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专题02 函数的值域
考点一 常见函数值域
一、单选题
1．下列函数中值域为 的是（ ）
A．y=|x-1| B． C． D．
【解析】对于A，函数 ，值域为 ，故选项A正确；
对于B，函数 ，值域为 ，故选项B错误；
对于C，函数 ，值域为 ，故选项C错误；
对于D，函数 ，值域为 ，故选项D错误，
故选：A.
2．当 时，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，因为 ，所以 ，
当 时，函数 单调递减，故 ，
当 时，即 ，所以 ，
所以函数的值域为： .故选：C．
3．已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2【解析】当 时，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 有最小值为 ，
当 时，函数 在 上单调递增，所以 ，
综上，当 时，函数 有最小值为1.故选：C
4．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，由 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，
所以函数 的值域为 .故选：B
5．已知函数 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
故 ，故函数值域为 .故选：B
二、多选题
6．下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于选项A，方法1：当 时， ，所以2不是 的最小值，故A项错误；
方法2：因为 在 ， 上单调递增，所以其值域为R，故A项错误；
对于选项B，因为 定义域为R，令 ，则 ，所以 ，又因为 ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 2，所以 值域为
，故B项正确；
对于选项C，因为 ， 所以 ，所以 值域为 ，故C项错误；
对于选项D，因为 对称轴为 ，其在 上单调递减，在 上单调递增，所以当
时， ，所以 值域为 ，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
7．已知 ，函数 的值域为______________
【解析】因为 ，所以 ，又 ，
所以当 时， 单调递减， ，
所以函数 的值域为 .
8．函数 的值域为______.
【解析】令 ，则 ，
所以 .故答案为： .
四、解答题
9．求下列函数的值域.
(1) ;(2) ;(3) , .
【解析】（1）设 ,则 ,
所以 ,根据二次函数的图像和性质,函数 的值域为 .
（2）函数的定义域为 , ,
所以函数 的值域为 .
（3）因为函数 的对称轴为 ,
所以函数 在 单调递减, 单调递增,所以函数 的值域为 .
10．求下列函数的值域：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；
(6) ；(7) ；(8) ；(9) .
【解析】（1）因为 ，故 的值域为 ；
（2）令 ，则 ，而 ，则 ，
故 ，即 的值域为 ；
（3） ，因为 ，故 ，
所以 的值域为 ;
（4）令 ，则 ，
当 时， 取到最大值5，无最小值，故 的值域为 ；
（5）因为 ，令 ,
故 ，
由于 ，故 ，即函数 的值域为 ；（6） ，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
故 的值域为 ；
（7）因为 恒成立，故 ,则由 可得 ，
当 时， ，适合题意；
当 时，由于 ，故 恒有实数根，
故 ，解得 且 ，故 的值域为 ；
（8） ，
因为 ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，即函数值域为 ；
（9）由 可得 ，即 ，
由三角函数辅助角公式可得 ，（ 为辅助角），
则 ，解得 ，故函数 的值域为 .
考点二 复杂函数值域
一、单选题
1．函数 的值域是（ ）A． B． C． D．
【解析】由 可得 ，
当 时，故 ，当且仅当 时等号成立，
而 恒成立，故 ，故 的值域为 ，故选：C
二、填空题
2．函数 的最大值与最小值分别为M和m，则 的值为__________．
【解析】依题意可得函数 的定义域为 ，
即 ，则 ，所以 ，所以 ， ，即 ．
3．已知函数 为偶函数，则函数 的值域为___________.
【解析】 函数 （ ）是偶函数，
，
，易得 ，设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 ，所以函数 的值域为 ．
4．求函数 的值域为_________.
【解析】令 ，则 ，容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 ，
，所以该函数在 时取到最大值 ，当 时，函数取得最小值 ，
所以函数 值域为 .
5．函数 的值域为__．
【解析】令t＝sinx，t∈[-1,1]，所以原式可化为： ，
∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4，∴ ，则 ，
∴ ，函数 的值域为 ．
6．函数 的值域为______.
【解析】由题设 ，
所以所求值域化为求 轴上点 到 与 距离差的范围，如下图示，
由图知： ，即 ，
当 三点共线且 在 之间时，左侧等号成立；
当 三点共线且 在 之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以 ，即 ，所以函数值域为 .
7．函数 的最大值为______.
【解析】因为 ，令 ，则 ，令 ， ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，
即 ，则 ，
即函数 的最大值为 ，当且仅当 时取等号.
8．若 ，则函数 的值域是__________．
【解析】 ，
设 ， ，则 .由于 ，则 ，且 .
