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⾼三冲刺笔记-函数（三）
考点归纳：函数值域求解⽅法
⼀
、直接去: (观察法)
即从⾃变量
ㄨ的范围出发
,推出州内取值范围
, 或由函数
的㪦域结合图象
,或直接观察
, 准确判断函数值域的
⽅法
。
eg :
王知
⾮灬
2
- 1
,
⽔{
-1
. 0 .
1.
2 3
求函数值域
。
解:
⼼
\ " 数集
"
.io#x,yGl-i.o.3j
↳" 不是连续的范围
"
X: 1
eg :
求⽕xtl
的值域
。
解:
i
x
70
7
X + 1
3
1
) J ≥1
即JEII.to)
eg
:
求yix-itx.li
lx ≥1)
值域,
解:
X
-1
≥了
,
y ,
2
即yEIr2.to )
*1 1
7
2
⼆、配⽅法
⼆次函数或可转化为
⼆次函数的函数常⽤此⽅法来求解。
eg :
求⽕
-2x_x
2 -1 3
值掝
解
… -2x_x个3 ≥了
, 即
3 从
上1
9 :
⼀刚到
.io≤
- ( 州
2
-1 4 ≤4
7
0 ≤Y
± 2
三
, 最值法
对于闭区间上的连续函数
, 利⽤函数的最⼤值
, 最⼩值
,
求出函数值域。
eg :
y = 2
" 在
x E
E 2 .
2] 值城。
⼈
i
i ,
.it 时
, 4]
.
2
2
egiy.it 5 ㄨt 6
-
^
'
73
_
_
_ a
T
I
,
iytc.is , 旭]
.
1
5
-
⽔不
四
、单调性法
确定函数在定义域上的单调性
, 求函数值城。
eg
求y:P 圳州
x
在XEI 六刊
值域
。
解:
化简
, y:-x t # t2
⼈
. : 当i
≤xa 2时
yxǜt 2
>
2 ab
' 抓axtfcao.no)
- 卡
即
Y E [ 6 ,
18年]
- 2abi.IT
》
" 对勾函数"
卡
" 当2 ≤x ≤4时
yxǜt201
即yc [ 6
.
7]
主宗上: 函数在xc.li ⽵值域为
y E [6 ,
⽇本]
。
egijy-x-i.sn
值域,
⻆灵
:
'
当x
⼈
,
1
- 2X
v
i
-
1 - 2ㄨ
^
i
y = *
1
- 2× 在这域(⼀的
、对
上为增函数
。
i.
9 ≤Ì
-
1 - 2i
= I.iyc.to
, 打
,
eg
: 求f) :
ltx
t
1.x
值城
。
解
: .it
以"
, tx ≤1
⽽
以与
rx
在定义域内单调性不致
。
1.x ≥0
i 构造
9 ix) ⼆
M
-
1 - X
> 9 ⽇)在定义城内递增
,
sgixmax.gl 1)⼆⽇
>
191刈
≤没
>
ogix) ≤2
和minigc.in 没
ㄡ
fix)
t
秄(Xl://txtrxitlltx-i-xiiltxt2.CH
》(IX)
t 1.x
t
H X
- 2
( HX)( 1
- X )
+
1 - x
⼆个
。
i
fI )
= 4
- 䢂》
>
廷fh
≤4 .
