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8.函数与导数
1.函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.
(2)常见函数的值域
①一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)：当a>0 时，值域为[
4 ac -b
2
4 a
,+∞)，当a<0 时，值域为(-∞, 4 ac -b
2
4 a ]；
③反比例函数y=k
x (k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}.
2.函数的性质
(1)函数的单调性
①定义法：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，
都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I 上单调递增；
如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I 上单调递减；
②单调性的定义的等价形式：∀x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，
那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增；
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
<0⇔f(x)在[a，b]上单调递减.
③常用结论
(ⅰ)若f(x)，g(x)均为区间A 上的增
( 减
) 函数，则f(x)+g(x)也是区间A 上的增(减)函数；
(ⅱ)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反；根据同增异减判断复合函数
y=f(g(x))的单调性；
(ⅲ)一些重要函数的单调性和图象：
对勾函数
刀锋函数
超越函数
(2)函数的奇偶性
①定义：若f(x)为偶函数，则f(-x)=f ( x ) ，其定义域关于原点对称，图象关于y 轴
对称，
若f(x)为奇函数，则f(-x)=- f ( x ) ，其定义域关于原点对称，图象关于原点对称，若奇函数在x=0 处有定义，
则f(0)=0；
②拓展：若f(x+a)为偶函数，则f(-x+a)=f(x+a)，
若f(x+a)为奇函数，则f(-x+a)=-f(x+a).
(3)函数的周期性
①定义：若对于定义域内任意的x，都有f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数，其周期为T；
②拓展：若对于定义域内任意的x，都有f(x+a)=f(x+b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其周期为|b-a|，
若对于定义域内任意的x，都有f(x+a)=-f(x+b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其周期为2|b-a|.
(4)函数的对称性
①定义：若f(x)的对称轴方程为x=a，则f(x)=f(2a-x)，
若f(x)的对称中心为(a，0)，则f(x)=-f(2a-x)；
②拓展：若对于定义域内任意的x，都有f(x+a)=f(-x+b)，则函数f(x)有对称轴，其方程为x=a+b
2
，
若对于定义域内任意的x，都有f(x+a)=-f(-x+b)，则函数f(x)有对称中心，其坐标为(
a+b
2
,0)，
若对于定义域内任意的x，都有f(x+a)=-f(-x+b)+c，则函数f(x)有对称中心，其坐标为(
a+b
2
, c
2).
3.指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y=ax(a>0，且a≠1)恒过点(0
，
1)
；
y=logax(a>0，且a≠1)恒过点(1
，
0)
.
(2)单调性：当a>1 时，y=ax在R 上单调递增；y=logax 在(0，+∞)上单调递增；
当0<a<1 时，y=ax在R 上单调递减；y=logax 在(0，+∞)上单调递减.
4.函数的零点
(1)零点定义：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0 的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.
方程f(x)=0 有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有公共点.
(2)确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)=0；
②函数零点存在定理法：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f ( a ) f ( b )<0
，
那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程
f(x)=0 的解.
③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.
5.导数的几何意义
(1)f'(x0)的几何意义：曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).
(2)切点的两大特征：①在曲线y=f(x)上；②在切线上.
6.利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f'(x)；
③由f'(x)>0 的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f'(x)<0 的解集确定函数f(x)的单调递减区间.
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M 上单调递增，则f'(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M 上单调递减，
则f'(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I 是其单调区间的子
集.
7.利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f'(x)=0；
③判断f'(x)在方程f'(x)=0 的根x0附近两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点.
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值；
②比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小
值.
8.常见的含有导数的几种不等式构造原函数类型
(1)对于f'(x)±g'(x)>0，构造函数h(x)=f(x)±g(x).
(2)对于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，构造函数h(x)=f(x)g(x).
(3)对于f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，构造函数h(x)= f ( x)
g( x)(g(x)≠0).
例如，对于xf'(x)+f(x)>0，构造函数h(x)=xf(x)，
对于xf'(x)-f(x)>0，构造函数h(x)=f ( x)
x
.
对于f(x)+f'(x)>0，构造函数h(x)=exf(x)，
对于f'(x)-f(x)>0，构造函数h(x)=f ( x)
e
x .
1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.
2.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.
3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔
开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.
4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义
域不受影响.
5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视对a 的取值进行讨论；
对数函数y=logax(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件.
6.易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准
确互化.
7.已知可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则f'(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“=”，
且需验证“=”不能恒成立.
8.f'(x)=0 的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x=x0的两侧f'(x)的符号是否发生变化，若变化，则为
极值点；若不变化，则不是极值点.