设 ，由该式的几何意义得下面图形， ，其中直线 为圆的切线，由图知 .
由图知 ，在 中，有 ， ，所以 ，
所以 ，所以 .所以， ，故所求值域为 ．
9．函数 的值域是______．
【解析】令 ，则 ，令 ，
则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以函数 的值域是 .三、解答题
10．已知 ，求 的取值范围．
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，则 ，所以 ，
则 ，所以 ，故 的取值范围为 .
11．已知幂函数 过点 ．
(1)求实数m的值；
(2)求函数 的值域．
【解析】（1）∵函数 过点 ，∴ ，∴ ．∴ ．
（2）由（1）求解可知， ．∴ ， ．
令 ，则 ， ．引入 ，
∴ 在 上单调递增函数，
∴ ， ，
∴函数 的值域为 ．故 的值域为 ．
考点三 抽象函数值域
一、单选题1．函数 的定义域为 ，值域为 ，那么函数 的定义域和值域分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解析】因为函数 的定义域为 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的定义域 .
将函数 的图象向左平移2个单位，可得 的图象，故其值域不变．故选：D.
2．已知函数 对任意 ，都有 ，当 ， 时， ，则函数 在
， 上的值域为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】当 ， 时， ， ，
则当 ， 时，即 ， ，所以 ；
当 ， 时，即 ， ，
由 ，得 ，从而 ， ；
当 ， 时，即 ， ，则 ， ．
综上得函数 在 ， 上的值域为 ， ．故选：D．
3．定义在R上的函数 对一切实数x、y都满足 ，且 ，已知 在
上的值域为 ，则 在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．【解析】因为定义在R上的函数 对一切实数x、y都满足 ，且 ，
令 ，可得 ，再令 ，可得 ，
又 在 上的值域为 ，因此 在 上的值域为
则 在R上的值域是 .故选：C
二、填空题
4．若函数 的值域是 ，则函数 的值域是____________.
【解析】因函数 的值域是 ，从而得函数 值域为 ，
函数 变为 ， ，由对勾函数的性质知 在 上递减，在 上递增，
时， ，而 时， ， 时， ，即 ，所以原函数值域是 .
5．若函数 的值域是 ，则函数 的值域为 __．
【解析】因为函数 的值域是 ，所以函数 的值域为 ，
则 的值域为 ，所以函数 的值域为 ．
6． 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，若函数 的值域为 ，则 的
值域为_____________．
【解析】由 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，得到 ，
因为函数 的值域为 ，即 ，
所以 ，又 ， ，得 ，
所以 的值域为： .
三、解答题7．已知函数 的定义域为 ，且同时满足：（Ⅰ）对任意 ，总有 ；（Ⅱ） ；
（Ⅲ）若 ，则有
（1）试求 的值；
（2）试求函数 的最大值；
（3）试证明：当 时， .
【解析】（1）令 ，则有 ，即 ，结合已知可得 ；
（2）任取 ， ，
由 ，故 ，所以 ，可得 ， ，
可得函数的最大值为 ；
（3）证明：当 时，
当 ， ，由（2）知， ， ，故 .
考点四 复合函数值域
一、单选题
1．已知函数 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于函数 ， ，当且仅当 时等号成立，所以 .
令 ，则 ，
由于 时， 递减，所以 ，也即 的值域为 .故选：D2．函数 的定义域为 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 的定义域为 ， 中， ，解得 ，
即 的定义域为 ，令 ，则
则 ，
当 时， ；当 时， ， 的值域为 .故选：B.
3．已知 ，则 的值域为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】设 ，则 ，所以 ，
由二次函数的图象及性质可知， 在 ， 上的值域为 ， ，
即 的值域为 ， ．故选：B．
二、填空题
4．函数 的最大值为______.
【解析】由题意，令 ，故 ，
由反比例函数性质， ，故函数 的最大值为 ，
5．函数 的值域是________________．
【解析】 ，且 ， ，
， ， ，
故函数 的值域是 ．6．若 ， ，求函数 的值域________.
【解析】要使函数 成立，则 ，即 ，将函数 代入 得：
， 令 ， 则 ， 所 以
，又 或 ，故函数 的值域为 .
7．函数 的值域为______.
【解析】因为 ，定义域 ，
令 ，则 ，且 在 为减函数， 为增函数，
而 的底数是 ，即为增函数，所以 在 为减函数， 为增函数，
得 在 处取得最小值，因此 ，所以函数 的值域为 .
8．方程 有正数解，则 的取值范围是_________.
【解析】方程转化为 ，化简为 ， ，
求 的取值范围转化为求 （ ）的值域，
设 ， ，则 在区间 上单调递减，
则 ，所以 的取值范围是 .