7
2 ≤扒) ≤2
。
五: 换元法
(1 ) 对于含有根式或者解析式较复杀的承数
,
可以运⽤代数或
涌代换
, 将所给函数化成值城
简单熟悉的容易确定
的基本函数
,
从⽽求得原函数值域。
当根式⾥是⼀次式时,
⽤代数换元
,
当根式⾥是⼆次成时
, ⽤三⻆换元,
1
12)
对形如⽕f…
的函数
, ⽗⽔加t ;
对形如y.cn/tbIcx+d
的函数
, ⽗
Cxtd
⼆七;
对形如含
以⽔的结构
的函数,
可利⽤三⻆代换
, ⻝
⽔⽒的
2 0 [0,
⺎]
, 或含x-asino.DE Iǜ , 进了
。
eg :
求y : 2*1
1
- 2 x
值城
。
解
⽗上
以
⼼》
则
⽔E.iy.itttl :-( t.it 年
ˋ :
当⼠: 主
即x
时
ymaxi.iyc.co , 刘
" 多了8
"
圴
求
y =
(x
2
- 5 ㄨt 12 ) ( x
2
- 5 X + 4 )
-1 2 1
值城。
解
⽗⼠: 11
2
- 5 x
-1 4
=
1 *)
2
- 本
则
⼤≥⼀年
则y :
tctt 8)
721 t.tt zt t21
=
( 七⼗4)
2
-1 5
^
129
i
i 当t
>, ⼀年时
9min : (中
⼗川
"
-1 5 =
1 6
1
1 2 9
1
9
)
iyEIH.to
)
1
-年
在⼀个
egi
求yixtlox.in -23
值域。
"
rna2.in/=acosiI
解:
由
9 : xtlox-x2-23-Xt2.lk512
, ⽗,
⼩5
=
2 的
ˊ : 2 . ( )( -
5)
2
》0
7
2
- 2 C》为
》。
>
-1
≤
coso ≤1
QEEo.ES
则
2 .
1* 5)
2
=
2 2 C》为
: 没5呐
。
⼈
• max
-
"辅助⻆公式
"
→
i
i
i
y : 没的t 5
t t
s 的
⼆
25in 仅⼗式) t 5
i
0 ≤0
㐳
>
承挺≤芈
, 是≤sinczn.li
!
i
5
- 0⼈
≤
25in ⼼事) t 5
≤7
六: 分离常数:夫:
分⼦分⺟是
⼀次函数的有理函数
,
可⽤分离常数法
。
dā
cxtd
对于yiaxtb
可
化为yǚt
axtb
求值越,
1 - X
egi
救:
2*1 5 值域
- 5
E
1 -
2
. i I
- xtl
zns.to iyt Ì
解:
原式y :
2* 5
=
-Ìt
2䦹5
⼆Ìt
2䦹5
七
:
判别式法:
把函数转化成
关于x 的
⼆次⽅程
; 通过⽅程有实数根
,
ditextc
判别式"
, 从⽽求得原函数值域
。
对形如⽕
onxtc.la d)
不同时为雭的函数的值掝
, 通常转化成
关于X 的⼆次⽅程
,
由于⽅程有实根
, 即△≥。
从⽽求得
J 的范围
。
注意
: 对
⼆次项系数过论。
egi
求y
= 队✗+3
112灿
的值掝
。
解:
由原式得
cy-nx2-ly-nxty.io
㓥:
1 时
, ⽅程⽆解
;
⽅程有实根
"
当yt 1时
,
" XER.it
ly-lj2-4cy.ycy-31no.iltytix.it#liKy'i.:
值城为1 ylky
≤i
}
⼋:
基本不等式法:
atb 》2
ab
要注意条件
" ⼀天
,
⼆定
,
三相等
"
v
v
v
cno.hn
atb或(a) 为定值
取等号成交的
条件āb
,
egi 求y :
如
xti
值掝
。
1
1
解: y :
做
=
M t
'
卅
⼗
灬
=
y t
M
》2
M
M
=
x
-1 1
1
当⽇仅当
Xtl
⼆
州
时, 即
x = 1
" ⼆
" 成交
、
iyc-I2.to/eg:fy=2X2-xtl2x-i(X72l
值城
。
,
为
解: y
:
2⽔州
:
)( C 2⼈) + 1
2* 1
=
X +
2* 1
= X-itx.it Ì
。2 ⼼⼼iii)
2M
主
= mi
' 坏
…
… 成之
。
i.YEIIU.to )
当且仅当x-ix.gl
时
, 即
x :
2
12 :
复合函数法:
对于yflu.lt 抋
, 先求v9们的值拭充当y.fm 的
定义
域
,
从⽽求出
y冰⼼的值越,
5
eg
: 求y : i +
,
值域
eg.gg ⼈从
了解
: 这341 㲺
解
:
⽗v = x
2
- 2⼩了
,
7 0
) × < - 1 或加3
,
则y.it
1
- 1
t"
r.in
"
i
'"
yiogiit.it:1
- Ìlt 711
N
i
必
则yso.iyc.co.to )
!
x: 1
. i
y
= 的2
0 E
E 的,
-1 0 1
.
