1
计算题专项练(三)
1.(10 分)(2025 山西太原模拟)如图所示,取一块截面半径R=6 cm、高度h=16 cm 的圆柱
体冰块,用烧红的细铁条将冰块穿上小孔,在冰块的中心O 安装一个发黄色光的LED 灯
就做成了一个冰灯。用遮光罩罩住冰灯的侧面,将冰灯提到下表面距地h'=30 cm 高处,
此时冰灯的下表面全面发光,且在地面形成的光斑半径R'=46 cm。不考虑光的多次反射。
(1)求该冰块对黄光的折射率。
(2)取下遮光布,仅改变冰灯的高度可实现其外表面全面发光,求冰灯的最大高度。(LED
灯位于冰灯中心)
2.(12 分)(2025 山东山师附中模拟)某型号离子实验装置的工作原理可简化为图甲所示。
M 为竖直放置的屏,以垂直于屏为x 轴、平行于屏为y 轴建立直角坐标系,y 轴到屏的距
离为d,屏的左侧存在平行于y 轴向下的匀强电场和平行于x 轴向右的匀强磁场,电场和
磁场的大小和分布范围可调节。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从坐标原点O 以
初速度v0进入xOy 平面第一象限,初速度v0与x 轴正方向的夹角为53°。若空间只存在
匀强电场E=4 mv0
2
5qd
,粒子打到屏上P 点(未画出)。已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,不计粒
子重力,忽略电场、磁场的边界效应。
2
(1)求P 点的y 坐标;
(2)若空间只存在磁场B1=9 π m v0
5qd
,粒子打到屏上Q 点,求P、Q 间的距离L;
(3)如图乙所示,分界面N 把区域分为左右两部分:N 的左侧充满电场E,N 的右侧充满平行
于x 轴向右的匀强磁场B2,若使粒子仍然打到屏上P 点,求分界面N 到y 轴的距离x 及B2
的大小。
3.(16 分)(2025 河北石家庄模拟)某公园的台阶如图甲所示,已知每级台阶的水平距离
s=30 cm,高度h=20 cm。台阶的侧视图如图乙所示,虚线AB 恰好通过每级台阶的顶点。
某同学将一小球置于最上面台阶边缘的A 点,并沿垂直于台阶边缘将其以初速度v 水平
抛出,重力加速度g 取10 m/s2,空气阻力不计。
甲
乙
(1)要使小球落到第1 级台阶上,求初速度v 的范围。
(2)若小球可直接击中B 点,求此种情况下小球从抛出到离虚线AB 最远所经历的时间。
(3)若v=5 m/s,每次与台阶或地面碰撞时,竖直方向的速度大小都变为原来的一半,方向与
原方向相反,试求小球从抛出到与台阶或地面第4 次碰撞所经历的总时间。
3
参考答案
1.答案 (1)4
3
(2)36√7
7
cm
解析 (1)设黄光从冰块下表面边缘射出时入射角为r,折射角为i,如图所示,由几何关系有
sin r=
R
√
R
2+(
h
2)
2 = 3
5
sin i=
R'- R
√( R'- R)
2+h'
2 = 4
5
设该冰块对黄光的折射率为n,由折射定律有
n= sini
sin r
解得n=4
3
。
(2)设黄光由冰块射向空气的临界角为C
sin C=1
n = 3
4
设冰块的最大高度为H,由几何关系有
sin C=
H
2
√R
2+(
H
2 )
2
解得H=36√7
7
cm。
4
2.答案 (1)2
9
d
(2)2√π
2+16
9 π
d
(3)1
5
d 3n π m v0
2qd
(n=1,2,3,…)
解析 (1)带电粒子在电场中做类平抛运动,沿x 方向有d=v0cos θ·t
沿y 方向有y=v0sin θ·t-1
2
at2
根据牛顿第二定律有qE=ma
联立解得y=2
9
d。
(2)粒子在磁场中的运动轨迹为等距螺旋线运动,半径为r=m v0sinθ
q B1
解得r=4 d
9 π
周期为T=2π m
q B1
= 10d
9 v0
粒子运动的时间t=
d
v0cosθ = 5d
3 v0
= 3
2T
P、Q 间的距离L=√(2r )
2+ y
2
解得L=2√π
2+16
9 π
d。
(3)设粒子在电场中运动的时间为t1,在磁场中运动的时间为t2,在电场中运动时,则有
2
9
d=v0sin θ·t1-1
2 at1
2
分界面N 的x 坐标为
x=v0cos θ·t1
解得x=1
5
d,t1= d
3 v0
5
粒子在电场和磁场中的运动时间t=t1+t2
t2=nT'
粒子在磁场运动的周期T'=2π m
q B2
解得B2=3n π m v0
2qd
(n=1,2,3,…)。
3.答案 (1)0<v≤1.5 m/s
(2)√6
10
s
(3)11√6
20
s
解析 (1)速度最大时,小球恰好落到第一台阶边缘,则有h=1
2
gt2,s=vt
解得v=1.5 m/s
要使小球落到第1 级台阶上,初速度v 的范围为0<v≤1.5 m/s。
(2)小球可直接击中B 点,则有6h=1
2 gt 4
2,6s=vt1
解得t1=√6
5
s,v=3√6
2
m/s
当速度方向平行于AB 时,小球离虚线AB 最远,则有tan α=v y
v = gt2
v = 6h
6 s
解得t2=√6
10
s。
(3)因为v=3√6
2
m/s<5 m/s,小球直接落到地面上
落地时,竖直分速度为vy1=gt1=2√6 m/s
从第一次碰撞到第二次碰撞,有
1
2
vy1-(- 1
2 v y 1)=gt3
从第二次碰撞到第三次碰撞,有
6
1
4
vy1-(- 1
4 v y 1)=gt4
从第三次碰撞到第四次碰撞,有
1
8
vy1-(- 1
8 v y 1)=gt5
总时间为t 总=t1+t3+t4+t5=11√6
20
s。
