专题 2.1 函数的解析式与定义域、值域【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 具体函数的定义域的求解】......................................................................................................................2
【题型2 抽象函数的定义域的求解】......................................................................................................................3
【题型3 已知函数定义域求参数】..........................................................................................................................4
【题型4 已知函数类型求解析式】..........................................................................................................................6
【题型5 已知f(g(x))求解析式】...............................................................................................................................8
【题型6 函数值域的求解】....................................................................................................................................10
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】...........................................................................................................12
1、函数的解析式与定义域、值域
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时
首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范
畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本不等式问题；数列
的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为
求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.
【知识点1 函数的定义域的求法】
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等
式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1.函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与 或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【题型1 具体函数的定义域的求解】
√3−x
【例1】（2023上·江苏南京·高一校考阶段练习）函数f (x)= 的定义域为（ ）
x−1
A．(−∞,3] B．(1,+∞) C．(1,3] D．(−∞,1)∪[3,+∞)
【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得¿，解得1<x≤3，则定义域为(1,3]，
故选：C.
1
【变式1-1】（2023·海南·模拟预测）函数f (x)=√2− x+ 的定义域为( )
x−1
A．(−∞,1 ] B．(1,2] C．(−∞,2 ] D．(−∞,1 )∪(1,2]
【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可
【解答过程】由题知¿,解得x⩽2且x≠1
1
即函数f (x)=√2− x+ 的定义域为(−∞,1)∪(1,2]
x−1
故选：D.
2
【变式1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）函数f(x)=(x−3) 0+√3−x+ 的定义域为（ ）
x−1
A．(−∞,1)∪[2,3) B．(−1,2)∪(3,+∞)
C．(−∞,1)∪(1,3) D．(−1,2)∪(2,3]
【解题思路】根据题意可得，¿，求解即可.【解答过程】根据题意可得，¿，解得x<3且x≠1，
2
所以函数f(x)=(x−3) 0+√3−x+ 的定义域为(−∞,1)∪(1,3).
x−1
故选：C.
【变式1-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数y=f (x)的定义域为[0,4]，则函数
f(x+1)
y= +(x−2) 0 的定义域是（ ）
√x−1
A．(1,5] B．(1,2)∪(2,5) C．(1,2)∪(2,3] D．(1,3]
【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.
f(x+1)
【解答过程】因为函数y=f (x)的定义域为[0,4]，又函数y= +(x−2) 0 有意义，
√x−1
则有¿，解得1<x<2或2<x≤3，
f(x+1)
所以函数y= +(x−2) 0 的定义域是(1,2)∪(2,3].
√x−1
故选：C.
【题型2 抽象函数的定义域的求解】
【例2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若函数y=f (2x)的定义域为[−2,4]，则y=f (x)−f (−x)
的定义域为（ ）
A．[−2,2] B．[−2,4]
C．[−4,4] D．[−8,8]
【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数f (x)的定义域，对于函数y=f (x)−f (−x)，可列
出关于x的不等式组，由此可得出函数y=f (x)−f (−x)的定义域.
【解答过程】因为函数y=f (2x)的定义域为[−2,4]，则−2≤x≤4，可得−4≤2x≤8，
所以，函数y=f (x)的定义域为[−4,8]，
对于函数y=f (x)−f (−x)，则有¿，解得−4≤x≤4，
因此，函数y=f (x)−f (−x)的定义域为[−4,4].
故选：C.
f (3−4x)
【变式2-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数f (2x−1)的定义域为[−3,1]，则y=
√x−1
的定义域为（ ）
( 3] (3 5] ( 5]
A．{1} B． 1, C． , D． 1,
2 2 2 2【解题思路】根据题意先求得函数f (x)的定义域为[−7,1]，然后结合抽象函数定义域与√x−1求解即可；
f (3−4x)
【解答过程】由题意可知−3≤x≤1，所以−7≤2x−1≤1，要使函数y= 有意义，则¿解得
√x−1
5
1<x≤ .
2
故选：D.
【变式2-2】（2022上·湖南衡阳·高一校考期中）已知函数f (x+1)的定义域为[1,7]，则函数
的定义域为（ ）
ℎ(x)=f(2x)+√9−x2
A．[4,16] B．(−∞,1]∪[3,+∞) C．[1,3] D．[3,4]
【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.
【解答过程】函数f (x+1)的定义域为[1,7]，则2≤x+1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8，
函数 有意义，必有 ，解得 ，
ℎ(x)=f(2x)+√9−x2 ¿ 1≤x≤3
所以函数ℎ(x)的定义域为[1,3].
故选：C.
