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专题15：三角函数与解三角形大题综合归类（解析版）
目录
一、热点题型归纳
【题型一】三角函数求解析式：“识图”..................................................................................................1
【题型二】图像与性质1：单调性与值域.................................................................................................5
【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型.................................................................................8
【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数...............................................................................11
【题型五】图像与性质4：零点与对称轴...............................................................................................15
【题型六】解三角形1：面积与周长常规...............................................................................................20
【题型七】解三角形2：计算角度与函数值...........................................................................................22
【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）.......................................................................................24
【题型九】解三角形4：周长最值...........................................................................................................27
【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型...................................................................... 29
【题型十一】解三角形6：最值范围综合...............................................................................................32
二、真题再现..............................................................................................................错误！未定义书签。
三、模拟检测..............................................................................................................错误！未定义书签。
【题型一】三角函数求解析式：“识图”
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）函数
( )
sin(π
),
R
f x
A
x
x
（其中
π
0,0
2
A
）部分图象如图所示，
1
( ,
)
3
P
A 是该图
象的最高点，M，N 是图象与x 轴的交点．
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(1)求
( )
f x 的最小正周期及的值；
(2)若
π
4
PMN
PNM
，求A 的值．
【答案】(1)2；
π
6
；(2)
7
1
2
A
.
【分析】（1）利用
( )
f x 的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出作答.
（2）由（1）求出点M，N 的坐标，结合图形求出
PMN
和
PNM
的正切，再利用和角公式计算作答.
(1)
函数
( )
sin(π
)
f x
A
x
的最小正周期
2π
2
π
T
，
因
1
( ,
)
3
P
A 是函数
( )
f x 图象的最高点，则1
π
π
2 π
,
Z
3
2
k
k
，而0
2
，有
0
k
，
π
6
，
所以函数
( )
f x 的最小正周期为2，
π
6
.
(2)
由（1）知，
π
( )
sin(π
)
6
f x
A
x
，由
π
π
0
6
x
得
1
6
x
，即点
1
(
,0)
6
M
，由
π
π
2π
6
x
得
11
6
x =
，即点
11
(
,0)
6
N
，
于是得tan
2
1
1
(
)
3
6
A
PMN
A
，
2
tan
11
1
3
6
3
A
PNM
A
，而
π
4
PMN
PNM
，
则
2
2
tan
tan
3
tan(
)
1
2
1 tan
tan
1 2
3
A
A
PMN
PNM
PMN
PNM
PMN
PNM
A
A
，又
0
A
，解得
7
1
2
A
，
所以
7
1
2
A
.
【提分秘籍】
基本规律
1.注意正余弦“第一零点”和“第二零点”的区别和联系。
正弦“第一零点”：
2
x
k
；正弦“第二零点”：
2
x
k
余弦“第一零点”：
2
2
x
k
；余弦“第二零点”：
2
2
x
k
2.对称轴在最大值最小值处的区别和联系
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
sin
0,
0,0
2
f
x
A
x
A
的部分图象如图所示.
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(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将
f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 （纵坐标不变），得到函数
y
g x
的图象，求函数
3
g x
的解的
集合.
【答案】(1)
2sin
3
f
x
x
(2)[
,
],
6
k
k
k
Z
【分析】（1）由函数
f x 图象，得到
2
A 和
2
T
，得到
2sin
f x
x
，结合
f x 图象过点7
, 2
6
，得到
7
sin(
)
1
6
，求得
3
，即可求得
f x 的解折式；
（2）根据三角函数的图象变换，得到
2sin 2
3
g x
x
，根据
3
g x
，得到不等式
3
sin 2
3
2
x
，进而求得
不等式的解集.
(1)
解：由函数
f x 图象，可得
2
A ，3
7
3
4
6
3
2
T
，所以
2
T
，
因为
0
，可得
2
1
T
，所以
2sin
f x
x
，
又因为
f x 图象过点7
, 2
6
，可得
7
2sin(
)
2
6
，即
7
sin(
)
1
6
，
所以7
3
2
,
6
2
k
k
Z
，解得
2
,
3
k
k
Z
，
又由0
2
，所以
3
，所以函数
f x 的解折式为
2sin
3
f
x
x
.
(2)
解：将
f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 ，得到
2sin 2
3
g x
x
，
由
3
g x
，可得
3
sin 2
3
2
x
，解得
2
2
2
2
3
3
3
k
x
k
，
所以
,
6
k
x
k
k
Z
，
即不等式
3
g x
的解集为[
,
],
6
k
k
k
Z
.
2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数
π
sin
0,
2
f
x
x
的部分图象如图所示：
(1)求
f x ；
(2)若
2
2
10
f
，且
0,π
，求cos2的值．
【答案】(1)
π
sin 2
4
f
x
x
(2)
7
25
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【分析】（1）由图象可求得函数的周期，可得
2
，根据图象过的点3π
(
,0)
8
，求得
π
4
，即得答案；
（2）由
2
2
10
f
求得
1
sin
cos
5
，继而求得
7
cos
sin
5
，再结合三角函数的倍角公式即可求得答案.
(1)由图知：1
4
4
T
，∴
2π
π
T
，∴
2
，∴
sin 2
f x
x
，
由图象得
3π
3π
2
(2
1)π,
Z,
(2
1)π
,
Z
8
4
k
k
k
k
，又∵
π
2
，∴
π
4
，
∴
π
sin 2
4
f
x
x
;
(2)∵
π
2
sin
2
4
10
f
，∴
2
10
2
2
1
sin
cos
,sin
cos
2
2
5
,
故
2
1
24
(sin
cos )
,2sin cos
0
25
25
，∵
0,π
，∴
π ,π
2
，cos
sin
0
，
故
2
24
49
7
(cos
sin
)
1
,cos
sin
25
25
5
，
∴
2
2
1
7
7
cos2
cos
sin
(cos
sin
)(cos
sin
)
(
)
5
5
25
．
3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数
sin
,
0,
0,
2
f
x
A
x
x
R A
部分图象如图所示.
(1)求
f x 的最小正周期及解析式；
(2)将函数
y
f x
的图象向右平移3
个单位长度得到函数
y
g x
的图象，求函数
g x 在区间0, 2
上的最大值和最
小值.
【答案】(1)最小正周期为T
，
( )
sin(2
)
6
f x
x
；
(2)最大值为1 和最小值为1
．
【分析】（1）结合五点法求出最小正周期，由最大值最小值求得A ，由周期求得，由点的坐标求得，得解析式；
（2）由图象平移写出( )
g x 的表达式，然后由三角函数性质求得最值．
(1)
由图象可知
1
2
5
1, 4
3
12
4
A
T
，所以最小正周期为
2
,
2
T
T
所以
( )
sin(2
)
f x
x
，将2
(
, 1)
3
代入可得4
3
2
,
3
2
6
k
，
所以
( )
sin(2
)
6
f x
x
(2)
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1
( )
sin 2
sin 2
cos2
3
6
2
g x
x
x
x
因为
0, 2
x
，所以
2
0,
x
，
当2
0
x
，即
0
x
，
min
( )
1
g x
；
当2x
，即
2
x
，
max
( )
1
g x
．
【题型二】图像与性质1：单调性与值域
【典例分析】
（2022·浙江·高三开学考试）已知函数
2
1
cos
3sin
cos
2
f x
x
x
x
.
(1)求函数
( )
f x 的单调递增区间；
(2)求
( )
f x 在区间［0，2
］上的最值.
【答案】(1)
,
3
6
k
k
（kZ）(2)最大值为1，最小值为-
1
2 .
【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调
性，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.
（1）
( )
f x =1 cos2
3
1
3
1
sin2
sin2
cos2
sin 2
2
2
2
2
2
6
x
x
x
x
x
.
因为y＝sinx 的单调递增区间为2
,2
2
2
k
k
（kZ），
令2
2
,2
6
2
2
x
k
k
（kZ），得
,
3
6
x
k
k
（kZ）.
所以
( )
f x 的单调递增区间为
,
3
6
k
k
（kZ）.
（2）
因为x∈［0，2
］，所以2x＋
7
,
6
6
6
.
当2x＋6
= 2
，即x＝6
时，
( )
f x 最大值为1，
当2x＋6
= 7
6
，即x＝2
时，
( )
f x 最小值为-
1
2 .
【提分秘籍】
基本规律
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
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单调
性
[－π
2＋2kπ，π
2＋2kπ](k∈Z)上递
增；
[π
2＋2kπ，3π
2 ＋2kπ](k∈Z)上递减
[ －π ＋2kπ ，
2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－π
2＋kπ，π
2＋
kπ)
(k∈Z)上递增
【变式演练】
1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数
2
( )
sin
2 3 sin
cos
sin
sin
4
4
f x
x
x
x
x
x
.
(1)求
( )
f x 的最小正周期;
(2)若
[0, ]
x
，求出
( )
f x 的单调递减区间.
【答案】(1)(2)
5
,
3
6
【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数为
sin(
)
y
A
x
的形式, 再利用周期公式求函数的最小正周期,
(2)根据
0,
x
,令
2
6
t
x
，则可求出t 的范围,从而得出
f x 的单调递减区间.
（1）
2
( )
sin
2 3 sin
cos
sin
sin
4
4
f x
x
x
x
x
x
1
cos 2
2
2
3 sin 2
(sin
cos )
(sin
cos )
2
2
2
x
x
x
x
x
x
2
2
1 cos2
1
3sin 2
cos
sin
2
2
x
x
x
x
1 cos2
1
3sin 2
cos2
2
2
x
x
x
1
3sin 2
cos2
2
x
x
1
2sin 2
6
2
x
.
( )
f x
的最小正周期为2
2
.
（2）
[0, ],
x
令
2
6
t
x
，则
11
,
6
6
t
，
又函数
1
2sin
2
y
t
在
3
,
2
2
t
上单调递减，即
3
2
,
6
2
2
x
时，
( )
f x 的单调递减，
当
[0, ]
x
时，
( )
f x 的单调减区间为
5
,
3
6
.
2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数
sin 2
cos 2
2sin
cos .
3
6
f
x
x
x
x
x
(1)求函数
f x 的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数
y
f x
的图象向左平移12
个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2 倍，得到函
数
y
g x
的图象，求
y
g x
在[0，2π]上的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为
12
2
k
x
，
Z
k
(2)
2
5
0,
,
,2
3
3
【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得
2cos 2
6
f
x
x
，再根据周期的公式与余弦函数
的对称轴公式求解即可；
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（2）根据三角函数图形变换的性质可得
2cos
3
g x
x
，再根据余弦函数的单调区间求解即可.
（1）
1
3
3
1
sin2
cos2
cos2
sin2
sin2
2
2
2
2
f
x
x
x
x
x
x
，
3
1
3cos2
sin2
2
cos2
sin2
2
2
f
x
x
x
x
x
2 cos2 cos
sin2 sin
2cos 2
6
6
6
x
x
x
，
所以函数
f x 的最小正周期为，
令2
6
x
k
，
Z
k
，得函数
f x 的对称轴方程为
12
2
k
x
，
Z.
k
（2）
将函数
y
f x
的图象向左平移12
个单位后所得图象的解析式为
2cos 2
2cos 2
12
6
3
y
x
x
，
所以
1
2cos 2
2cos
2
3
3
g x
x
x
，
令2
2
3
k
x
k
-
-
，
所以
2
2
2
,
Z
3
3
k
x
k
k
- -
.又
0,2
x
，
所以
y
g x
在
0,2上的单调递减区间为
2
5
0,
,
,2
3
3
.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数
2
sin
cos
cos
0
4
f
x
x
x
x
的最小正周期为．
(1)求
f x 图象的对称轴方程；
(2)将
f x 的图象向左平移6
个单位长度后，得到函数
g x 的图象，求函数
g x 在0, 2
上的值域．
【答案】(1)
,
4
2
k
x
k
Z ；(2)
3
1 1
,
2
2 2
【分析】（1）先由诱导公式及倍角公式得
1
( )
sin 2
2
f x
x
，再由周期求得
1
，由正弦函数的对称性求对称轴方程
即可；
（2）先由图象平移求出
g x ，再求出
4
2
,
3
3
3
x
，即可求出
g x 在0, 2
上的值域．
(1)
2
2
sin
cos
cos
sin
cos
cos
4
4
f
x
x
x
x
x
x
x
1 cos 2
1
1
2
sin 2
sin 2
2
2
2
x
x
x
，
则2
2
，解得
1
，则
1
( )
sin 2
2
f x
x
，令2
,
2
x
k
k
Z ，解得
,
4
2
k
x
k
Z ，
故
f x 图象的对称轴方程为
,
4
2
k
x
k
Z .
(2)
1
sin 2
3
2
g
x
x
，
0, 2
x
，则
4
2
,
3
3
3
x
，
3
sin 2
,1
3
2
x
，则
g x 在0, 2
上的值域为
3
1 1
,
2
2 2
.
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【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）在①
6
sin
3
，②
2
tan
2 tan
4
0
这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，
并解答.
已知角a 是第一象限角，且___________.
(1)求tan 的值；
(2)求
3
2 cos(2
)
cos(
)cos(
3 )
2
的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) tan
2
(2) 5
3
【分析】（1）选①：因为
6
sin
3
，求得
3
cos
3
，结合角是第一象限角，得到
3
cos
3
，进而求得tan 的
值.
选②：化简得到(tan
2)(tan
2 2)
0
，结合角是第一象限角，进而得到tan 的值.
（2）化简得到
2
3
2 2 tan
1
2 cos(2
)
cos(
)cos(
3 )
2
tan
1
，结合tan
2
，代入即可求解.
