规范练3
1.(13 分)(2025 湖南长沙模拟)已知a,b,c 是互不相等的正实数.
(1)若a,b,c 成等差数列,求证:a+1,b+1,c+1 不可能是等比数列;
(2)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若1
a , 1
b , 1
c
成等差数列,求证:B<π
2
.
2.(15 分)(2025 安徽合肥二模)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax-b,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线
方程为x+y+2=0.
(1)求a,b 的值;
(2)讨论f(x)的零点个数,并证明所有零点之和为0.
3.(15 分)(2025 安徽马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy 中,点(1
2 ,❑√3)和(
❑√3
2
,1)是中心为
坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆E 上的两点.
(1)求椭圆E 的标准方程;
(2)若P 为椭圆E 上任意一点,以点P 为圆心,|OP|为半径的圆与圆C:x2+( y + ❑√3)
2=5 的
公共弦为MN.证明:△CMN 的面积为定值,并求出该定值.
答案：
1.证明 (1)假设a+1,b+1,c+1 成等比数列,所以(b+1)2=(a+1)(c+1),①
因为a,b,c 成等差数列,所以b=a+c
2
,②
由①②可得a=c,与已知a,b,c 是互不相等的正实数矛盾,故假设不成立,原命题成立.
(2)因为1
a , 1
b , 1
c
成等差数列,所以2
b = 1
a + 1
c
,所以2ac=b(a+c),
由余弦定理和基本不等式可得cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
≥2ac -b
2
2ac
=1- b
2
2ac
=1-
b
2
b(a+c )
=1- b
a+c
,
当且仅当a=c 时,等号成立.
因为a,b,c 为△ABC 的三边,所以a+c>b,所以1- b
a+c
>0,所以cos B>0,所以B<π
2 .
2.(1)解 求导得到f'(x)=xex-a,根据函数在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+2=0,得到
{
f '(0)=-1,
f (0)=-2. 把x=0 代入f'(x),得f'(0)=0×e0-a=-a,
因为f'(0)=-1,所以-a=-1,即a=1.
f(0)=(0-1)e0-a×0-b=-2,则b=1.
(2)证明 由(1)知f(x)=(x-1)ex-x-1,f'(x)=xex-1.
令g(x)=f'(x),求导得g'(x)=(x+1)ex.
当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,g(x)在(-∞,-1)上单调递减;
当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(-1,+∞)上单调递增.
当x<0 时,g(x)<0,又g(1)>0,g(0)<0,所以存在唯一x0∈(0,1),使g(x0)=0,即x0e
x0=1.
当x∈(-∞,x0)时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,x0)内单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)内单调递增,所以f(x)≥f(x0).
f(x0)=-x0- 1
x0
<0,又f(-2)=1- 3
e
2>0,f(2)=e2-3>0,
根据零点存在定理,f(x)在(-2,x0)和(x0,2)各有一个零点,共两个零点.
设x1是其中一个零点,则f(x1)=(x1-1)e
x1-x1-1=0,
则f(-x1)=(-x1-1)e
- x1+x1-1=e
- x1[(x1-1)e
x1-x1-1]=0,
所以-x1也是f(x)的零点,零点的和为x1+(-x1)=0.
3.解 (1)设椭圆E 的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
由题意知m·(1
2)2+n·(❑√3)
2=1,m·(
❑√3
2 )
2
+n=1,解得m=1,n=1
4,
所以椭圆E 的方程为x2+ y
2
4
=1.
(2)设P(x0,y0),则x0
2+ y0
2
4
=1,且圆P 的方程为( x - x0)
2+( y - y0)
2= x0
2+ y0
2,即圆P 的方程为
x2+y2-2x0x-2y0y=0.
因为圆C 的方程可化为x2+y2+2❑√3y-2=0,
将圆P 的方程与圆C 的方程作差得x0x+(❑√3+y0)y-1=0,
所以MN 的方程为x0x+(❑√3+y0)y-1=0.
点C(0,-❑√3)到直线MN 的距离
d=
|- ❑√3(❑√3+ y0)-1|
❑√x0
2+(❑√3+ y0)
2
=|4+ ❑√3 y0|
❑√x0
2+ y0
2+3+2❑√3 y0
=
|❑√3 y0+ 4|
❑√1- y0
2
4 + y0
2+2❑√3 y0+3
=
|❑√3 y0+ 4|
❑√
3 y0
2
4 +2❑√3 y0+ 4
=|❑√3 y0+ 4|
|
❑√3
2 y0+2|
=2,
又因为|MN|=2❑√5-d
2=2,所以△CMN 的面积为S△CMN=1
2
|MN|·d=1
2 ×2×2=2,为
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