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第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·安徽合肥·期末）已知角
的终边经过点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·天津静海·阶段练习）已知
，
均为单位向量，
，则
与
的
夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）化简
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
5．（2025·广东湛江·一模）已知向量
，
，若
，则
（ ）．
A．
B．2
C．
D．5
6．（24-25 高一下·上海徐汇·开学考试）在
中，若
，则
一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
7．（24-25 高一上·河南开封·期末）已知函数
，
，则下列结论正确
的是（ ）
A．函数
的最大值为2
B．函数
的单调递增区间是
C．函数
的图象关于点
中心对称
D．直线
与函数
的图象所有公共点的横坐标之和为
8．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）如图所示，
是直角三角形，
，
，点D 是斜边
的中点，点E 是线段
靠近点A 的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高二上·云南·阶段练习）已知向量
满足
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
在
方向上的投影向量为
D．若
，则
与
的夹角为
10．（2025·黑龙江·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高一下·湖南娄底·阶段练习）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知
三角形三点求三角形面积的公式，即若
，则
，这个公式的本
质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积
，现在我
们来定义向量的叉乘运算，设
是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量
，规定这个新向量的方向与
的方向都垂直，新向量的大小满足
，现
在设
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则存在实数
使得
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（24-25 高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）
的值为 ．
13．（24-25 高一上·新疆吐鲁番·期末）若
，
，则
的值为
，
的值为 .
14．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知
是面积为
的等边三角形，且
其中实数
满足
，则
的最小值为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知
.
(1)化简函数
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，
且
，
，求
的值.
16．（24-25 高一下·上海杨浦·开学考试）如图，点
、
分别是角
、
的终边与单位圆的交点，
.
(1)若
，
，求
的值；
(2)证明角
、
在上述范围下的两角差的余弦公式，即
.
17．（24-25 高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期
(2)若
，求函数
的值域；
(3)若
且
，求
的值．
18．（24-25 高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)若
，求函数
的值域；
(3)若方程
在
上有两个不相等的实数根
，
，求
的值.
19．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数
，称向量
为函数
的
相伴特征向量，同时称函数
为向量
的相伴函数.
(1)设函数
，试求函数
的相伴特征向量的坐标；
(2)记向量
的相伴函数为
.
（I）当
且
时，求
的值；
（II）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