(1)
解：选①：因为
6
sin
3
，所以
2
2
1
cos
1 sin
3
，所以
3
cos
3
，
因为角是第一象限角，所以
3
cos
3
，则
sin
tan
2
cos
.
选②：因为
2
tan
2 tan
4
0
，所以(tan
2)(tan
2 2)
0
，
解得tan
2
或tan
2 2
，
因为角是第一象限角，所以tan
2
.
(2)
解：由
3
2 cos(2
)
cos(
)cos(
3 )
2
2
2
2 sin 2
cos
2 2 sin
cos
cos
2
2
2
2
2 2 sin
cos
cos
2 2 tan
1
sin
cos
tan
1
因为tan
2
，所以
2
2
2 2 tan
1
2 2
2
1
5
tan
1
3
( 2)
1
，
即
3
5
2 cos(2
)
cos(
)cos(
3 )
2
3
.
【变式演练】
1.（2022·北京·二模）已知函数
2
( )
cos
3sin
cos
(
0,
)
R
f x
x
x
x
m
m
．再从条件①、条件②、条件③这三个
条件中选择能确定函数
( )
f x 的解析式的两个作为已知．
(1)求
( )
f x 的解析式及最小值；
(2)若函数
( )
f x 在区间
0,
(
0)
t t
上有且仅有1 个零点，求t 的取值范围．
条件①：函数
( )
f x 的最小正周期为；
条件②：函数
( )
f x 的图象经过点
1
0, 2
；
条件③：函数
( )
f x 的最大值为3
2 ．
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注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】(1)选择①②：
π
( )
sin(2
)
6
f x
x
，( )
f x 的最小值为1
；选择①③：
π
1
( )
sin(2
)
6
2
f x
x
，
( )
f x 的最小值为
1
2
；
(2)选择①②：t 的取值范围是5π 11π
,
12
12
；选择①③：t 的取值范围是π 5π
,
2
6
.
【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简
f x ，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选
择②③，m 的取值有两个，舍去；
（2）根据零点即是函数图像与x 轴的交点横坐标，令
0
f
x
求出横坐标，即可判断t 的取值范围.
(1)由题可知，
2
( )
cos
3sin
cos
f x
x
x
x
m
3
1
1
sin2
cos2
2
2
2
x
x
m
π
1
sin(2
)
6
2
x
m
．
选择①②：因为
2π
π
2
T
，所以
1
．又因为
1
(0)
1
2
f
m
，所以
1
2
m
．
所以
π
( )
sin(2
)
6
f x
x
．当
π
π
2
2 π
6
2
x
k
，k
Z
，即
π
π
3
x
k
，k
Z
时，
( )
1
f x .
所以函数
( )
f x 的最小值为1
．
选择①③：
因为
2π
π
2
T
，所以
1
．又因为函数
( )
f x 的最大值为
3
3
2
2
m
，所以
0
m
．所以
π
1
( )
sin(2
)
6
2
f x
x
．
当
π
π
2
2 π
6
2
x
k
，k
Z
，即
π
π
3
x
k
，k
Z
时，
π
sin(2
)
1
6
x
，
所以函数
( )
f x 的最小值为
1
1
1
2
2
- +
= -
．
选择②③：
因为
1
(0)
1
2
f
m
，所以
1
2
m
，因为函数
( )
f x 的最大值为
3
3
2
2
m
，所以
0
m
m
的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去.
(2)
选择①②：令
π
sin(2
)
0
6
x
，则
π
2
π
6
x
k
，k
Z
，所以
π
π
2
12
k
x
，k
Z
．
当
1,2
k
时，函数
( )
f x 的零点为5π 11π
,
12
12 ，由于函数
( )
f x 在区间[0, ]t 上有且仅有1 个零点，
所以5π
11π
12
12
t
．所以t 的取值范围是5π 11π
,
12
12
．
选择①③：
令
π
1
sin(2
)
0
6
2
x
，则
π
7
2
2 π+
π
6
6
x
k
，k
Z
，或
π
11
2
2 π+
π
6
6
x
k
，k
Z
，
所以
π
π+ 2
x
k
，k
Z
，或
5
π+
π
6
x
k
，k
Z
．当
0
k
时，函数
( )
f x 的零点分别为π 5π
,
2
6 ，
由于函数
( )
f x 在区间[0, ]t 上有且仅有1 个零点，
所以
π
5π
2
6
t
．所以t 的取值范围是
π 5π
,
2
6
．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
sin
cos
0,
0
f x
a
x
x a
＞
＞
．从下列四个条件中选择两个作为已知，使
函数
f x 存在且唯一确定．
条件①：
π
1
4
f
；
条件②：
f x 为偶函数；
条件③：
f x 的最大值为1；
条件④：
f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求
f x 的解析式；
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(2)设
2
2cos
1
g x
f x
x
，求函数
g x 在
0,π 上的单调递增区间．
【答案】(1)选择①④或③④均可得到
sin 2
f
x
x
(2)单调递增区间有7π ,π
8
和
3π
0, 8
；
【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分别选择①③，①④，③④三种情况
讨论，分别根据正弦函数的性质求出,a ，即可求出函数的解析式；
（2）由（1）可得
2
sin 2
2cos
1
g x
x
x
，再利用二倍角及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求解即可
(1)因为
sin
cos
0,
0
f x
a
x
x a
，所以
1
sin 2
2
f x
a
x
，
显然当
0
a
时
f x 为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即
1
sin 2
2
f x
a
x
最大值为1，所以1
1
2 a ，解得
2
a
，所以
sin 2
f x
x
，又
π
1
4
f
，
所以
π
π
sin 2
1
4
4
f
，即π
π
2 π
2
2
k
，
Z
k
，
解得
1 4k
，
Z
k
，故
f x 不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即
f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ，所以2π
π
2
，解得
1
，
所以
1
sin 2
2
f
x
a
x
，又
1
sin 2
2
π
π
1
4
4
f
a
，所以1
1
2 a ，解得
2
a
，所以
sin 2
f
x
x
；
若选择③④，即
f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ，所以2π
π
2
，解得
1
，所以
1
sin 2
2
f
x
a
x
，
又
f x 的最大值为1，所以1
1
2 a ，解得
2
a
，所以
sin 2
f
x
x
；
(2)由（1）可得
2
2
2cos
1
sin 2
2cos
1
sin 2
cos2
g x
f x
x
x
x
x
x
2
2
π
2
sin 2
cos 2
2 sin 2
2
2
4
x
x
x
令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
4
2
k
x
k
，
Z
k
，
解得
π
3π
π
π
8
8
k
x
k
，
Z
k
，所以函数的单调递增区间为
π
3π
π
, π
8
8
k
k
，
Z
k
，
又
0,π
x
，所以
g x 在
0,π 上的单调递增区间有7π ,π
8
和
3π
0, 8
；
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
2
sin cos
3cos
f
x
a
x
x
x x
R ，若__________．
条件①：
0
a
，且
f x 在xR 时的最大值为
3
1
2
；
条件②：
3
6
2
f
．
请写出你选择的条件，并求函数
f x 在区间
,
4 3
上的最大值和最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为
3
1
2
．
【分析】(1)根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式可得
2
3
3
( )
sin 2
4
2
a
f x
x
(其中
3
tan
a
)，选条件
①或②都算出
1
a ，结合正弦函数的单调性即可求出结果.
【详解】
2
sin cos
3cos
f
x
a
x
x
x
1
cos2
sin2
3
2
2
a
x
x
3
3
sin2
cos2
2
2
2
a
x
x
2
3
3
sin 2
4
2
a
x
，其中
3
tan
a
，
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若选①，
2
3
3
3
1
4
2
2
a
，解得
1
a ，得
3
，所以
3
sin 2
3
2
f x
x
，
由
,
4 3
x
，得
5
2
,
3
6
3
x
，当2
3
2
x
时，
min
3
1
( )
2
f x
，当2
3
3
x
时，
max
(
0
)
f x
；
若选②，
1
3
3
3
3
1
6
2
2
4
2
f
a
a
，得
3
，所以
3
sin 2
3
2
f x
x
，
由
,
4 3
x
，得
5
2
,
3
6
3
x
，当2
3
2
x
时，
min
3
1
( )
2
f x
，
当2
3
3
x
时，
max
(
0
)
f x
.
【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
π
2sin(
)
3
f x
x
．
(1)若不等式
3
f x
m
对任意
π π
[
,
]
6 3
x
恒成立，求整数m 的最大值；
(2)若函数
π
(
)
2
g x
f
x
，将函数
g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍（纵坐标不变），再向右平移12
个单
位，得到函数
y
h x
的图象，若关于x 的方程
1
0
2 h x
k
在
π 5π
[
,
]
12 12
x
上有2 个不同实数解，求实数k 的取值范
围．
【答案】(1)4；(2) 1
1
2
k
.
【分析】（1）求出函数
( )
f x 在
π π
[
,
]
6 3
上的最大、最小值，再利用恒成立的不等式求解作答.
（2）根据给定变换求出函数( )
h x ，再探讨( )
h x 在
π 5π
[
,
]
12 12
上的性质，结合图象求解作答.
(1)
当
π π
[
,
]
6 3
x
时，
π
π 2π
[
,
]
3
6
3
x
，则当
π
π
3
6
x
，即
π
6
x
时，
min
( )
1
f x
，
当
π
π
3
2
x
，即
π
6
x
时，
max
( )
2
f x
，
3
( )
3
( )
3
f x
m
f x
m
f x
，于是得
max
[ ( )
3]
1
f x
，
min
[ ( )
3]
4
f x
，
依题意，任意
π π
[
,
]
6 3
x
，
( )
3
( )
3
f x
m
f x
，因此有1
4
m
，
所以整数m 的最大值是4.
(2)
依题意，
π
π
π
( )
2sin(
)
2sin(
)
2
3
6
g x
x
x
，则
π
π
( )
2sin[2(
)
]
2sin 2
12
6
h x
x
x
，
当
π 5π
[
,
]
12 12
x
时，
π 5π
2
[
,
]
6
6
x
，当
π
π
2
6
2
x
，即
π
π
12
4
x
时，
函数
1
sin 2
2
y
h x
x
在
π
π
[
,
]
12 4
上单调递增，函数值从
1
2
递增到1，
当π
5π
2
2
6
x
，即π
5π
4
12
x
时，函数
1
sin 2
2
y
h x
x
在π 5π
[
,
]
4 12 上单调递减，函数值从1 递减到
1
2 ，如图，
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方程
1
0
2 h x
k
在
π 5π
[
,
]
12 12
x
上有2 个不同实数解，等价于函数
sin 2
y
x
在
π 5π
[
,
]
12 12
上的图象与直线y
k
有两个
公共点，
观察图象知，当1
1
2
k
时，函数
sin 2
y
x
在
π 5π
[
,
]
12 12
上的图象与直线y
k
有两个公共点，
所以实数k 的取值范围是
1
1
2
k
.
【提分秘籍】
基本规律
利用二倍角和降幂公式等进
1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆开
2. “重组”：系数次幂一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”
行恒等变形
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量
2
sin 2
, 2
6
m
x
，
2
1,sin
n
x
，
f
x
m n
，其中
0, 2
x
．
(1)求函数
f x 的单调增区间；
(2)将函数
f x 的图象所有的点向右平移12
个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的
1
2 （纵坐标不变），再向
下平移1 个单位得到
g x 的图象，若
g x
m
在
5
,
8 24
x
上恰有2 个解，求m 的取值范围．
【答案】(1)
,
3
2
(2) 1 ,1
2
【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；
（2）根据三角函数变换规则得到
g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出4
6
x
的取值范围，再根据余弦函数的性质
及图象计算可得；
(1)
解：因为
2
sin 2
, 2
6
m
x
，
2
1,sin
n
x
且
f
x
m n
，所以
2
2
sin 2
2sin
6
f
x
m n
x
x
，
3
1
2
sin 2
cos 2
1
cos 2
2
2
x
x
x
1
3
cos2
sin 2
1
cos 2
1
2
2
3
x
x
x
，
即
cos 2
1
3
f x
x
，令2
2
2
3
k
x
k
，k
Z
，解得
2
3
6
k
x
k
，k
Z
，
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又因为
0, 2
x
，所以函数
f x 的单调增区间为：
,
3
2
．
(2)解：因为
cos 2
1
3
f x
x
，
所以将函数
f x 的图象所有的点向右平移12
个单位得到
cos 2
1
cos 2
1
12
12
3
6
f
x
x
x
，
将所得图象上各点横坐标缩短为原来的1
2 （纵坐标不变）再向下平移1个单位得到
cos 4
6
g x
x
，
又因为
5
,
8 24
x
，所以
4
,
6
3
t
x
，令
4
0
3
6
x
，解得
8
24
x
，
令0
4
6
x
，解得
5
24
24
x
，即函数
g x 在
,
8
24
上单调递增，在
5
,
24 24
上单调递减，且
1
cos
8
3
2
g
，作出
cos
3
y
t
t
≤≤
图像可得：
所以m 的取值范围1 ,1
2
．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
( )
sin(
)
0,
0,0
2
f x
A
x
A
的部分图象如图所示.
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)先将函数
( )
f x 的图象向右平移3
个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，得到( )
g x
的图象.
（i）若
0
m
，当
[0,
]
x
m
时，( )
g x 的值域为[
3,2]
，求实数m 的取值范围；
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（ii）若不等式
2( )
(2
1) ( )
1
0
g
x
t
g x
t
对任意的
,
3 2
x
恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)
( )
2sin(2
)
3
f x
x
(2)
5
5
,
6
3
m
;
1 ,
3
【分析】(1)由图象的最小值求得A ，函数的最小正周期求得，再求得，即可求出函数的解析式；
(2) （i）利用三角函数的平移和伸缩变换，先求出( )
2sin
3
g x
x
，再由
[0,
]
x
m
，求出
3
x
的范围，即可得出( )
g x
的值域为[
3,2]
，m 的取值范围；
（ii）利用恒成立将不等式转化为
2
(2
1)
1
0
n
t
n
t
对任意的
0,1
n
恒成立，设
2
(2
1)
1,
0,1
n
t
n
t
n
h n
，
对其对称轴进行讨论即可得出答案.
