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⾼三冲刺笔记-函数（⼆）
考点归纳：函数值域及其常⻅题型
⼀
、函数值掝:
1 .
定义:
在函数y = ⼼中,
与⾃变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值
, 函数
值的集合叫函数的值域
。
2 . 确定函数值域的原则
:
1
当函数
⼩扣) ⽤表格给出时
, 函数的值域是指表格
中实数
Y 的集合
。
2
当函数对内⽤图象给出时
, 函数的值城是指图象在1 轴上的投影
所覆盖的实数J 的集合
。
3
当函数¥扣⽤解析过给岀时
, 函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯⼀确定。
egiy-3xtlXEI.no]
.
9
9 E I- 2
.
1 ]
,
个
当函数⼩扣, 由实际问题给出时
, 函数值域
由问题的实际意义确定。
⼀常⻅基本函数的值域
:
⼈
ykxtb
R
⼀次函数
ykxtb.lk#o)
>
,⼀
ywibxt4ac.li
>
I-a.to )
⼆次函数y.aitbxtcccnll4ac.bg
>
(
⼀的
,
ota
州的
緺
"
R
反⽐例函数
y.in ,
指数函数
y.ci … 且以1 1 1
⼈
{yly.in
>
对数函数
⽕饿⼼, 且⽐1 )
^
R
.
1
,
三
, 求函数值城的7 种题型i
1、题型
⼀
:
⼀次函数y = kxtbckto ) 的值域
1
- 次函数
: ykxtb ( 1件0) 当其效域为
R , 其值域为R ;
⼋了
t…
…
…
… ⼀
、
2
- 次函数⼩kxtb
( 炒在区间Im n] 上的最值
,
i
fmy
-_- n_n
1
!
!
只需分别求出fmn.fm)
, 并以较它们的⼤⼩
m
n '
ㄨ
即可
。若区间形式为⼼叮或[ m , ⼗的) 等时
需结合函数图像来确定函数值域
。
2、题型⼆
:
⼆次函数fnaitbxtc.ca#o) 的值垴
⼈,
⼼
4ac.li
i
u
ii
i
- 次函数fliaxtbxtc
cato)
当其定义城为尺时
'
120
其䲅为他
⽐…
i
i
i
n
u
(a> 0)
张
"
4actiyi4ac.li
ta
u
2
⼆次函数fliaxtbxtc.ca#o) 在区间[m , 叮上的值域
'
b
7
⾸先判定其对称轴
⽕
- 2a 与区间Im , 叮的位置关系
I > 若⼀点
E Im
, 叮
, 则
当⼼
时
, fc 刬是函数最⼩值
,
"
"
i
i
i
max.fi
最⼤值为fm.fm
中较⼤者;
当aso
时
, 北建) 是函数
m
,
!!
!
! ⽅
min 备
的最⼤值,
最⼩值为flm.fm )
中较⼩者
。
⽔划
扑进
们若
⼀是∅Im , ⻔
, 只需的较fm.fm 的⼤⼩啊
注:
1
. 若给定区间不是闭区间
,
则可能
得不到最⼤
(⼩) 值。
2
. 若给定的区间形式是IG.to)
,
⼈⼝, 叮
,
( a ,
⼗的)
, (
⼀的, b) 等时,
要结合图像来确定函数值琙。
3
,
当顶点横坐标是字⺟时
,
则应根据其对应区间特别是区间两端
点的位置关系进⾏讨论。
㶤
:
天知ftp.2x) 的定义域为I-3.to)
则拟
的定义掝为
(
⼀的, ⻔
解
i
x 》
-3
)
X_X
≤
1
ifMElryi.mn
,
3
1
7ㄨ
i
i
X: 1
ditextc
4题型四
:
⼆:六分式函数5.cn bxtc
的盾域
⽅法:
⼀般情况下
, 都可以⽤判别成法求其值域,
但要注意以下三个的题
:
1
检验⼀次玠系数为雯时
, ⽅程是否有解
, 若⽆解或是函数⽆意义,
都应从值域中去掉该值;
2
间区间的边界值也要考虑达到该值时的ㄨ是否存在,
3
分⼦分⺟必须是即约分式
。
g.
,
求y.xit2x-l.XEC-1.to )
的值⼟或
,
解:
1
变形
、整理
>
yi t
(29 - 1 ) xtytko
" 求原函数在区间
(
-
1
, 切
上的值掝
, 即求使上述⽅程在c-i.to) 有
实数解时系数S 的取值范围
"
2
检验
⼆次项系数
,
当⽕0时
, 解得x-IEc-I.to)
, 即扣是原函数值域中⼀个值,
3
使⽅程有解
?
当如时
。
⼼"
'
f… < 0
或
1
1
-25 m
'
n
i
n
i
24
i
i
, 或
i
i
,
解得oyi
!
"
⼋⼀列
x: "刘
作
刘
⽴宗上
y E [ o , t]
,
刘
5、题型五:
形如yaxtb ±
cxtd
的值掝
。
⽅法: 通过换元转化成
⼀项函数在其区间上求值城问题
, 然后求值域。
G
:
求函数
以2x
-1 4
1
- x
在XEI-z.is
解:
⽗
1
- x
= t
>
x =
1 - t
2
. i
y = 2 ( 1- t
2) t 4 t
=
- 达4个七
⼗2
ㄡi
- 8 ≤X
= 1
7
- l t
-X
E
8
7
0 ≤rx
≤
9
>
o ≤
1.x ≤3
,
即
tc.IO
.
3]
⼋
i.mux
i
i
i
当⼼有ymai 4
;
当t = 3 有Jmin :
- 4
1
3
j
i
iminiyc.IN, 4]
-1:
1
6
.
分段函数的值域
:
⽅法
:
分别求出每
⼀分段上函数值域
,
然后将各个分段上的值城进⾏合并
。
eg
: y-lx-iltlxtdii.sn
,
x ≤2
,
9✗
""
j
,
nnms
i
i
解:
y :
1
3
,
* x
< I
'
-2
t
'
2ㄨt l
X ,
legiy.it
4Mt
ii.fi
,
解: yf.it
我⺾
, 加1 0
)
i
·
'
i
,
i.ge
⼼, 5]
.
1
1
x2-4xtl.no
!
!
x: -2
X: 2
7 .
复合函数的值域
,
⽅法:
先求出该函数的定义掝
, 然后在定义域的范围内由内层函数的值域
逐层向外递推,
eg
:
yi.it 3䦹⽃
解:
⽗t = 7
2
-1 3X
-1 4 2 0
7
- 1
≤X
E 4
⼈
。MUX
mi
1
min
…
当
x: )
有
tmax-jsymax.ie
1
g
7
-1
当
⾮试个有t.im?o
>
yminioiiyc.IO
, 对
,
