=π,故B 正确;当x∈(0,π
2
)时,令
t=2x,则t∈(0,π).∵y=cos t 在区间(0,π)上单调递减,∴f(x)在区间(0,π
2
)上单调递减,故C 错
误;因为f(π
4
)=cosπ
2
=0,所以直线x=π
4
不是函数f(x)图象的对称轴,故D 错误.
故选AB.
10.BCD 解析 如图,设圆台上底半径为r,下底半径为2r,高为h,
则tan 60°=h
r = 2
r
,得r=2❑√3
3
,即圆台的上底面半径为r=2❑√3
3
,故A 错误;圆台的体积为V=
π h
3
[r2+(2r)2+r·2r]=2π
3 ×(4
3 + 16
3 + 8
3
)=56 π
9
,故B 正确;因为母线l=❑√h
2+(2r -r )
2= 4 ❑√3
3
=2r,∠A1AO=60°,所以△A1AO 为等边三角形,所以OA=OA1,所以该圆台外接球的球心就
是下底面圆心O,所以该圆台外接球半径为R=2r=4 ❑√3
3
,所以其外接球表面积为
S=4πR2=4π× 16
3 = 64 π
3
,故C 正确;用平面截该圆台,若所截图形为椭圆,离心率最大时,截
面可以是过A1,E 的截面,此时对椭圆有2a=A1E=4,得a=2.因为圆台中截面半径为R0=r+
r
2 = ❑√3,所以椭圆中b=❑√(❑√3)
2-(
❑√3
3 )
2= 2❑√6
3
,所以e2=1-b
2
a
2=1- 8
12 = 1
3,所以e=
❑√3
3
,所以椭
圆离心率的取值范围为(0,
❑√3
3
],故D 正确.故选BCD.
11.BC 解析 圆(x-3)2+y2=1 的圆心为(3,0),半径为1,双曲线的焦点为(±3,0).对于A,由双
曲线焦点三角形的面积公式可得S△P F1 F2=
b
2
tan ∠F1 P F2
2
=
8
tan 45°=8,故A 错误;
对于B,由双曲线的定义可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|-2≥5-2=3,当P,F1,Q 三点共线时取
等号,故B 正确;对于C,S四边形PA F2B=2S△PA F2=2× 1
2 ×|PA|×1,所以当|PA|最小时,四边形
PAF2B 的面积最小.由双曲线的性质可得当点P 位于右顶点时,|PA|最小,所以|PA|=
❑√2
2-1= ❑√3,所以四边形PAF2B 面积的最小值为❑√3,故C 正确;对于D,⃗PA ·⃗PB=|⃗PA|2cos
2∠APF2=(|PF2|2-1)(1-2sin2∠APF2)=(|PF2|2-1)(1-2
1
| P F2|
2 )=|PF2|2+
2
| P F2|
2 -3≥2
❑√
| P F2|
2×
2
| P F2|
2 -3=2❑√2-3,当且仅当|PF2|2=❑√2时,等号成立.因为|PF2|≥2,所以取不到
等号,故D 错误.故选BC.
12.720 解析 由题得展开式的通项为Tk+1=C5
k(2x)5-k(-3y)k=C5
k·25-k(-3)kx5-kyk,令k=2,得T3=
C5
2×23×(-3)2x3y2=720x3y2,所以(2x-3y)5展开式中含x3y2项的系数为720.
13. 7
9
解析 在△BDC 中,BC=2❑√6,BD=DC=3,
由余弦定理,得cos∠CDB=9+9-24
2×3×3
=-1
3
=-cos∠CDA.
在△ADC 中,AD=AC,所以∠ADC=∠ACD,
则cos A=-cos 2∠ADC=-(2cos2∠ADC-1)=-(2cos2∠CDB-1)=-(2× 1
9
-1)=7
9 .
14.e 解析 由题知,函数f(x)=xm+lognx 的定义域为(0,+∞),当n>1 时,可得f(x)在区间
(0,+∞)上单调递增.又f(1)=1,不符合题意;当0<n<1 时,f'(x)=mxm-1+
1
x ln n = m
x
(xm+
1
mln n
),
易知m
x
>0,令h(x)=xm+
1
mln n
,则h(x)在区间(0,+∞)上单调递增.令f'(x)=0,解得x0=(
1
-mln n )
1
m .当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,x0)上单调递减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)
在区间(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)有极小值,也是最小值.
又因为f(x)≥1 恒成立且f(1)=1,所以{
f ( x )min= f ( x0)=1,
x0=1,
则x0=(
1
-mln n )
1
m=1,得mln
n=-1,所以m
n =-1
nln n =
1
n
ln 1
n
.设g(x)= x
ln x
(x>1),g'(x)= ln x -1
(ln x )
2 ,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)
时,g'(x)<0,则g(x)在区间(1,e)上单调递减,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,则g(x)在区间(e,+∞)上
单调递增,所以g(x)min=g(e)=e,即m
n
的最小值
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