(1)
根据函数
( )
sin(
)
0,
0,0
2
f x
A
x
A
的部分图象可得：
2
A ，
3
3 2
7
3
2
4
4
12
6
4
T
，又因为
7
3
2 12
2
，所以
3
，所以
( )
2sin(2
)
3
f x
x
.
(2)
由（1）知，
( )
2sin(2
)
3
f x
x
，先将函数
( )
f x 的图象向右平移3
个单位长度，可得：
2sin(2
)
3
y
x
，再将所得图
象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，得到( )
2sin
3
g x
x
.
（i）
[0,
]
x
m
，
[
,
]
3
3
3
x
m
，
3
2sin
2
3
3
2
，所以
4
,
3
2
3
m
，所以
5
5
,
6
3
m
.
（ii）不等式
2( )
(2
1) ( )
1
0
g
x
t
g x
t
对任意的
,
3 2
x
恒成立，令
2sin
,
2sin
,
,
0,
,
3 2
6
0,1
3
3
3
n
g x
x
x
x
x
，所以
0,1
n
，所以上式：不等式
2
(2
1)
1
0
n
t
n
t
对任意的
0,1
n
恒成立，令
2
(2
1)
1,
0,1
n
t
n
t
n
h n
，对称轴为
1
2
n
t
，
①
1
1
0
2
2
t
t
，
max
1
1
2
1
1
0
h n
h
t
t
，则
1
3
t
，所以1
0
3
t
.
②
1
1
0
2
2
t
t
，
max
0
1
0
h n
h
t
，则
1
t ，所以
0
t
.
故实数t 的取值范围为：
1 ,
3
.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数
2sin
cos
3 cos 2
f
x
x
x
x
．
(1)求
f x 的最小正周期；
(2)求
f x 的单调递减区间；
(3)若函数
g x
f x
k
在
π
0, 4
上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）
【答案】(1)(2)
7
,
12
12
k
k
，k
Z
．(3)
3,2
【分析】（1）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）由已知可转化为y
k
与
( )
y
f x
的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解．
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(1)解：因为
2sin
cos
3 cos 2
f
x
x
x
x
1
3
sin 2
3 cos 2
2( sin 2
cos 2 )
2sin(2
)
2
2
3
x
x
x
x
x
，
即
2sin 2
3
f
x
x
所以
( )
f x 的最小正周期
2
2
T
．
(2)解：令
3
2
2
2
2
3
2
k
x
k
，k
Z
，解得
7
12
12
k
x
k
，k
Z
，
所以
( )
f x 的单调递减区间为
7
,
12
12
k
k
，k
Z
．
(3)解：由
[0,
]
4
x
，可得
5
2
,
3
3
6
x
，
而函数
( )
f x 在0,12
上单调递增，所以
( )
3,2
f x
，在
,
12 4
上单调递减，
( )
1,2
f x
，
所以若函数
( )
( )
g x
f x
k 在0, 4
上有两个不同的零点，即y
k
与
( )
y
f x
有两个交点，
所以
3,2
k
．
【题型五】图像与性质4：零点与对称轴
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知函数
( )
4cos
cos
1(
0)
3
f x
x
x
的部分图像如图所示，若
2
8
8
AB BC
，
B，C 分别为最高点与最低点．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)若函数
( )
y
f x
m
在
13
0, 12
，上有且仅有三个不同的零点
1
x ，
2
x ，
3x ，（
1
2
3
x
x
x
），求实数m 的取值范围，并
求出
1
2
3
cos (
2
)
x
x
x
的值．
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【答案】(1)
( )
2sin 2
6
f x
x
(2)
1, 3
m
，
1
2
【分析】（1）化简函数为
2sin 2
6
f
x
x
，设函数
( )
f x 的周期为T，得到
,2
4
T
AB
，
, 4
2
T
BC
，再根据
2
8
8
AB BC
求解；
（2）将问题转化为曲线
( )
y
f x
与y
m
在
13
0, 12
上有且仅有三个不同的交点，设
2
6
t
x
，由
2sin
y
t
与y
m
求
解；再由1
2
t
t
，2
3
3
t
t
，得到1
2
3
2
4
t
t
t
求解.
(1)
解：
( )
2cos
3sin
cos
1
f x
x
x
x
2
2 3sin
cos
2cos
1
x
x
x
，
3sin 2
cos2
x
x
2sin 2
6
x
，
设函数
( )
f x 的周期为T，则
,2
4
T
AB
，
, 4
2
T
BC
，则
2
2
8
8
8
8
T
AB BC
，
所以T
．故
2
2
T
，故
1
，所以
( )
2sin 2
6
f x
x
．
(2)由题意，函数
( )
y
f x
m
在
13
0, 12
上有且仅有三个不同的零点，
1
x ，
2
x ，
3x ，
即曲线
( )
y
f x
与y
m
在
13
0, 12
上有且仅有三个不同的交点．
设
2
6
t
x
，当
13
0, 12
x
时，
7
,
6
3
t
．则
2sin
y
t
，
7
,
6
3
t
，
则
1, 3
m
，1
2
t
t
，2
3
3
t
t
，
所以1
2
3
2
4
t
t
t
，即
1
2
3
2
2 2
2
4
6
6
6
x
x
x
，
即
1
2
3
5
2
3
x
x
x
，所以
1
2
3
5
1
cos(
2
)
cos 3
2
x
x
x
．
【提分秘籍】
基本规律
重视三角函数画图在解题中的作用：
1.五点画图法；2.换元画图法
【变式演练】
1.
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
( )
sin(
)
0,
0,|
|
2
f x
A
x
B A
的部分图象如图所示．
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(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)将函数
( )
y
f x
的图象上所有的点向右平移12
个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标
不变），得到函数
( )
y
g x
的图象．当
13
0, 6
x
时，方程( )
0
g x
a
恰有三个不相等的实数根
1
2
3
1
2
3
,
,
x x x
x
x
x
，
求实数a 的取值范围和
1
2
3
2
x
x
x
的值．
【答案】(1)
( )
2sin 2
3
3
f x
x
(2) 4 3+ 3
，
，
1
2
3
10
2
3
x
x
x
【分析】(1) 根据图示，即可确定A 和B 的值，再由周期确定，最后将点
,5
12
带入
f x ；即可求出答案.
(2) 先根据题意写出
y
g x
，再根据x 的取值范围求出
6
x
的取值范围.即可根据
sin
y
x
的对称性求出
1
2
x
x
与
2
3
x
x
的值.即可求出答案.
(1)解：由图示得：
5 1
5+1
2,
3
2
2
A
B
，又
7
1
2
12
12
2
T
，所以T
，所以
2
2
T
，所以
( )
2sin(2
)
3
f x
x
，
又因为
( )
f x 过点
,5
12
，所以5
2sin 2
3
12
，即
π
sin
φ
1
6 +
= ，
所以
2
,
6
2
k
k
Z
，解得
2
,
3
k
k
Z
，又|
|
2
，所以
3
，所以
( )
2sin 2
3
3
f x
x
；
(2)解：由已知得
( )
2sin
3
6
g x
x
，
当
13
0, 6
x
时，
7
,
6
6
3
x
，令
7
,
6
6
3
t
x
，则2sin
3
2sin
3
6
x
t
，
令( )
2sin
3
h t
t
，则
2sin
3
4
6
6
h
，
2sin
3
5
2
2
h
，
3
3
2sin
3
1
2
2
h
，
7
7
2sin
3
3+ 3
3
3
h
，
所以
4 3+ 3
a
，
，因为( )
0
h t
a
有三个不同的实数根
1
2
3
1
2
3
, ,
t t t
t
t
t
，则1
2
3
1
2
,
2
2
t
t
t
t
，
所以1
2
3
2
4
t
t
t
，即
1
2
3
2
4
6
6
6
x
x
x
，所以
1
2
3
10
2
3
x
x
x
．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
( )
sin(
)
0,
0,|
|
2
f x
A
x
B A
的部分图象如图所示．
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(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)将函数
( )
y
f x
的图象上所有的点向右平移12
个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标
不变），得到函数
( )
y
g x
的图象，若方程( )
0
g x
m
在
7
0, 3
上有三个不相等的实数根
1
2
3
1
2
3
,
,
x x x
x
x
x
，求m
的取值范围及
1
2
3
tan
2
x
x
x
的值．
【答案】(1)
1
( )
sin 2
1
2
3
f x
x
(2)
5 3
,
4 2
m
，
3
【分析】(1) 根据图示，即可确定A 和B 的值，再由周期确定，最后将点
3
,
12 2
带入
f x ；即可求出答案.
(2) 先根据题意写出
y
g x
，再根据x 的取值范围求出2
3
x
的取值范围.即可根据
sin
y
x
的对称性求出
1
2
x
x
与
2
3
x
x
的值.即可求出答案.
(1)
由图示得：
3
1
1
1
1
2
2
,
1
2
2
2
2
A
B
，
又
7
1
2
12
12
2
T
，所以T
，所以
2
2
T
，所以
1
( )
sin(2
) 1
2
f x
x
，
又因为
( )
f x 过点
3
,
12 2
，所以3
1 sin 2
1
2
2
12
，即
π
sin
φ
1
6 +
= ，
所以
2
,
6
2
k
k
Z
，解得
2
,
3
k
k
Z
，又|
|
2
，所以
3
，
所以
1
( )
sin 2
1
2
3
f x
x
；
(2)
由已知得
1
( )
sin
1
2
6
g x
x
，当
7
0, 3
x
时，
5
,
6
6
2
x
，令
5
,
6
6
2
t
x
，则
1
1
sin
1
sin
1
2
6
2
x
t
，
令
1
( )
sin
1
2
h t
t
，则函数( )
h t 的图象如下图所示，且
1
5
sin
1
6
2
6
4
h
，
3
1
3
1
sin
1
2
2
2
2
h
，
5
1
5
3
sin
1
2
2
2
2
h
，
5 3
,
4 2
m
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由图象得( )
0
h t
m
有三个不同的实数根
1
2
3
1
2
3
, ,
t t t
t
t
t
，则1
2
3
1
2
,
2
2
t
t
t
t
，
所以1
2
3
2
4
t
t
t
，即
1
2
3
2
4
6
6
6
x
x
x
，
所以
1
2
3
10
2
3
x
x
x
，所以
1
2
3
10
2
tan
2
tan
tan 4
3
3
3
x
x
x
，
故
1
2
3
tan
2
3
x
x
x
．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知数
2
( )
3sin
2sin
1(
0)
6
2
12
x
f x
x
的相邻两对称轴间的距离为2
.
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)将函数
( )
f x 的图象向右平移6
个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的
1
2 （纵坐标不变），得到函数
( )
y
g x
的
图象，当
,
12 6
x
时，求函数( )
g x 的值域；
(3)对于第（2）问中的函数( )
g x ，记方程
4
( )
3
g x
在
4
,
6
3
x
上的根从小到大依次为
1
2
,
,
n
x x
x
，若
m
1
2
3
1
2
2
2
n
n
x
x
x
x
x
，试求n与m 的值.
【答案】(1)
( )
2sin 2
f x
x
(2)[ 2, 3]
(3)
20
5,
3
n
m
【分析】（1）先整理化简得
( )
2sin
f x
x
，利用周期求得
2
，即可得到
( )
2sin 2
f x
x
；
（2）利用图像变换得到( )
sin(
)
2
4
3
g x
x
，用换元法求出函数( )
g x 的值域；
（3）由方程
4
( )
3
g x
，得到
2
sin(4
)
3
3
x
，借助于正弦函数
sin
y
x
的图象，求出n与m 的值.
（1）
由题意，函数
2 1
( )
3 sin(
)
2sin
(
)
1
6
2
6
f x
x
x
3sin(
)
cos(
)
2sin(
)
2sin
6
6
6
6
x
x
x
x
因为函数
( )
f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2
，所以T
，可得
2
.
故
( )
2sin 2
f x
x
（2）
将函数
( )
f x 的图象向右平移6
个单位长度，可得
2sin(2
)
3
y
x
的图象.
再把橫坐标缩小为原来的
1
2 ，得到函数
( )
2sin(4
)
3
y
g x
x
的图象.
当
,
12 6
x
时，
2
4
,
3
3
3
x
，
当4
3
2
x
时，函数( )
g x 取得最小值，最小值为2
，
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当4
3
3
x
时，函数( )
g x 取得最大值，最大值为
3 ，故函数( )
g x 的值域
2, 3
.
（3）由方程
4
( )
3
g x
，即
4
2sin(4
)
3
3
x
，即
2
sin(4
)
3
3
x
，因为
4
,
6
3
x
，可得4
,5
3
3
x
，
设
4
3
x
，其中
,5
3
，即
2
sin
3
，结合正弦函数
sin
y
x
的图象，
可得方程
2
sin
3
在区间
,5
3
有5 个解，即
5
n
，
其中
1
2
2
3
3
4
4
5
3 ,
5 ,
7 ,
9
，
即
1
2
2
3
3
4
4
5
4
4
3 ,4
4
5 ,4
4
7 ,4
4
9
3
3
3
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
解得
1
2
2
3
3
4
4
5
11
17
23
29
,
,
,
12
12
12
12
x
x
x
x
x
x
x
x
所以m
1
2
1
2
3
4
5
2
3
3
4
4
5
2
2
3
2
20
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 综上，
20
5
3
n
m
，
【题型六】解三角形1：面积与周长常规
【典例分析】
（2022·安徽·高三开学考试）在ABC
中，点
,
M N 分别在线段
,
BC BA 上，且
,
BM
CM
ACN
BCN
，
3
13,
,
2
2
AB
AM
AC
．
(1)求BM 的长;(2)求
BCN
△
的面积．
【答案】(1)
5
2
BM
(2)15
7 ．
【分析】（1）根据cos
cos
AMB
AMC
，结合余弦定理即可得到答案.