9．函数 的最小值=__________________．【解析】设 ，则 ， ，设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴函数 在 时是增函数，∴ 时， ．
考点五 根据函数值域求参
一、单选题
1．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．(0，4) B．[1，4]∪{0} C．(0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞）
【解析】令 ，由于函数 的值域为 ，
所以，函数 的值域包含 .
①当 时，函数 的值域为 ，符合题意；
②当 时，若函数 的值域包含 ，
则 ，解得 或 .
综上所述，实数 的取值范围是 .故选：D.
2．已知函数 的值域为 的值域为 ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】在函数 中，值域为 ，
∴函数 的值域为 ，
∴ ，解得： ，在 中，值域为 ，
∴在 中，值域为 ，∵ ，∴ ，解得：
∴ ，故选：C．
3．已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在 上的值域为 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数 ，显然该函数在 上单调递增，
由函数 在 上的值域为 ，则 ，
等价于 存在两个不相等且大于等于 的实数根，
且 在 上恒成立，则 ，
解得 .故选：D.
4．已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，当 时， ，
因为函数 的值域为 ，所以 ，得 ，
所以实数 的取值范围是 ，故选：D.
5．已知函数 ， ，若对任意的 ，存在 ，使 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 ，
当 时， ，则 ，则 ，
函数 在 的值域记为 ，
对任意的 ，存在 ，使 ，则 ，
①当 时， ，则 ，则 ；
②当 时，因为 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时，因为 ，则 ，即 ，
所以， ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .故选：B.
6．已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：由图可知，当 或 时，两图象相交，若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨
论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .故选：B
二、多选题
7．已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数对 的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】画出 的图象如图所示：
由图可知： ， ，
根据选项可知：当 的定义域为 ，值域为 时，
的可能值为 ， ， .故选：ABC.
三、填空题
8．已知函数 在闭区间 上的值域为 ，则 的最大值为________.【解析】
画出函数 的图像可知,要使其在闭区间 上的值域为 ,
由于有且仅有 ,所以 ,
而 ,所以有 , 或 ,
又∵ , 的最大值为正值时, ,∴ ,
所以 ,当 取最小值时,, 有最大值.又∵ ,
∴ 的最大值为 ；
9．若函数 的定义域和值域均为 ，则 的值为__________.
【解析】因为 ，对称轴为 ，开口向上，
所以函数在 上单调递增，又因为定义域和值域均为 ，
所以 ，即 ，解得 （舍去）或 ，所以 .
10．已知 ，x，y满足 ，且 ，则t的取值范围是_________．
【解析】∵ ，解得 ，∴ ，
又∵ ，则 ，
对于 ，可知二次函数开口向上，对称轴 ，
故当 时，取到最小值 ；当 时，取到最大值 ；故 ，即t的取值范围是 .
11．已知函数 ，若函数 的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【解析】当 时，由于 为 上的增函数，其值域为 ；
当 时， 为顶点在 开口向上的抛物线，对称轴 .
i.若 ，则二次函数的最小值为 .
要使 的值域为R，只需： ，解得： .所以 ；
ii.若 ，则二次函数在 上单调递增，所以最小值为 .
要使 的值域为R，只需： ，解得： .所以 ；
综上所述：实数t的取值范围是 .
12．已知函数 的值域为 ，则常数 ______．
【解析】因为 ，所以 ， ，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 是方程 的两个根，所以 ， ，
解得 或 ，所以 7或 .
四、解答题
13．设函数 ，若存在实数 ， ，使 在 上的值域为 .
(1)求实数 的范围；
(2)求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题设， 为增函数且定义域为 ，∴ ；（2）要使 在 上的值域为 ， ，
所以 ，∴ 与 在 上有两个交点，
即 在 上有两个根且 恒成立，即 ，
∴对于 ，
有 ，可得 ，所以 ，
∴综上，实数 的取值范围为 .
14．已知函数 且 .
(1)当 ，求函数 的单调区间；
(2)若函数 的定义域为 ，求 的取值范围；
(3)若函数 的值域为 ，求 的值.
【解析】（1）当 时， ，由 ，可得 ，或 ，
所以 的定义域为 ，
令 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 在 单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
即函数 的减区间为 ，增区间为 ；（2）若函数 的定义域为 ，则 恒成立，
所以 ，即 ，又 且 ， 或 ；
（3）令 ，则 ，又 ，
因为函数 的值域为 ，则 ，所以 的值域为 ，
所以 ，即 ，所以 或 (舍去)，即 的值为2.