1
【变式2-3】（2021·高一单元测试）已知函数f(x)的定义域为(0,1)，若c∈(0, )，则函数
2
g(x)=f(x+c)+f(x−c)的定义域为（ ）
A．(−c,1−c) B．(c,1−c) C．(1−c,c) D．(c,1+c)
0<x+c<1
【解题思路】由已知函数的定义域有{ ，即可求复合函数的定义域.
0<x−c<1
0<x+c<1 −c<x<1−c 1
【解答过程】由题意得：{ ，即{ ，又c∈(0, )，
0<x−c<1 c<x<1+c 2
∴c<x<1−c．
故选：B.
【题型3 已知函数定义域求参数】
【例3】（2023上·陕西西安·高一统考期中）已知函数 的定义域为R，则实数
f (x)=√mx2+(m−3)x+1 m
的取值范围是（ ）
A．[1,9] B．(1,9)
C．(−∞,1]∪[9,+∞) D．{3}
【解题思路】利用题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【解答过程】由题意得 对任意 恒成立，
mx2+(m−3)x+1≥0 x∈R
当m=0时，不等式可化为−3x+1≥0，其解集不是R，不符合题意；
当m≠0时，由该不等式恒成立可得
¿，解之得1≤m≤9，
综上，实数m的取值范围是1≤m≤9
故选：A.
√a
【变式3-1】（2023上·高一课时练习）若函数y= +1在区间[−2,−1]上有意义，则实数a的可能取值
x
是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
a
【解题思路】分a<0，a=0，a>0，求出不等式 +1≥0的解，即可得出答案.
x
【解答过程】当a<0时，
a
由 +1≥0可得，x≥−a或x<0，在区间[−2,−1]上有意义，满足；
x
当a=0时，
函数y=1(x≠0)，显然在区间[−2,−1]上有意义，满足题意；
当a>0时，
a
由 +1≥0可得，x≤−a或x>0，
x
要使函数在区间[−2,−1]上有意义，则应有−a≥−1，
所以，a≤1，所以0<a≤1.
综上所述，a≤1.
故选：A.
【变式3-2】（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数 的定义域为R，则实
f(x)=√(a2−1)x2+(a+1)x+1
数a的取值范围为（ ）
[ 5] [5 )
A． −1, B．(−∞,−1)∪ ,+∞
3 3
[5 ) [5 )
C． ,+∞ D．(−∞,−1]∪ ,+∞
3 3
【解题思路】分a=1、a=−1、a≠±1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.1 [ 1 )
【解答过程】当a=1时，f(x)=√2x+1，则2x+1≥0，得x≥− ，即定义域为 − ,+∞ ，不符合题意；
2 2
当a=−1时，f(x)=1，定义域为R，符合题意；
当 时，由题意得关于x的不等式 恒成立，
a≠±1 (a2−1)x2+(a+1)x+1≥0
5
故¿，解得a<−1或a≥ .
3
[5 )
综上，实数a的取值范围是(−∞,−1]∪ ,+∞ .
3
故选：D.
【变式3-3】（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数 √x2−3x−m
f(x)= (m∈R)
√x−1
(1)若 ，求实数m及 ；
f(2)=2 f (f (5)+1)
(2)若m=10，求f (x)的定义域；
(3)若f (x)的定义域为(1,+∞)，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据 求出m的值，然后即可求出 的值；
f(2)=2 f (f (5)+1)
（2）根据m=10可得出f (x)的解析式，让解析式有意义即可求出f (x)的定义域；
9
（3）根据f (x)的定义域可得出y=x2−3x−m的最小值y =− −m≥0，从而得出m的范围.
min 4
【解答过程】（1） ，解得 ，所以 √x2−3x+6，则
f(2)=√−2−m=2 m=−6 f(x)=
√x−1
√25−15+6
f(5)= =2，
√4
√9−9+6
所以f (f (5)+1)=f (3)= =√3；
√3−1
（2）当 时， √x2−3x−10，要使 有意义，则 ，
m=10 f(x)= f (x) ¿
√x−1
解得x≥5，所以f (x)的定义域为[5,+∞)；
（3）因为f (x)的定义域为(1,+∞)，所以y=x2−3x−m= ( x− 3) 2 − 9 −m≥0在(1,+∞)上恒成立，
2 4
9 9
所以y=x2−3x−m的最小值y =− −m≥0，解得m≤− ，
min 4 4
( 9]
所以m的取值范围为 −∞,− .
4
【题型4 已知函数类型求解析式】
【例4】（2023上·高一课时练习）图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)=−3x2+6x B．f (x)=−2x2+4x
C．f (x)=3x2−6x D．f (x)=2x2−4x
【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，
将(0,0)代入即可.