（2）根据AMC
为直角三角形，求得其面积，从而得到ABC
的面积，再由三角形面积公式可得
2
5
ACN
BCN
S
S
,即可求得
BCN
△
的面积.
（1）由题意得，cos
cos
AMB
AMC
，
在
,
AMB
AMC
△
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
0
2
2
AM
BM
AB
AM
MC
AC
AM BM
AM MC
∵
3
13,
,
2,
2
AB
AM
AC
BM
CM
，∴
2
2
9
9
13
4
0
4
4
BM
BM
，
即
2
25
4
BM
，则
5
2
BM
．
（2）由（1）知，
2
2
2,
AM
AC
CM
AMC
为直角三角形，
∴
1
3
3
2
2
2
2
AMC
S
△
，∴
2
3
ABC
AMC
S
S
△
△
．
∵
ACN
BCN
，∴
1
sin
2
2
1
5
sin
2
ACN
BCN
AC
CN
ACN
S
AC
S
BC
BC
CN
BCN
△
△
，
21 / 46
学科网（北京）股份有限公司
∴
5
15
7
7
BCN
ABC
S
S
△
△
，即
BCN
△
的面积为15
7 ．
【提分秘籍】
基本规律
三角形面积，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S△ABC＝1
2absin C＝1
2bcsin A＝1
2acsin B＝abc
4R
②S△ABC＝1
2(a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)
【变式演练】
1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC
中，角A，B，C 的对边分别为, , ,sin 2
sin
a b c
C
C ．
(1)求
C
；
(2)若
1
b ，且ABC
的面积为
3 ，求ABC
的周长．
【答案】(1) 3
(2)5
13
【分析】（1）利用二倍角正弦公式求出cosC ，即可得解；
（2）由面积公式求出a ，再由余弦定理求出c，即可得解.
（1）
解：因为sin 2
sin
C
C
，所以2sin
cos
sin
C
C
C
，
又sin
0
C
，所以
1
cos
2
C
，所以
0,
C
，所以
3
C
；
（2）解：因为ABC
的面积为1
sin
3
2 ab
C
，又
1
b ，所以
4
a
，
根据余弦定理
2
2
2
1
2
cos
16
1
2
4 1
13
2
c
a
b
ab
C
，
所以
13
c
，所以
1
4
13
5
13
ABC
C
.
2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC
的三个内角
,
,
A B C 所对的边分别为a，b，c，
tan
tan
3 tan
tan
1
B
C
B
C
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
1
a ，2
( 3 1)
0
c
b
，求ABC
的面积.
【答案】(1)
π
6
A
(2)
3
1
4
【分析】（1）利用正切的两角和公式计算可得答案；
（2）利用余弦定理和已知可得b
c
、，再用三角形面积公式计算可得答案.
（1）由tan
tan
3(tan
tan
)
1
B
C
B
C
，得tan
tan
3
1
tan
tan
3
B
C
B
C
，所以
3
tan(
)
3
B
C
，
又在ABC
，
π
0
6
A
，则
3
tan
tan
3
A
B
C
，所以
π
6
A
；
（2）因为2
( 3 1)
0
c
b
，所以
3
1
2
c
b
①，又
30 ,
1
A
a
，
则根据余弦定理，
2
2
3
1
2
2
b
c
bc
②，由①②得
6
2
2,
2
b
c
，
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1
1
6
2
1
3
1
sin
2
2
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
.
3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC
的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，3 sin
cos
0
a
B
b
A
.
(1)求A；
(2)若
3
c
，
3
2
a
，求ABC
的面积.
【答案】(1)
6
A
(2) 3 3
8
【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A；
（2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形的面积公式可求得结果.
（1）因为3 sin
cos
0
a
B
b
A
所以由正弦定理得3sin
sin
sin
cos
A
B
B
A
，因为
0,
B
，所以sin
0
B
，
所以3sin
cos
A
A
，即
3
tan
3
A
，又因为
0,
A
，所以
6
A
.
（2）由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，得
2
9
3
0
4
b
b
，
解得
3
2
b
.所以ABC
的面积
1
3 3
sin
2
8
S
bc
A
.
【题型七】解三角形2：计算角度与函数值
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）在ABC
中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c.已知
1
6,
2 ,cos
4
a
b
c
A
.
(1)求c的值；
(2)求sin B 的值；
(3)求sin(2
)
A
B
的值.
【答案】(1)
1
c (2)sin
10
4
B
(3)
10
sin(2
)
8
A
B
【分析】（1）根据余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
以及
2
b
c
解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出
2
b
，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出sin 2 ,cos 2
A
A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
（1）
因为
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，即
2
2
1
6
2
b
c
bc
，而
2
b
c
，代入得
2
2
2
6
4c
c
c
，解得：
1
c ．
（2）
由（1）可求出
2
b
，而0
π
A
，所以
2
15
sin
1 cos
4
A
A
，又sin
sin
a
b
A
B
，所以
15
2
sin
10
4
sin
4
6
b
A
B
a
．
（3）
因为
1
cos
4
A
，所以π
π
2
A
，故
π
0
2
B
，又
2
15
sin
1 cos
4
A
A
，所以
1
15
15
sin 2
2sin
cos
2
4
4
8
A
A
A
，
2
1
7
cos2
2cos
1
2
1
16
8
A
A
，而sin
10
4
B
，所以
2
6
cos
1 sin
4
B
B
，
故
15
6
7
10
10
sin(2
)
sin 2
cos
cos 2
sin
8
4
8
4
8
A
B
A
B
A
B
．
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【提分秘籍】
基本规律
选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有, ,
a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A
B
C
.
【变式演练】
1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
2
sin
2
sin
2 sin
a
b
A
b
a
B
c
C
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
13
c
，
4
a
b
，求ABC
的面积.
(3)若cos
7
2 7
A
，求
sin 2A C
的值.
【答案】(1) 3
(2)
3
4
(3) 3 3
14
【分析】（1）运用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解；
（2）先算出ab，再利用三角形面积公式即可；
（3）先算出sin A ，再运用两角差和倍角公式即可求解.
(1)
依题意，运用正弦定理得：
2
2
2
2
a
a
b
b
b
a
c
，化简得
2
2
2
a
b
c
ab
…①，
由余弦定理得：
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
，
因为C 是三角形内角，
3
C
；
(2)由于
2
2
2
4,
16,
2
16
a
b
a
b
a
b
ab
，
由①得
2
13
3
16,
1
ab
ab
，
1
1
3
3
sin
1
2
2
2
4
ABC
S
ab
C
△
；
(3)
2
2 7
2 7
21
cos
,
0,
,
sin
1
7
7
7
A
A
A
，
2
sin 2
sin 2 cos
cos2 sin
2sin
cos
cos
(2cos
1)sin
A
C
A
C
A
C
A
A
C
A
C
21
2 7
1
4
3
3 3
2
2
1
7
7
2
7
2
14
；
综上：
3
C
，
3
4
ABC
S
!
，
3 3
sin 2
14
A
C
.
2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC
的内角
,
,
A B C 所对的对边分别为, ,
a b c ，周长为
2
1
，且
sin
sin
2 sin
A
B
C
．
(1)求c的值；
(2)若ABC
的面积为1 sin
6
C ，求角C 的大小．
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【答案】(1)1(2)
60
C
【分析】（1）利用正弦定理角化边，解方程即可
（2）利用面积求出ab ，再利用余弦定理即可
（1）因为三角形周长为
2
1
，所以
2
1
a
b
c
，
因为sin
sin
2 sin
A
B
C
，所以由正弦定理可得
2
a
b
c
，
所以
2
2
1
c
c
解得
1
c ．
（2）由ABC
的面积1
1
sin
sin
2
6
ab
C
C
得
1
3
ab ，由（1）
2
a
b
，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
2
1
3
cos
2
2
2
2
3
a
b
c
a
b
ab
c
C
ab
ab
又
0 ,180
C
所以
60
C
3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且ABC
的面积
2
2
2
3
4
S
a
c
b
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
2
2
a
b
c
，求sin C ．
【答案】(1)
3
B
(2)
2
6
4
【分析】（1）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理化简已知条件得到tan
3
B
，即可得到答案.
（2）首先利用正弦定理边化角公式得到sin
2 sin
2sin
A
B
C
，化简得到
5
12
C
，再求其正弦值即可.
(1)因为
2
2
2
3
4
S
a
c
b
，
所以
2
2
2
1
3
sin
2
4
ac
B
a
c
b
，
2
2
2
3
sin
3 cos
tan
3
2
a
c
b
B
B
B
ac
.
又因为0
B
，所以
3
B
.
(2)因为
2
2
a
b
c
，所以sin
2 sin
2sin
A
B
C
，
即
2
sin
2 sin
2sin
3
3
C
C
，所以
3
1
6
cos
sin
2sin
2
2
2
C
C
C
，
2
3sin
cos
2
sin
6
2
C
C
C
.
因为
2
0
3
C
，
6
6
2
C
，所以
6
4
C
，即
5
12
C
.
5
1
2
3
2
2
6
sin
sin
sin
12
6
4
2
2
2
2
4
C
.
【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）
【典例分析】
（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC
的内角
,
,
A B C 所对边分别为, ,
a b c ，且
2
2
2
sin
sin
sin
2sin sin
A
B
C
B
C
.
(1)求A ；
(2)若
3
a
，求ABC
面积的最大值.
【答案】(1) 4
(2) (
)
3
2 1
4
+
【分析】（1）将已知条件由正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解；
（2）结合（1）由基本不等式及三角形的面积公式即可求解.
（1）
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解：在ABC
中，因为
2
2
2
sin
sin
sin
2sin sin
A
B
C
B
C
，
所以由正弦定理可得
2
2
2
2
a
b
c
bc
，即
2
2
2
2
c
b
a
bc
，
所以
2
2
2
2
cos
2
2
c
b
a
A
bc
，因为0
A
，所以
4
A
；
（2）解：
3
a
时，由（1）可得
2
2
3
2
2
2
c
b
bc
bc
bc
，
所以
(
)
3
3 2
2
2
2
2
bc £
=
+
-
，当且仅当b
c
时等号成立，
所以
(
)
(
)
1
1
3
2
3
sin
2
2
2
1
2
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
=
+
+
，所以ABC
面积的最大值为(
)
3
2 1
4
+
.
【提分秘籍】
基本规律
解三角形求最值，主要是两个思路：
1.利用余弦定理，借助均值不等式来求。
2.利用正弦定理，边角互化来求。化角时，要注意角的取值范围限制
【变式演练】
1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知, ,
a b c 分别为ABC
的内角
,
,
A B C 所对的边，且
sin
sin
sin
sin
a
c
b
A
C
B
c
B
(1)求角A 的大小；
(2)若
2 3
a
，求ABC
面积的最大值.
【答案】(1) 3
；(2)3 3.
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；
（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，
然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．
（1）在ABC
中，由题意及正弦定理得
a
c
b
a
c
b
bc
，整理得
2
2
2
b
c
a
bc
，
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
，因为0
A
，所以
3
A
；
（2）方法一：由（1）知，
3
A
，又
2 3
a
，所以
2
2
12
2
b
c
bc
bc
bc
bc
.
，
所以
12
bc-
，当且仅当
2 3
b
c
时，等号成立，所以
max
1
1
3
sin
12
3 3
2
2
2
ABC
S
bc
A
；
方法二：由（1）知，
3
A
，又
2 3
a
，所以由正弦定理，知
2 3
4
sin
sin
sin
sin 3
a
b
c
A
B
C
，
所以
4sin ,
4sin
b
B c
C
，所以
1
3
sin
8sin sin
4 3sin sin
2
2
ABC
S
bc
A
B
C
B
C
，又因为
2
3
B
C
，
所以
2
3
1
4 3sin sin
4 3sin sin
4 3sin
cos
sin
3
2
2
B
C
B
B
B
B
B
3
1
cos2
2 3
sin2
2
2
B
B
2 3sin 2
3
6
B
，
因为
2
3
B
C
，所以
2
7
0
,
2
3
6
6
6
B
B
，
所以当2
6
2
B
，即
3
B
时，ABC
的面积取得最大值，最大值为3 3.
2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c．已知ABC
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的外接圆半径
2
R
，且
2 sin
tan
tan
cos
A
B
C
C
．
(1)求B 和b 的值；
(2)求ABC
面积的最大值．
【答案】(1)
4
B
，b=2；(2)1
2
【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得sin
sin
2 sin
cos
cos
cos
B
C
A
B
C
C
，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利
用正弦定理可求得b；
（2）由余弦定理得
2
2
4
2
a
c
ac
，利用基本不等式得
2(2
2)
ac
，由三角形的面积公式可求得答案.
