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规范练2
1.(13 分)(2025 浙江金华二模)有甲、乙两道谜语,小华猜对甲谜语的概率为0.8,猜对得奖
金10 元;猜对乙谜语的概率为0.5,猜对得奖金x 元.
(1)猜两道谜语,求小华仅猜对其中一道的概率;
(2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下,才有资格猜第二道,求x 的值,使得小华先猜
甲谜语和先猜乙谜语所获得的奖金期望相同.
2.(15 分)(2025 山东烟台、德州二模)如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,BC=2AB=2CD=
2AD=4,E 为BC 的中点,将△CDE 沿边DE 折起,使点C 到达点P 的位置.
(1)证明:DE⊥AP;
(2)若二面角A-DE-P 的大小为120°,求直线DP 与平面BEP 所成角的正弦值.
3.(15 分)(2025 山东青岛模拟)已知函数f(x)=ax-sin x,x∈[-π
2 , π
2
].
(1)当a=1
2
时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点,记极大值和极小值分别为M,m,证明:M-m<2.
2
答案：
1.解 (1)设小华仅猜对其中一道谜语为事件M,猜对甲谜语为事件A,猜对乙谜语为事件
B,则P(M)=P(AB+ AB)=P(AB)+P(AB)=0.8×0.5+0.2×0.5=0.5.
(2)设小华先猜甲谜语获得的奖金为ξ1元,先猜乙谜语获得的奖金为ξ2元,
则ξ1的取值分别是0,10,10+x,ξ2的取值分别是0,x,10+x,
P(ξ1=0)=0.2,P(ξ1=10)=0.8×0.5=0.4,P(ξ1=10+x)=0.8×0.5=0.4,
所以E(ξ1)=0×0.2+10×0.4+(10+x)×0.4=0.4x+8;
P(ξ2=0)=0.5,P(ξ2=x)=0.5×0.2=0.1,P(ξ2=10+x)=0.5×0.8=0.4,
所以E(ξ2)=0×0.5+0.1x+(10+x)×0.4=0.5x+4.
由E(ξ1)=E(ξ2),得0.4x+8=0.5x+4,解得x=40.
2.(1)证明 连接AC 交DE 于点O,连接OP,
由题可得AD=CE=CD=2,且AD∥CE,所以O 为DE 的中点.
在△DEP 中,PE=PD=2,所以DE⊥PO,同理DE⊥AO,
又PO∩AO=O,PO,AO⊂平面AOP,所以DE⊥平面AOP,
又因为AP⊂平面AOP,所以DE⊥AP.
(2)解 由(1)可知OC⊥OE,以点O 为坐标原点,以直线OE,OC 和过点O 垂直于平面
ABED 的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题可知四边形ABCD 为等腰梯形,且BC=2AB=2CD=2AD=4,可得∠ABC=60°.
由(1)可知,∠AOP 为二面角A-DE-P 的平面角,
所以∠AOP=120°,从而∠COP=60°.
因为OP=OC=√3,所以点P 到平面ABED 的距离为√3sin 60°=3
2
,
则有D(-1,0,0),P(0,√3
2 , 3
2
),B(2,-√3,0),E(1,0,0),
所以⃗DP=(1,√3
2 , 3
2
),⃗BP=(-2,3√3
2
, 3
2
),⃗BE=(-1,√3,0).
设m=(x,y,z)为平面BEP 的一个法向量,则有
3
{⃗
BP·m=-2 x + 3√3
2
y + 3
2 z =0,⃗
BE·m=- x +√3 y =0,
令y=√3,则m=(3,√3,1).
设直线DP 与平面BEP 所成的角为θ,
则有sin θ=|cos<⃗DP,m>|=|⃗DP·m|
|⃗DP||m|
=|3+ 3
2 + 3
2|
2×√13 = 3√13
13
,
故直线DP 与平面BEP 所成角的正弦值为3√13
13
.
3.(1)解 当a=1
2
时,f(x)=1
2
x-sin x,x∈[-π
2 , π
2
],则f'(x)=1
2
-cos x,
当-π
2 ≤x≤-π
3 或π
3 ≤x≤π
2
时,f'(x)≥0;
当-π
3
<x<π
3
时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-π
3 , π
3
)内单调递减,在[-π
2
,-π
3
]和[π
3 , π
2
]上单调递增.
(2)证明 由f(x)=ax-sin x,x∈[-π
2 , π
2
],得f'(x)=a-cos x.
因为函数f(x)有两个极值点,所以方程f'(x)=a-cos x=0 有两个不相等的实根,设为x1,x2且
x1<x2,因为当x∈[-π
2 , π
2
]时,函数y=cos x 的图象关于y 轴对称,所以x1+x2=0,即cos x1=cos
x2=a∈(0,1).
当x∈(-π
2
,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(x2,π
2
)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x1,x2分别是函数的极大值点和极小值点,即
M=f(x1)=ax1-sin x1,m=f(x2)=ax2-sin x2,又x1+x2=0,即x2=-x1,
则M-m=ax1-sin x1-(ax2-sin x2)=2(ax1-sin x1),
又cos x1=a∈(0,1),则M-m=2(x1cos x1-sin x1).
设h(x1)=2(x1cos x1-sin x1),-π
2
<x1<0,则h'(x1)=-2x1sin x1<0,即函数h(x1)在(-π
2
,0)内单调递减,
所以h(x1)<h(-π
2
)=2,即M-m<2.
