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专题 2.1 函数的解析式与定义域、值域【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 具体函数的定义域的求解】......................................................................................................................2
【题型2 抽象函数的定义域的求解】......................................................................................................................3
【题型3 已知函数定义域求参数】..........................................................................................................................4
【题型4 已知函数类型求解析式】..........................................................................................................................6
【题型5 已知f(g(x))求解析式】...............................................................................................................................8
【题型6 函数值域的求解】....................................................................................................................................10
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】...........................................................................................................12
1、函数的解析式与定义域、值域
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时
首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范
畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本不等式问题；数列
的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为
求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.
【知识点1 函数的定义域的求法】
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等
式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1.函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与 或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【题型1 具体函数的定义域的求解】
√3−x
【例1】（2023上·江苏南京·高一校考阶段练习）函数f (x)= 的定义域为（ ）
x−1
A．(−∞,3] B．(1,+∞) C．(1,3] D．(−∞,1)∪[3,+∞)
【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得¿，解得10，求出不等式 +1≥0的解，即可得出答案.
x
【解答过程】当a<0时，
a
由 +1≥0可得，x≥−a或x<0，在区间[−2,−1]上有意义，满足；
x
当a=0时，
函数y=1(x≠0)，显然在区间[−2,−1]上有意义，满足题意；
当a>0时，
a
由 +1≥0可得，x≤−a或x>0，
x
要使函数在区间[−2,−1]上有意义，则应有−a≥−1，
所以，a≤1，所以0− ≥−6，4>4− ≥−2，
1+x2 1+x2 1+x2
故f (x)∈[−2,4 )，即f (x)的值域为[−2,4 ).
（2）由题意，
ax2+(a−4)x−2
5 1，
g(x)=(x2+1) + =ax2+(a−4)x+
1+x2 2 2
由函数ℎ (x)=√g(x)的值域为[0,+∞)，则g(x)≤0有解且g(x)无最大值，
当a=0时，符合题意；
当a≠0时，根据二次函数的性质，可得¿，
其中 ， ， ， ，解得 或 ，
(a−4) 2 −2a≥0 a2 −8a+16−2 a≥0 a2 −10 a+16≥0 (a−2)(a−8)≥0 a≤2 a≥8
综上，故a∈[0,2]∪[8,+∞).
【变式7-3】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知函数f (x)满足f (x+1)=x2+x+1．
(1)求f (1)的值，并求出f (x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)−(2t−1)x，且g(x)在[4,5]的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t的取值范
围．
【解题思路】（1）令x=0代入求f (1)；利用构造法求f (x)的解析式；
（2） ，讨论对称轴与区间 的关系，分别求出最小值和最大值，列不等式解出t的
g(x)=x2−2tx+1 [4,5]
范围.
【解答过程】（1）因为函数f (x)满足f (x+1)=x2+x+1
所以令x=0得：f (1)=02+0+1=1，即f (1)=1.
由 得：
f (x+1)=x2+x+1=(x+1) 2−x=(x+1) 2−(x+1)+1f (x)=x2−x+1.
（2）函数 ，对称轴为x=t.
g(x)=f(x)−(2t−1)x=x2−2tx+1
当t≤4时，g(x)在[4,5]单调递增，所以g(x) =g(5)，g(x) =g(4)，所以有g(5)−g(4)<4，即
max min
5 5
(25−10t+1)−(16−8t+1)<4，解得：t> ，所以 5时，g(x)在[4,5]单调递减，所以g(x) =g(4)，g(x) =g(5)，所以有g(4)−g(5)<4，即
max min
13 13
(25−10t+1)−(16−8t+1)<4，解得：t< ，所以51时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+ −1≤3，所以10 y=−ax+1 f(x) y=(x−2) 2
论可知 或 ， 解得 .
−a2+1≥0 −a2+1≥(a−2) 2 00时，
当 时， 单调递减， ，
xf(a)=−a2+1
0 (0a时，f(x) ={ ¿
min (a−2) 2 (a≥2)
∴−a2+1≥0或−a2+1≥（a−2） 2，
解得00，
所以f (1)=2×1−5=−3，因为−3<0，
所以 .
f [f (1)]=f (−3)=(−3) 2+2×(−3)=3
（2）因为|a−1|≥0，
则 ，
f (|a−1|)=2|a−1|−5因为 ，所以 ，
f (|a−1|)<3 2|a−1|−5<3
即|a−1|<4，解得−3