（1）
解：因为
2 sin
tan
tan
cos
A
B
C
C
，所以sin
sin
2 sin
cos
cos
cos
B
C
A
B
C
C
，
cos
cos
sin
2 sin
s
cos
in
C
B
C
A
B
B
，即sin(
)
2 sin
cos
B
C
A
B
，
因为A
B
C
，所以
2 sin
c
sin
os
A
B
A
，
又sin
0
A
，所以
2
cos
2
B
，所以
4
B
，
又ABC
的外接圆半径
2
R
，所以由正弦定理
2
sin
b
R
B
得
2
2
2
2
2
b
；
（2）
解：由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
得
2
2
4
2
a
c
ac
，
由基本不等式得
2
2
2
2
2
4
a
c
ac
ac
ac
（当且仅当a
c
时取等号），所以
4
2(2
2)
2
2
ac
（当且仅当a
c
时取等号），
所以
1
2
2
sin
2 2
2
1
2
2
4
4
ABC
S
ac
B
ac
（当且仅当a
c
时取等号），
故ABC
面积的最大值为1
2
．
3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，设sin
cos
sin
(2
cos
)
A
B
B
A
．
(1)若
3
b
c
a
，求A ；
(2)若
2
a
，求ABC
的面积的最大值．
【答案】(1) 3
(2) 4
3
【分析】（1）结合正、余弦定理对sin
cos
sin
(2
cos
)
A
B
B
A
进行化简，再由余弦定理，即可得解；
（2）由余弦定理得出
2
5
1
cos
4
A
b
，再结合三角形面积公式和同角三角函数的平方关系，推出S关于b 的函数，从而
得解．
(1)解：
sin
cos
sin
(2
cos
)
A
B
B
A
，结合正、余弦定理，可得
2
2
2
2
2
2
(2
)
2
2
a
c
b
b
c
a
a
b
ac
bc
，
化简得，
2
c
b
，代入
3
b
c
a
，得
3
a
b
=
，
由余弦定理知，
2
2
2
2
2
2
4
3
1
cos
2
2
2
2
b
c
a
b
b
b
A
bc
b
b
，
(0, )
A
，
3
A
．
(2)解：由（1）知，
2
c
b
，
由余弦定理知，
2
2
2
2
2
2
5
4
5
1
cos
2
4
4
b
c
a
b
A
bc
b
b
，
ABC
的面积
2
2
2
2
2
2
2
4
1
5
1
9
5
1
sin
1
1
(
)
2
4
16
2
S
bc
A
b
cos A
b
b
b
b
b
4
2
2
2
9
5
9
20
16
1
(
)
16
2
16
9
9
b
b
b
，
当
2
20
9
b
时，S取得最大值，即
max
4
3
S
．
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【题型九】解三角形4：周长最值
【典例分析】
（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
A
B
.
(1)求角C 的大小；
(2)若ABC
的外接圆半径为
3 ，求ABC
周长的取值范围.
【答案】(1)
3
C
；(2)
6,9 .
【分析】（1）在ABC
中，由正弦定理边角关系得
2
2
2
a
b
c
ab
，由余弦定理求cosC ，进而可得答案.
（2）由正弦定理可得
2
2 3
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
，推出
2 3sin
3
c
C
，
2 3sin
a
A
，
2 3sin
3
b
A
，借
助辅助角公式及三角函数性质得ABC
周长的取值范围.
（1）
在ABC
中，
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
A
B
，
由正弦定理得：
2
2
2
a
b
c
ab
，
由余弦定理得：
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
，
因为C 为ABC
的内角，则0
C
，所以
3
C
.
（2）
由正弦定理得：
2
2 3
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
，
所以
3
2 3 sin
2 3
3
2
c
C
，
2 3sin
a
A
，
2 3 sin
2 3sin
2 3sin
3
b
B
C
A
A
，
所以ABC
的周长为：
2 3 sin
2 3sin
3
3
a
b
c
A
A
3
1
2 3 sin
2 3
cos
sin
3
2
2
A
A
A
3 3sin
3cos
3
A
A
3
1
6
sin
cos
3
2
2
A
A
6sin
3
6
A
，
因为
2
3
0
,
A
B
A B
，所以
2
0
3
A
，则
5
,
6
6
6
A
，
所以
1
sin
,1
6
2
A
，则
6sin
3
6,9
6
A
，所以ABC
周长的取值范围为
6,9 .
【提分秘籍】
基本规律
利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
【变式演练】
1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC
中，内角
,
,
A B C 所对边分别为, ,
a b c ，若
2
cos
cos
0
a
c
B
b
C
.
(1)求角B 的大小；
(2)若
2
b
，求a
c
的最大值.
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【答案】(1)
3
B
(2)4
【分析】（1）根据正弦定理，边角互化，再利用三角恒等变换化简求值即可.
（2）利用余弦定理得出
2
2
4
a
c
ac
，配方得
2
(
)
3
4
a
c
ac
，再利用基本不等式求最值即可.
（1）
因为
2
cos
cos
0
a
c
B
b
C
，
,
,
A B C 是三角形内角，
根据正弦定理(2sin
sin
)cos
sin
cos
0
A
C
B
B
C
，
2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin(
)
sin
A
B
B
C
C
B
B
C
A
，
又因为
,
(0, )
A B
，所以sin
0
A
，
所以
1
cos
2
B
，
3
B
.
（2）
因为
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，
2,
3
b
B
所以
2
2
4
a
c
ac
，配方可得
2
(
)
3
4
a
c
ac
又因为,
0
a c
，所以
2
(
)
4
a
c
ac
，当且仅当a
c
时等号成立.
所以
2
2
(
)
(
)
3
4
4
a
c
a
c
ac
，解得
4
a
c
.
故a
c
的最大值为4.
2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC
中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：
3
sin
cos
tan
4
A
A
A
，
条件②：
3sin
cos
1
2
3sin
cos
A
A
A
A
，条件③：2 cos
cos
cos
a
A
b
C
c
B
这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A 的大小；
(2)若
2
a
，求ABC
周长的取值范围．
【答案】(1)
3
A
(2) ABC
周长的取值范围为(2
2 3,6]
【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得
2sin
cos
sin
cos
sin
cos
A
A
B
C
C
B
，再根据诱导公式等价转化即可.
（2）由正弦定理，边化角得
4sin
2
6
a
b
c
B
，结合B 的范围求解.
（1）
选条件①：因为
3
sin
cos
tan
4
A
A
A
，所以
sin
3
sin
cos
cos
4
A
A
A
A
，即
2
3
sin
4
A
，又因为ABC
为锐角三角形，所以
0, 2
A
，所以
3
sin
2
A
，所以
3
A
.
选条件②：因为
3sin
cos
1
2
3sin
cos
A
A
A
A
，所以2( 3sin
cos )
3sin
cos
A
A
A
A
所以3sin
3cos
A
A
，又因为
(0,
)
2
A
，所以cos
0
A
，所以tan
3
A
，所以
3
A
，
选条件③：由正弦定理可得2sin
cos
sin
cos
sin
cos
A
A
B
C
C
B
即2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin(
)
sin
A
A
B
C
C
B
B
C
A，又因为sin
0
A
，所以
1
cos
2
A
，因为
0, 2
A
，所以
3
A
.
（2）
2
2
2
(sin
sin
)
sin
sin
2
sin
3
3
2
a
a
b
c
B
C
B
B
A
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4 3
3
1
4 3
3
3
sin
cos
sin
2
sin
cos
2
4sin
2
3
2
2
3
2
2
6
B
B
B
B
B
B
2π
π
0,
0,
3
2
2
C
B
B
（
），
，
π π
2
,
,
,
6 2
6
3
3
B
B
（
）
，
则
3
sin
,1
6
2
B
即
(2
2 3,6]
a
b
c
，
即ABC
周长的取值范围为(2
2 3,6]
.
3.
（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC
中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c，且tan
tan
3
3
tan
tan
B
C
B
C
．
(1)求角A ；
(2)若
4
a
，求b
c
的取值范围．
【答案】(1)
π
3
A
(2)4 3,8
【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得.
（1）
解：因为tan
tan
3
3
tan
tan
B
C
B
C
，所以tan
tan
3
3 tan
tan
B
C
B
C
，
所以tan
tan
3(tan
tan
1)
B
C
B
C
，从而tan
tan
3
1 tan
tan
B
C
B
C
，
即tan(
)
3
B
C
，
所以tan
3
A
，因为
(0,π)
A
，所以
π
3
A
．
（2）
解：因为
4
a
，
π
3
A
，由正弦定理，有
8 3
sin
sin
sin
3
b
c
a
B
C
A
所以
8 3 sin
3
b
B
，
8 3
8 3
2π
8 3
3
1
4 3
sin
sin
cos
sin
4cos
sin
3
3
3
3
2
2
3
c
C
B
B
B
B
B
，
所以
π
4 3sin
4cos
8sin
6
b
c
B
B
B
，
又因为ABC
为锐角三角形，
所以
π
0
2
2π
π
0
3
2
B
B
，即π
π
6
2
B
，所以π
π
2π
3
6
3
B
，
所以
3
π
sin
1
2
6
B
，从而b
c
的取值范围为4 3,8．
【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型
【典例分析】
（2022·四川成都·模拟预测（理））△ABC 中，角
,
,
A B C 所对边分别是, ,
a b c ，tan
tan
2
tan
tan
A
A
B
C
bc
+
=
，cos
cos
1
b
C
c
B
．
(1)求角A 及边a ；
(2)求2b
c
的最大值．
【答案】(1)
π
3
A
；
1
a (2) 2 21
3
【分析】（1）根据正弦定理及cos
cos
1
b
C
c
B
可求a ，利用同角关系以及正弦定理可求A ；
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（2）根据正弦定理把边化为角，结合辅助角公式可得最大值.
(1)
因为cos
cos
1
b
C
c
B
，由正弦定理
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
，可得2 sin
cos
2 sin
cos
1
R
B
C
R
C
B
+
= ，所以2 sin
1
R
A ，
即
1
a .
因为tan
tan
2
tan
tan
A
A
B
C
bc
+
=
，所以sin
cos
cos
2
(
)
cos
sin
sin
A
B
C
A
B
C
bc
+
=
，
通分可得sin
sin(
)
2
cos
sin
sin
A
B C
A
B
C
bc
+
×
=
，即
2
sin
2
cos
sin
sin
A
A
B
C
bc
=
，
2
2
cos
a
A bc
bc
=
×
，
所以
1
cos
2
A
，即
π
3
A
.
(2)
因为
π
3
A
，所以
2π
(0,
)
3
C
，由正弦定理可得
2 3
sin
sin
3
b
c
B
C
，
4 3
2 3
4 3
π
2 3
2
sin
sin
sin(
)
sin
3
3
3
3
3
b
c
B
C
C
C
+
=
+
=
+
+
2 3
2 21
2 21
( 3 cos
2sin
)
sin(
)
3
3
3
C
C
C
j
=
+
=
+
£
．其中
3
tan
2
且φ为锐角，
当
π
2
C
时，取到最大值
2 21
3
.
【提分秘籍】
基本规
“非对称”型，多用正弦定理来“边化角”，最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。
特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。
【变式演练】
1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC
中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且
5sin
sin
3
5cos
cos
cos2
B
C
B
C
A
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
3
a
，求2b
c
的最大值．
【答案】(1)
3
A
(2)2 7
【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于cos A的方程，结合1
cos
1
A
可求得cos A的值，
再结合角A 的取值范围可求得角A 的值；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出
2
2 7 sin
b
c
B
，结合正弦型函数的有界性可求得2b
c
的最大值.
(1)
解：由已知可得
cos2
5 cos
cos
sin
sin
cos2
5cos
A
B
C
B
C
A
B
C
2
cos2
5cos
2cos
5cos
1
3
A
A
A
A
，
即
2
2cos
5cos
2
0
A
A
，
0
A
，则1
cos
1
A
，解得
1
cos
2
A
，因此，
3
A
.
(2)
解：由正弦定理可得
2
sin
sin
sin
b
c
a
B
C
A
，
所以，
2
4sin
2sin
4sin
2sin
4sin
2sin
3
b
c
B
C
B
B
A
B
B
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4sin
sin
3cos
5sin
3cos
2 7 sin
B
B
B
B
B
B
，
其中为锐角，且
3
tan
5
，
因为
3
A
，则
2
0
3
B
，
2
3
B
，
所以，当
2
B
时，即当
2
B
时，2b
c
取得最大值2 7 .2.
2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①
2
2
2 sin
2
sin
B
c
a
C
b
c
a
b
，②
2
3
cos
cos
cos
2
4
A
C
A
C
，
③
3
tan
tan
cos
c
A
B
b
A
这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在ABC
中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边，
2 3
b
，_______．
(1)求角B﹔
(2)求2a
c
的范围．
【答案】(1)任选一条件，都有
3
B
(2)
2 3,4 3
【分析】（1）若选①由正弦定理可得2
2 cos
c
a
b
A
，再由余弦定理可得
2
2
2
c
a
b
ac
，结合余弦定理可得答案; 若
选②由余弦的二倍角公式结合余弦的差角公式可得出答案;若选③由正弦定理结合切化弦可得
3 sin
sin
sin
cos
cos
cos
C
C
B
A
A
B
，
从而得到tan
3
B
，得出答案.
(2)由正弦定理可得
4sin
,
4sin
a
A c
C
，即2
8sin
4sin
a
c
A
C
，结合
2
3
C
A
,利用正弦的差角公式和辅助角公
式化简结合角的范围可得答案.
(1)选择①：∵
2
2
2 sin
2
sin
B
c
a
C
b
c
a
b
，∴由正弦定理可得：
2
2
2
2
2
cos
c
a c
b
c
a
bc
A
，
∴可得：2
2 cos
c
a
b
A
，可得：
2
c s
2
o
c
A
a
b
，∴由余弦定理可得：
2
2
2
2
2
2
cos
c
a
b
c
a
b
bc
A
，
整理可得：
2
2
2
c
a
b
ac
，∴
2
2
2
1
cos
2
2
2
c
a
b
ac
B
ac
ac
，∵
0,
B
，可得：
3
B
选择②：，因为
2
1
cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
A
C
A
C
A
C
A
C
1
cos
1
cos
cos
sin
sin
3
2
2
4
A
C
A
C
A
C
，
所以
1
1
cos
,cos
cos
2
2
A
C
B
A
C
，又因为
0,
B
，所以
3
B
；
选择③：因为
3
tan
tan
cos
c
A
B
b
A
，由正弦定理可得
3
3 sin
cos
sin
cos
c
C
b
A
B
A
，
又
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
tan
tan
cos
cos
cos
cos
cos
cos
A
B
A
B
A
B
C
A
B
A
B
A
B
A
B
由
3
tan
tan
cos
c
A
B
b
A
，可得
3 sin
sin
sin
cos
cos
cos
C
C
B
A
A
B
，
因为sin
0
C
，所以tan
3
B
，因为0
B
，所以
3
B
．
(2)在ABC
中，由（1）及
2 3
2 3,
4
sin
sin
sin
3
2
b
a
c
b
B
A
C
，
故
4sin
,
4sin
a
A c
C
，2
8sin
4sin
8sin
2
8sin
2 3 cos
2si
4si
n
3
n
a
c
A
A
A
A
A
A
C
6sin
2 3 cos
4 3 sin
6
A
A
A
因为
2
0
3
A
，则
6
6
2
A
1
sin
1, 2 3
4 3 sin
4 3
2
6
6
A
A
﹒
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所以2a
c
的范围为
2 3,4 3
【题型十一】解三角形6：最值范围综合
【典例分析】
（2022·浙江·高三开学考试）记ABC
内角
,
,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，已知
tan
tan
2 tan
tan
tan
B
C
B
A
A
.
(1)求证：
2
2
2
2
b
c
a
；(2)求
2
ab
c 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
3 3
5,3 3
5
【分析】（1）首先化简条件中的正切等式，再将正切写成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化为边，即可证明；
（2）首先设b
c k
，利用三角不等式的恒等式c
b
a
c
b
，化简后可得k 的取值范围，再计算
2
2
2
2 1
ab
k
c
k
的
取值范围.
（1）
由
tan
tan
2 tan
tan
tan
B
C
B
A
A
得：tan
tan
2tan
tan
tan
tan
B
A
B
C
A
C
即tan
tan
tan
tan
2tan
tan
B
A
A
C
B
C
两边同时除以tan
tan
tan
A
B
C 得：
2
1
1
cos
cos
cos
sin
cos
sin
tan
tan
tan
sin
sin
sin
sin
B
C
B
C
C
B
A
B
C
B
C
B
C
即
sin
2cos
sin
sin
sin
A
A
B
C
A
所以
2
2
2
2
2
sin
cos
2sin
sin
2
2
A
a
b
c
a
A
B
C
bc
bc
因此
2
2
2
2
b
c
a
得证；
（2）
设b
c k
①，代入
2
2
2
2
b
c
a
可得
2
1
2
a
c
k
②，
由三角不等式得：c
b
a
c
b
，即
2
2
2
2
2
2
2
b
c
bc
a
b
c
bc
③，
将①②代入③得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
c k
c
c k c
c
c k
c
c k c
k
，
整理得
2
4
1
0
k
k
且
2
4
1
0
k
k
解得
2
3,2
3
k
，
因为
2
4
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
4
ab
k
k
k
c
，显然在
2
3,2
3
k
上单调递增，所以
2
2
2
2
1
1
3 3
5,3 3
5
2
2
4
ab
k
c
【变式演练】
1.
（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC
的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c，已知
3
3 cos
sin
a
c
B
b
C
．
(1)求C 的大小；
(2)若ABC
为锐角三角形且
3
c
，求
2
2
a
b
的取值范围．
【答案】(1)
3
C
(2)(5,6]
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；
（2）
2
2
2
2
4sin
4sin
3
a
b
A
A
，再利用三角函数求值域即可.
(1)
由3
3 cos
sin
a
c
B
b
C
及正弦定理可得
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sin
sin
3cos
sin
3sin
3sin(
)
B
C
B
C
A
B
C
3sin
cos
3cos
sin
B
C
B
C
，
所以sin
sin
3sin
cos
B
C
B
C
，
因为B 、
(0, )
C
，则sin
0
B
，3cos
sin
0
C
C
，则tan
3
C
，故
3
C
．
(2)
依题意，ABC
为锐角三角形且
3
c
，由正弦定理得
3
2
sin
sin
sin
3
2
a
b
c
A
B
C
，
所以
2sin
a
A
，
2sin
2sin(
)
2sin
3
b
B
A
C
A
，
所以
2
2
2
2
2
1 cos 2
1 cos2
3
4sin
4sin
4
4
3
2
2
A
A
a
b
A
A
1
3
4
2cos 2
2
2
2cos 2
2
2c
2
cos 2
sin 2
2
2
os 2
3
A
A
A
A
A
3 sin 2
c
4
2co
os 2
4
2sin 2
4
6
s 2
cos 2
3 sin 2
A
A
A
A
A
A
，
由于
2
3
A
B
，所以
0
2
2
0
3
2
A
A
，解得6
2
A
，
所以
2
3
A
，
5
2
6
6
6
A
，所以
1
sin 2
,1
6
2
A
ú
-
Î
úû
，
所以2sin 2
(1,2]
6
A
，所以2sin 2
4
(5,6]
6
A
．
所以
2
2
a
b
的取值范围是(5,6]．
2.
（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，A 为钝角，且tan
b
B
a
．
(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论；
(2)求cos
cos
cos
A
B
C
的取值范围．
【答案】(1)
π
2
A
B
，证明见解析(2)
5
1, 4
【分析】（1）由题意及正弦定理得到sin
cos
A
B
，即cos
cos
2
A
B
，结合诱导公式，即可求解；
（2）由（1）得cos
cos
cos
sin
cos
sin 2
A
B
C
B
B
B
，令
cos
sin
t
B
B
，化简得到
2
cos
cos
cos
1
A
B
C
t
t
，
结合二次函数的性质，即可求解.
（1）解：因为tan
b
B
a
，由正弦定理得sin
sin
sin
cos
B
B
A
B
，所以sin
cos
A
B
，即cos
cos
2
A
B
，
又因为2
A
，所以
0,
,
0,
2
2
2
A
B
，于是
2
A
B
，所以
2
A
B
.
（2）解：由（1）知，
2
A
B
，所以
2
0
2
C
B
，所以0
4
B
，
所以cos
cos
cos
sin
cos
sin 2
A
B
C
B
B
B
，
令
cos
sin
t
B
B
，则
2 cos
(0,1)
4
t
B
且
2
sin 2
1
B
t
，
所以
2
2
1
5
cos
cos
cos
1
2
4
A
B
C
t
t
t
，当
1
2
t
时，取得最大值，最大值为5
4 ，
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当
1
t 或0时，函数值为1，所以cos
cos
cos
A
B
C
的取值范围是
5
1, 4
．
1．（2022·天津·高考真题）在ABC
中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c.已知
1
6,
2 ,cos
4
a
b
c
A
.
(1)求c的值；
(2)求sin B 的值；
(3)求sin(2
)
A
B
的值.
【答案】(1)
1
c (2)sin
10
4
B
(3)
10
sin(2
)
8
A
B
【分析】（1）根据余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
以及
2
b
c
解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出
2
b
，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出sin 2 ,cos 2
A
A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
（1）
因为
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，即
2
2
1
6
2
b
c
bc
，而
2
b
c
，代入得
2
2
2
6
4c
c
c
，解得：
1
c ．
（2）
由（1）可求出
2
b
，而0
π
A
，所以
2
15
sin
1 cos
4
A
A
，又sin
sin
a
b
A
B
，所以
15
2
sin
10
4
sin
4
6
b
A
B
a
．
（3）
因为
1
cos
4
A
，所以π
π
2
A
，故
π
0
2
B
，又
2
15
sin
1 cos
4
A
A
，所以
1
15
15
sin 2
2sin
cos
2
4
4
8
A
A
A
，
2
1
7
cos2
2cos
1
2
1
16
8
A
A
，而sin
10
4
B
，所以
2
6
cos
1 sin
4
B
B
，
故
15
6
7
10
10
sin(2
)
sin 2
cos
cos 2
sin
8
4
8
4
8
A
B
A
B
A
B
．
2．（2022·全国·高考真题）记ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三个正三角形的
面积依次为
1
2
3
,
,
S S S ，已知
1
2
3
3
1
,sin
2
3
S
S
S
B
．
(1)求ABC
的面积；
(2)若
2
sin
sin
3
A
C
，求b．
【答案】(1)
2
8 (2) 1
2
【分析】（1）先表示出
1
2
3
,
,
S S
S ，再由
1
2
3
3
2
S
S
S
求得
2
2
2
2
a
c
b
，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面
积公式求解即可；
（2）由正弦定理得
2
2
sin
sin
sin
b
ac
B
A
C
，即可求解.
（1）由题意得
2
2
2
2
1
2
3
1
3
3
3
3
,
,
2
2
4
4
4
S
a
a
S
b
S
c
，则
2
2
2
1
2
3
3
3
3
3
4
4
4
2
S
S
S
a
b
c
，即
2
2
2
2
a
c
b
，由余弦定理得
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
，整理得
cos
1
ac
B ，则cos
0
B
，又
1
sin
3
B
，则
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2
1
2 2
cos
1
3
3
B
，
1
3 2
cos
4
ac
B
，则
1
2
sin
2
8
ABC
S
ac
B
；
（2）由正弦定理得：sin
sin
sin
b
a
c
B
A
C
，则
2
2
3 2
9
4
sin
sin
sin
sin
sin
4
2
3
b
a
c
ac
B
A
C
A
C
，则
3
sin
2
b
B
，
3
1
sin
2
2
b
B
.
3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c﹐已知
sin
sin
sin
sin
C
A
B
B
C
A
．
(1)若
2
A
B
，求C；
(2)证明：
2
2
2
2a
b
c
【答案】(1) 5π
8 ；(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，
sin
sin
C
C
A
，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
B
C
A
C
A
，再根据正弦定
理，余弦定理化简即可证出．
（1）
由
2
A
B
，
sin
sin
sin
sin
C
A
B
B
C
A
可得，
sin
sin
sin
sin
C
B
B
C
A
，而
π
0
2
B
，所以
sin
0,1
B
，即有
sin
sin
0
C
C
A
，而0
π,0
π
C
C
A
，显然C
C
A
，所以，
π
C
C
A
，而
2
A
B
，
π
A
B
C
，所
以
5π
8
C
．
（2）
由
sin
sin
sin
sin
C
A
B
B
C
A
可得，
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
B
C
A
C
A
，再由正弦定理可得，
cos
cos
cos
cos
ac
B
bc
A
bc
A
ab
C
，然后根据余弦定理可知，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
a
c
b
b
c
a
b
c
a
a
b
c
，化简得：
2
2
2
2a
b
c
，故原等式成立．
4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC
的内角
,
,
A B C 所对的对边分别为, ,
a b c ，周长为
2
1
，且sin
sin
2 sin
A
B
C
．
(1)求c的值；
(2)若ABC
的面积为1 sin
6
C ，求角C 的大小．
【答案】(1)1(2)
60
C
【分析】（1）利用正弦定理角化边，解方程即可
（2）利用面积求出ab ，再利用余弦定理即可
（1）
因为三角形周长为
2
1
，所以
2
1
a
b
c
，
因为sin
sin
2 sin
A
B
C
，所以由正弦定理可得
2
a
b
c
，
所以
2
2
1
c
c
解得
1
c ．
（2）
由ABC
的面积1
1
sin
sin
2
6
ab
C
C
得
1
3
ab ，由（1）
2
a
b
，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
2
1
3
cos
2
2
2
2
3
a
b
c
a
b
ab
c
C
ab
ab
又
0 ,180
C
所以
60
C
5．（2022·全国·高考真题）记ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知cos
sin2
1
sin
1
cos2
A
B
A
B
．
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(1)若
2
3
C
，求B；
(2)求
2
2
2
a
b
c
的最小值．
【答案】(1) π
6 ；(2) 4 2
5
．
【分析】
（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos
sin2
1
sin
1
cos2
A
B
A
B
化成
cos
sin
A
B
B
，再结合
π
0
2
B
，
即可求出；
（2）由（1）知，
π
2
C
B
，
π
2
2
A
B
，再利用正弦定理以及二倍角公式将
2
2
2
a
b
c
化成
2
2
2
4cos
5
cos
B
B
，然后
利用基本不等式即可解出．
（1）因为
2
cos
sin 2
2sin
cos
sin
1
sin
1
cos 2
2cos
cos
A
B
B
B
B
A
B
B
B
，即
1
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
2
B
A
B
A
B
A
B
C
，而
π
0
2
B
，所以
π
6
B
；
（2）由（1）知，sin
cos
0
B
C
，所以π
π
π,0
2
2
C
B
，而
π
sin
cos
sin
2
B
C
C
，所以
π
2
C
B
，即有
π
2
2
A
B
，所以
3
0,
,
,
4
2
4
B
C
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
sin
cos 2
1 cos
sin
cos
a
b
A
B
B
B
c
C
B
2
2
2
2
2
2
2cos
1
1
cos
2
4cos
5
2 8
5
4 2
5
cos
cos
B
B
B
B
B
．当且
仅当
2
2
cos
2
B
时取等号，所以
2
2
2
a
b
c
的最小值为4 2
5
．
6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数
sin(
)
0,
0,
2
y
A
x
A
在一个周期内的
图象时，列表如下：
x
6
12
3
7
12
5
6
x
0
2
3
2
2
sin(
)
A
x
0
3
0
-3
0
根据表中数据，求：
（1）实数A ，，的值；
（2）该函数在区间3
5
,
4
4
上的最大值和最小值.
【答案】（1）
3
A
，
2
，
3
；（2）最大值是3，最小值是
3
2
.
【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A ，，的值即可.
（2）首先根据（1）知：
3sin 2
3
y
x
，根据题意得到11
17
2
6
3
6
x
，从而得到函数的最值.
【详解】（1）由表可知
max
3
y
，则
3
A
，
因为
5
6
6
T
，
2
T
，所以2
，解得
2
，即
3sin(2
)
y
x
，
因为函数图象过点
,3
12
，则3
3sin 2 12
，即
π
sin
φ
1
6 +
= ，
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所以
2
6
2
k
，k Z ，解得
2
3
k
，k Z ，
又因为
2
，所以
3
.
（2）由（1）可知
3sin 2
3
y
x
.因为3
5
4
4
x
，所以11
17
2
6
3
6
x
，
因此，当
11
2
3
6
x
时，即
3
4
x
时，
3
2
y
，当
5
2
3
2
x
时，即
13
12
x
时，
3
y .
所以该函数在区间3
5
,
4
4
上的最大值是3，最小值是
3
2
.
7．（山东·高考真题）已知函数
2sin 2
y
x
，xR ，
π
0
2
，函数的部分图象如下图，求
（1）函数的最小正周期T 及的值：
（2）函数的单调递增区间．
【答案】（1）最小正周期
π
T
；
π
6
；（2）
π
π
π,
π
3
6
k
k
，k
Z
．
【分析】（1）根据解析式可直接求出最小正周期，代入点
0,1 可求出；
（2）令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
可解出单调递增区间.
【详解】（1）函数的最小正周期
2π
π
2
T
，
因为函数的图象过点
0,1 ，因此2sin
1
，即
1
sin
2
，又因为
π
0
2
，因此
π
6
．
（2）因为函数
sin
y
x
的单调递增区间是
π
π
2 π,
2 π
2
2
k
k
，k
Z
．
因此
π
π
π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
，解得
π
π
π
π
3
6
k
x
k
，
因此函数的单调递增区间是
π
π
π,
π
3
6
k
k
，k
Z
8．（2021·天津·高考真题）在ABC
，角 , ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知sin
:sin
:sin
2 :1:
2
A
B
C
，
2
b
．
（I）求a 的值；
（II）求cosC 的值；
（III）求sin 2
6
C
的值．
【答案】（I）2 2 ；（II）3
4 ；（III）3 21 1
16
【分析】（I）由正弦定理可得
: :
2:1:
2
a b c
，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为sin
:sin
:sin
2 :1:
2
A
B
C
，由正弦定理可得
: :
2:1:
2
a b c
，
2
b
，
2 2,
2
a
c
；
（II）由余弦定理可得
2
2
2
8
2
4
3
cos
2
4
2 2 2
2
a
b
c
C
ab
；
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（III）
3
cos
4
C
，
2
7
sin
1 cos
4
C
C
，
7
3
3 7
sin 2
2sin
cos
2
4
4
8
C
C
C
，
2
9
1
cos2
2cos
1
2
1
16
8
C
C
，
所以sin 2
sin 2
cos
cos 2
sin
6
6
6
C
C
C
3 7
3
1
1
3 21 1
8
2
8
2
16
.
9．（2021·全国·高考真题）在ABC
中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c，
1
b
a
，
2
c
a
.．
（1）若2sin
3sin
C
A
，求ABC
的面积；
（2）是否存在正整数a ，使得ABC
为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）15 7
4
；（2）存在，且
2
a
.
【分析】（1）由正弦定理可得出2
3
c
a
，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c的值，利用余弦定理以及同角
三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角C 为钝角，由cos
0
C
结合三角形三边关系可求得整数a 的值.
【详解】（1）因为2sin
3sin
C
A
，则
2
2
2
3
c
a
a
，则
4
a
，故
5
b
，
6
c ，
2
2
2
1
cos
2
8
a
b
c
C
ab
+
-
=
=
，所以，C 为锐角，则
2
3 7
sin
1
cos
8
C
C
，
因此，
1
1
3 7
15 7
sin
4 5
2
2
8
4
ABC
S
ab
C
△
；
（2）显然c
b
a
，若ABC
为钝角三角形，则C 为钝角，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
cos
0
2
2
1
2
1
a
a
a
a
b
c
a
a
C
ab
a a
a a
，
解得1
3
a
，则0 <
< 3
a
，
由三角形三边关系可得
1
2
a
a
a
，可得
1
a ，
a
Z
，故
2
a
.
10．（2021·北京·高考真题）在ABC
中，
2 cos
c
b
B
，
2
3
C
．
（1）求
B
Ð ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC
存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．
条件①：
2
c
b
；
条件②：ABC
的周长为4
2 3
；
条件③：ABC
的面积为3 3
4
；
【答案】（1）6
；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1）
2 cos
c
b
B
，则由正弦定理可得sin
2sin
cos
C
B
B
，
2
3
sin 2
sin 3
2
B
，
2
3
C
，
0, 3
B
，
2
2
0, 3
B
，
2
3
B
，解得
6
B
；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得
3
sin
2
3
1
sin
2
c
C
b
B
，
与
2
c
b
矛盾，故这样的ABC
不存在；
若选择②：由（1）可得
6
A
，设ABC
的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得
2 sin 6
a
b
R
R
，
2
2 sin
3
3
c
R
R
，则周长
2
3
4
2 3
a
b
c
R
R
，解得
2
R
，则
2,
2 3
a
c
，
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由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
2
2
2 3
1
2
2 3 1 cos
7
6
；
若选择③：由（1）可得
6
A
，即a
b
，则
2
1
1
3
3 3
sin
2
2
2
4
ABC
S
ab
C
a
，解得
3
a
，
则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
2
2
2
3
3
21
2
cos
3
3
2
2
3
4
2
2
a
a
b
b
.
11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中．
3
sin
cos
6
4
A
A
．
(1)求角A ；
(2)若
8
AC
，点D 是线段BC 的中点，DE
AC
于点E ，且
3 3
4
DE
，求CE 的长．
【答案】(1)
3
A
(2)13
4
【分析】（1）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简可得sin 2
1
6
A
，由此可求得A ；
（2）利用面积桥可求得AB ，利用余弦定理求得BC 后可得CD ，由勾股定理可得结果.
(1)
2
3
1
sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
sin
6
6
6
2
2
A
A
A
A
A
A
A
A
3
1
1
1
1
3
sin 2
cos2
sin 2
4
4
4
2
6
4
4
A
x
A
，
sin 2
1
6
A
；
0,
A
，
11
2
,
6
6
6
A
，
2
6
2
A
，解得：
3
A
.
(2)
D
Q
是BC 中点，
1
2
2
8
6 3
2
ABC
ADC
S
S
AC DE
DE
，
又
1
sin
2 3
6 3
2
ABC
S
AB AC
A
AB
，解得：
3
AB ；
在ABC
中，由余弦定理得：
2
2
2
2
cos
9
64
24
49
BC
AB
AC
AB AC
A
，
7
BC
，则
7
2
CD
，
2
2
49
27
13
4
16
4
CE
CD
DE
.
1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数
( )
sin
y
f x
A
x
B
（其中A ，，，B 均为常数，且
0
A
，
0
，
）的部分图像如图所示．
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(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)若
5
( )
12
6
g x
f
x
f
x
，
,0
2
x
，求( )
g x 的值域．
【答案】(1)
5
( )
2sin 2
1
6
f x
x
；(2)[2
2 2,4)
.
【分析】（1）根据函数图像可得
2
A 、
2
、
1
B ，再由五点法求，进而写出解析式；
（2）应用诱导公式、辅助角公式可得( )
2 2 sin(2
)
2
4
g x
x
，根据正弦型函数的性质求值域.
(1)
由题图
3
( 1)
2
2
A
且
2
2(
)
3
6
T
，则
2
，
3
( 1)
1
2
B
，
sin(2
)
1
3
，则
7
2
6
k
且
Z
k
，又
，故
5
6
，
综上，
5
( )
2sin 2
1
6
f x
x
.
(2)
由题设，( )
2(sin 2
cos2 )
2
2 2 sin(2
)
2
4
g x
x
x
x
，而
,0
2
x
，
所以
3
2
(
,
)
4
4
4
x
，则
2
sin(2
)
[ 1,
)
4
2
x
，
故( )
[2
2 2,4)
g x
2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量
sin , 3
a
x
，
(1,cos )
b
x
．
(1)若a
b
r
r ，求sin2x的值；
(2)令
( )
f x
a b
，把函数
( )
f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向
左平移6
个单位长度，得到函数( )
g x 的图像，求函数( )
g x 在0, 2
上的最大值和最小值．
【答案】(1)
3
2
(2)最大值
3 ，有最小值2
．
【分析】（1）由
0
a b
，求出tan
3
x
，利用二倍角公式，再进行弦化切代入即可求得；
（2）先求出
2
g( )
2sin 2
3
x
x
，利用整体代换，求出( )
g x 的最大值和最小值．
(1)
因为a
b
r
r ，所以
sin , 3
1,cos
sin
3cos
0
a b
x
x
x
x
，
所以tan
3
x
，所以
2
2 tan
3
sin 2
1
tan
2
x
x
x
．
(2)
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由题可得
( )
sin , 3
1,cos
sin
3 cos
2sin
3
f x
a b
x
x
x
x
x
则
2
g( )
2sin 2
3
x
x
当
0, 2
x
时，2
2
5
2
3
3
3
x
，当
2
2
2
3
3
x
时( )
g x 有最大值
3 ，
当
2
3
2
3
2
x
时( )
g x 有最小值2
．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
sin
0,
2
f x
x
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择两个作为一组已知条件，使
f x 的解析式唯一确定.
(1)求
f x 的解析式；
(2)设函数
6
g x
f
x
f
x
，求
g x 在区间0, 4
上的最大值.
条件①：
f x 的最小正周期为；
条件②：
0
0
f
；
条件③：
f x 图象的一条对称轴为
4
x
.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择见解析，
sin 2
f
x
x
；(2)
3 .
【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算，再计算即可；
（2）先求出2
6
x
整体的范围，再结合单调性求最大值即可.
(1)选择条件①②：
由条件①及已知得
2
T
，所以
2
.由条件②
0
0
f
，即sin
0
，解得
k
k
Z .
因为
2
，所以
0
，所以
sin 2
f
x
x
，经检验
0
符合题意.
选择条件①③：
由条件①及已知得
2
T
，所以
2
=
．由条件③得
(
)
π
π
2
π
4
2
k
k
Z ，解得
π(
)
k
k
Z ，因为|
|
2
，
所以
0
，所以
( )
f x
sin2x
．
若选择②③：由条件②
0
0
f
，即sin
0
，解得
k
k
Z ，因为
2
，所以
0
，
由条件③得
(
)
π
π
π
4
2
k
k
Z ，
∴
2(
)
4k
k
Z ，则
f x 的解析式不唯一，不合题意.
(2)由题意
sin 2
sin 2
3
g x
x
x
，化简得
sin 2
sin 2 cos
cos2 sin
3
3
g x
x
x
x
3
3
sin 2
cos2
3sin 2
2
2
6
x
x
x
因为0
4
x
，所以
2
2
6
6
3
x
，
所以当2
6
2
x
，即
6
x
时，
g x 的最大值为
3 .
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
3
,
sin 2
6
f
x
x x
a
a a
g x
x
R
．
(1)若
f x 为奇函数，求实数a 的值；
(2)若对任意
1
0,1
x
，总存在
2
0, 2
x
，使
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范围．
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【答案】(1)
0
a
(2) 1 3
,
8 4
【分析】（1）因为
f x 为奇函数，由
0
0
f
即可求出实数a 的值.
（2）若对任意
1
0,1
x
，总存在
2
0, 2
x
，使
1
2
f x
g x
成立, 设
f x 在
0,1 的值域为
,
A g x 在0, 2
上的值域
为B ，则A
B
，所以分类讨论a 的值，使得A
B
即可求出答案.
(1)
若
f x 为奇函数，因为
f x 的定义域为R ，所以
0
0
f
，则
0
a
.
(2)
2
0, 2
x
，
2
7
2
,
6
6
6
x
，所以
2
1
sin 2
,1
6
2
g x
x
，
设
f x 在
0,1 的值域为
,
A g x 在0, 2
上的值域为B ，则
1 ,1
2
A
B
．
当
0
a
时，
f x 在
0,1 单调递减，
1
1
1 ,
0
,
2
0
1
f
A
f
f
f
，
1
1
8
a
（舍）
当
0
a
时，
0
1
f
≤，即0
1
a
，
若
2
1,
3
a
f x
在
0,1 单调递减，只需
1
2
3
1
1 2
,
2
3
4
f
a
a
；
若1
2
3
3
a
，
f x 在
3
0, 2
a
单调递减，在3
1
2
a
，单调递增，所以
min
3
2
a
f
x
f
，只需
2
3
9
1
2
4
2
a
a
f
a
得
2
22
2
22
1
2
,
9
9
3
3
a
a
；
若
1
0
3
a
，
min
3
1
2
a
f x
f
f
，
，所以只需
3
1
2
2
1
1
2
a
f
f
，即
2
22
2
22 ,
1
1
9
9
,
.
8
3
1
8
a
a
a
综上，实数a 的取值范围为1 3
,
8 4
．
5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
2sin 2
1
6
f
x
x
.
(1)若
1
2
f x
f x
f x
，
1
2 min
2
x
x
，求
f x 的对称中心；
(2)已知0
5
，函数
f x 图象向右平移6
个单位得到函数
g x 的图象，
3
x
是
g x 的一个零点，若函数
g x 在
,
m n （m，n
R
且m
n
）上恰好有10 个零点，求n
m
的最小值；
【答案】(1)
,1
12
2
k
k
Z 或
,1
12
2
k
k
Z (2)13
9
【分析】（1）分析已知可得周期，然后可得，然后由正弦函数对称性可得；
（2）由平移变换和零点可得
g x 解析式，考察
g x 的零点可得n
m
的最小值.
(1)∵
2sin 2
1
6
f
x
x
的最小正周期为
2
2
T
，又∵
1
2
f x
f x
f x
，
1
2 min
2
x
x
，∴
f x 的最小正
周期是，故
2
2
T
，解得
1
，当
1
时，
2sin 2
1
6
f x
x
，由
2
6
12
2
k
x
k
k
x
k
Z
Z ，
f x 的对称中心为
,1
12
2
k
k
Z ；
当
1
时，
2sin
2
1
6
f
x
x
，由
2
6
12
2
k
x
k
k
x
k
Z
Z ，
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f x 的对称中心为
,1
12
2
k
k
Z ；
综上所述，
f x 的对称中心为
,1
12
2
k
k
Z 或
,1
12
2
k
k
Z .
(2)∵函数
f x 图象向右平移6
个单位，得到函数
g x 的图象，∴
2sin 2
1
6
3
g x
x
.
又∵
3
x
是
g x 的一个零点，
2
2sin
1
0
3
3
6
3
g
，即
1
sin
3
6
2
，
∴
7
2
3
6
6
k
或
11
2
3
6
6
k
，k Z，解得
3
6k k
Z 或
5
6k k
Z ，
由0
5
可得
3
∴
5
2sin 6
1
6
g x
x
，最小正周期
3
T
.
令
0
g x
，则
5
1
sin 6
6
2
x
即
1
5
6
2
6
6
x
k
或
2
5
5
6
2
6
6
x
k
，k Z，解得
1
3
9
k
x
或
2
3
k
x
，
1
2
,
k k Z；
若函数
g x 在
,
m n （
,
m n
m
n
R且
）上恰好有10 个零点，故4
6
T
n
m
T
要使n
m
最小，须m､n 恰好为
g x 的零点，故
min
13
4
3
9
9
n
m
.
6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且2
3 ,
2
b
c B
C
.
(1)求cosC ;
(2)若
5
a
，求c.
【答案】(1)
3
cos
4
C
(2)
4
c
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合角之间的关系可得结果；
（2）先根据余弦定理求出c的值，结合题意进行取舍，可得结果.
（1）因为2
3
b
c
，由正弦定理得2sin
3sin
B
C
又
2
B
C
，所以sin
2sin
cos ,sin
0
B
C
C
C
.故
3
cos
4
C
.
（2）由余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
将
3
5,
2
c
a
b
代入
2
2
45
9
25
4
4
c
c
c
；解得
4
5
c
c
或
当
4
c
时，
2
1
1
6,cos
,cos2
2cos
1
8
8
b
B
C
C
，满足
2
B
C
当
5
c
时，
1
7.5,cos
8
b
B
不满足
2
B
C
，故舍去.综上:
4
c
.
7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC
的内角A、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且
2 cos
2 sin
c
b
A
b
A
．
(1)证明：
sin
2sin
sin
A
B
B
A
；
(2)若
3
A
B
，求B 的值．
【答案】(1)证明见解析；(2) 8
．
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和与差的正弦公式变形可证；
（2）把
3
A
B
代入（1）中结论，利用正弦的二倍角公式变形后，结合诱导公式、正弦函数的性质可求得B ，注意B 角
范围．
(1)
因为
2 cos
2 sin
c
b
A
b
A
，由正弦定理得sin
2sin
cos
2sin
sin
C
B
A
B
A
，
所以2sin
sin
sin(
)
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
2sin
cos
B
A
A
B
B
A
A
B
A
B
B
A
sin
cos
cos
sin
A
B
A
B
sin(
)
A
B
；
(2)
若
3
A
B
，由（1）得2sin
sin3
sin 2
B
B
B
2sin
cos
B
B
，三角形中sin
0
B
，
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所以sin3
cos
sin(
)
2
B
B
B
，
所以3
( 1) (
),
2
k
B
k
B k
Z
，
又0
4
A
B
B
，0
4
B
，所以
8
B
8.（2022·全国·高三专题练习）在①2
cos
cos
c
b
B
a
A
；②sin
cos 2
A
A
；③
3
sin
3cos
b
a
C
C
，这三个条件中任选一
个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在ABC
中，角
,
,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，若__________．（填条件序号）
(1)求角A 的大小；
(2)若
3
a
，求ABC
面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
π
3
A
；(2) 9 3
4 .
【分析】（1）选①，③，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简计算即得；选②，利用二倍角公式化简求
解即得.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出bc 最大值即可求解作答.
(1)
选①，在ABC
中，由正弦定理及2
cos
cos
c
b
B
a
A
得：2sin
sin
cos
sin
cos
C
B
B
A
A
，
即2sin
cos
sin
cos
cos sin
sin(
)
sin
C
A
A
B
A
B
A
B
C
，而0
π
C
，即sin
0
C
，
因此，
1
cos
2
A
，又0
π
A
，所以
π
3
A
.
选②，2sin
cos
cos
2
2
2
A
A
A
，在ABC
中，有
π
0
2
2
A
，
1
sin 2
2
A
，解得
π
2
6
A
，所以
π
3
A
.
选③，在ABC
中，由正弦定理及
3
(sin
3cos
)
b
a
C
C
得：3sin
sin
(sin
3cos )
B
A
C
C
，
sin
sin
3sin
cos
3sin(
)
3sin
cos
3cos
sin
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
，即sin
sin
3cos
sin
A
C
A
C
，
而0
π
C
，即sin
0
C
，有tan
3
A
，又又0
π
A
，所以
π
3
A
.
(2)
由（1）知，
π
3
A
，由余弦定理得：
2
2
2
2
2
9
2
cos
2
a
b
c
bc
A
b
c
bc
bc
bc
bc
，
当且仅当b
c
时取“=”，
则
1
1
π
3
9 3
sin
sin
2
2
3
4
4
ABC
S
bc
A
bc
bc
，
所以当
3
b
c
时，ABC
面积的最大值为9 3
4 .
9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①
π
1
cos
cos
3
2
B
B
，②sin
(sin
sin )
sin
a
A c
C
A
b
B
，
③
3
tan
tan
cos
c
A
B
b
A
这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.
问题：在ABC
中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边，
2 3
b
，______________.
(1)求角B；
(2)求a
c
的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
π
3
B
；(2) 4 3
【分析】
（1）选择①：由余弦差角公式及辅助角公式得
π
1
sin
6
2
B
即可求解；选择②：由正弦定理得
2
2
2
a
c
b
ac
，
再由余弦定理即可求解；选择③：由正弦定理结合切化弦求得tan
3
B
，即可求解；
（2）由正弦定理得
4sin
a
A
，
4sin
c
C
，由正弦差角公式及辅助角公式得
4 3sin(
)
6
a
c
A
，再由正弦函数的性
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质求得最大值即可.
(1)
选择①：由
π
1
cos
cos
3
2
B
B
，得1
3
1
cos
sin
cos
2
2
2
B
B
B
，即
3
1
1
sin
cos
2
2
2
B
B
，
所以
π
1
sin
6
2
B
，因为0
π
B
，所以
π
π
5 π
6
6
6
B
，故
π
π
6
6
B
，所以
π
3
B
；
选择②：由正弦定理，sin
(sin
sin )
sin
a
A c
C
A
b
B
，可化为
2
2
2
a
c
b
ac
，
由余弦定理，得
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
，因为0
π
B
，所以
π
3
B
；
选择③：由正弦定理，得
3
3 sin
cos
sin
cos
c
c
b
A
B
A
，
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
tan
tan
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
C
A
B
A
B
A
B
A
B
C
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
，
由
3
tan
tan
cos
c
A
B
b
A
，得
3 sin
sin
sin
cos
cos
cos
C
C
B
A
A
B
，因为sin
0,cos
0
C
B
，所以tan
3
B
，因为0
π
B
，所以
π
3
B
.
(2)
在ABC
中，由（1）及
2 3
b
，
2 3
4
sin
sin
sin
3
2
b
a
c
B
A
c
，故
4sin
a
A
，
4sin
c
C
，
所以
2
4sin
4sin
4sin
4sin
π
4sin
2 3 cos
2sin
3
a
c
A
C
A
A
A
A
A
6sin A
2 3cos A
4 3sin(
)
6
A
，
当
π
3
A
时，a
c
取得最大值，最大值为4 3 .
10.（2022·山东烟台·三模）在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且
2
2 cos
cos
2 cos
b
a
A
C
c
A
.
(1)求角A ；
(2)若
4
a
，求
2
c
b
的取值范围.
【答案】(1) 3
(2)
8,4
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得；
(1)解：因为
2
2 cos
cos
2 cos
b
a
A
C
c
A
，由正弦定理得
2
sin
2sin
cos
cos
2sin
cos
B
A
A
C
C
A
，
即
sin
2cos
sin
cos
sin
cos
B
A
A
C
C
A
，即
sin
2cos
sin
B
A
A
C
，
因为
π
A
B
C
，所以
π
A
C
B
，所以sin
2cos
sin
B
A
B
.
因为
0,π
B
，所以sin
0
B
，所以
1
cos
2
A
，因为
0,π
A
，所以
3
A
.
(2)解：由正弦定理得
8 3
sin
3
a
A
，所以
8 3
8 3
2
sin
2sin
sin
2s
π
π
in
3
3
3
c
b
C
B
B
B
8 3
3
3
π
π
cos
sin
8 cos
cos
cos
sin
3
2
2
3
3
B
B
B
B
，所以
π
2
8cos
3
c
b
B
.
因为
2π
0, 3
B
，所以
,π
π
3
3
π
B
，所以
1
cos
1,
3
2
π
B
，所以
2
8,4
c
b
.
11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，点D 在边BC 上，
3
AB ，
2
AC
．
(1)若AD 是
BAC
的角平分线，求
:
BD DC ；
(2)若AD 是边BC 上的中线，且
7
2
AD
，求BC ．
【答案】(1)
:
3: 2
BD DC
(2) 19 .
【分析】（1）在
ABD
△
和
ACD
△
中，分别利用正弦定理即可得
:
BD DC 的值；
（2）利用余弦定理即可求解BC ．
（1）解：点D 在边BC 上，
3
AB ，
2
AC
．AD 是
BAC
的角平分线，在
ABD
△
和
ACD
△
中，由正弦定理可得
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3
sin
sin
BD
ADB
BAD
，
2
sin
sin
CD
ADC
DAC
；sin
sin
BAD
DAC
，
sin
sin 180
sin
ADB
ADC
ADC
，
:
3: 2
BD DC
．
（2）解：因为AD 是边BC 上的中线，设BD
CD
x
，
0
x
，
cos
cos
0
BDA
ADC
，
2
2
2
2
7
9
4
cos
2
7
x
AD
BD
AB
BDA
AD BD
x
，
2
2
2
2
7
4
4
cos
2
7
x
AD
CD
AC
ADC
AD CD
x
，
2
2
7
7
9
4
4
4
0
7
x
x
x
，化简可得
2
19
4
x =
，解得
19
2
x
或
19
2
x
（舍去），
19
2
2
19
2
BC
x
．
12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos2
10cos
1
0
A
A
，②
2 2
1
sin
cos
3
A
A
，③
2
tan 2
2
A
这三个条件中
任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分．
已知ABC
的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且______
(1)求cos A；
(2)sin
sin
B
C 的最大值．
【答案】(1) 1
3 (2) 2
3
【分析】（1）选①，利用同角三角函数的平方关系可得
2
3cos
5cos
2
0
A
A
，可求得cos A；
选②，利用
2
2
sin
cos
1
A
A
与
2 2
1
sin
cos
3
A
A
联立可求得答案；
选③，利用三角恒等变换可得
2
2
1
tan 2
cos
1
tan 2
A
A
A
，结合条件求得答案；
（2）根据正弦定理可求得
2
8
sin
sin
9
bc
B
C
a
，再利用余弦定理退出
2
4
3 bc
a
，即可求得答案.
(1)选择①：∵3cos2
10cos
1
0
A
A
，∴
2
3cos
5cos
2
0
A
A
，解得
1
cos
,cos
2
3
A
A
（舍去），
故
1
cos
3
A
；选择②：
2 2
1
sin
cos
3
A
A
，又∵
2
2
sin
cos
1
A
A
，
由于
(0,π),sin
0
A
A
，解得
2 2
sin
3
A
，
1
cos
3
A
；
选择③：由
2
tan 2
2
A
，则
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
1
2
2
2
cos
3
cos
sin
1
tan
2
2
2
A
A
A
A
A
A
A
．
(2)由（1）可知，
2 2
sin
3
A
，由正弦定理可得
3
sin
2 2
a
b
B
，
3
sin
2 2
a
c
C
，
∴
2
8
sin
sin
9
bc
B
C
a
，由余弦定理可得
2
2
2
2
3
bc
b
c
a
，
由基本不等式
2
2
2
b
c
bc
（当且仅当b
c
时取等号），可得
2
4
3 bc
a
，
∴
2
2
2
8
8
3
2
sin
sin
9
9
4
3
bc
a
B
C
a
a
，故sin
sin
B
C 的最大值为
2
3 .