【解答过程】设图象是以 为顶点的二次函数 （ ）．
(1,3) f (x)=a(x−1) 2+3 a≠0
因为图象过原点，所以 ， ，所以 ．
0=a+3 a=−3 f (x)=−3(x−1) 2+3=−3x2+6x
故选：A.
【变式4-1】（2023上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f [f(x)−2x]=3，则
f(5)=（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【解题思路】设f (x)=ax+b(a≠0)，根据f [f(x)−2x]=3恒成立可得a，b，然后可解.
【解答过程】设f (x)=ax+b(a≠0)，
则f [f(x)−2x]=f (ax+b−2x)=a(ax+b−2x)+b=3，
整理得 ，
(a2−2a)x+ab+b−3=0
所以¿，解¿，
所以f (x)=2x+1，所以f (5)=2×5+1=11.
故选：A.
【变式4-2】（2023上·河北石家庄·高一校考期中）已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且
f(x+1)=f(x)+x+1．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当−1≤x≤1时，求二次函数的最大值与最小值．
【解题思路】（1）设f (x)=ax2+bx+c(a≠0)，根据系数相等得到方程组，求出a,b,c的值即可；（2）根据二次函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）设f (x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由f(0)=c=0，得c=0，
所以f (x)=ax2+bx，
由f(x+1)=f(x)+x+1，
得 ，
a(x+1) 2+b(x+1)=ax2+bx+x+1
即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1，即(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1，
1
所以¿，解得a=b= ，
2
1 1
所以f (x)= x2+ x；
2 2
1 1 1
（2）函数f (x)= x2+ x的对称轴为x=− ，
2 2 2
( 1) 1
所以f (x) =f (1)=1,f (x) =f − =− .
max min 2 8
【变式4-3】（2023上·安徽·高一校联考期中）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3.
(1)求f(x)的解析式；
x
g(x)= 1 1 1
(2)若 1，求g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g( )+g( )+⋯+g( )的值.
f(x)− 2023 2022 2
2
【解题思路】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.
1
（2）所求式子为对称结构，通过验证发现g(x)+g( )=1，由此通过分组求和即可求解.
x
【解答过程】（1）设f(x)=ax+b(a≠0).
则 ，
f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=x+3
3
于是有¿，解得¿，∴ f(x)=x+ .
2
1
x 1 x 1 1
（2）由（1）知g(x)= ，则g( )= = ,x≠0，g(x)+g( )=1.
x+1 x 1 x+1 x
+1
x
1 1 1 1
∴ g(2)+g( )=g(3)+g( )=⋯=g(2023)+g( )=1，g(1)= ，
2 3 2023 21 1 1 4045
∴ g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g( )+⋯+g( )= +2022×1= .
2023 2 2 2
【题型5 已知f(g(x))求解析式】
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 1−x2 ，则 （ ）
f (1−x)= (x≠0) f (x)=
x2
1 1 4
A． −1(x≠0) B． −1(x≠1) C． −1(x≠0) D．
(x−1) 2 (x−1) 2 (x−1) 2
4
−1(x≠1)
(x−1) 2
【解题思路】利用换元法令t=1−x，运算求解即可.
【解答过程】令t=1−x，则x=1−t，且x≠0，则t≠1，
可得 1−(1−t) 2 1 ，
f (t)= = −1,(t≠1)
(1−t) 2 (t−1) 2
1
所以f (x)= −1(x≠1).
(x−1) 2
故选：B.
【变式5-1】（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）已知f ( x− 1) =x2+ 1 ，则函数f (x+1)的表达
x x2
式为（ ）
( 1) 2 1
A． f (x+1)=(x+1) 2+ (x+ 1 1) 2 B．f (x+1)= x+ x + ( x+ 1) 2
x
C．f (x+1)=x2+2x+3 D．f (x+1)=x2+2x+1
【解题思路】利用配凑法先求出函数f (x)，再整体代入即可求出函数f (x+1)的表达式.
【解答过程】因为 f ( x− 1) =x2+ 1 = ( x− 1) 2 +2
x x2 x
所以f (x)=x2+2
所以 ，即 .
f (x+1)=(x+1) 2+2 f (x+1)=x2+2x+3
故选：C.1
【变式5-2】（2023上·河南·高一校联考期中）已知函数f (x)满足f (x)= (x≠1)．
x−1
(1)求f (2−x)的解析式；
( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) (35) (37) (39)
(2)求f +f +f +⋅⋅⋅+f +f +f 的值．
20 20 20 20 20 20
【解题思路】（1）代入求解即可；
（2）利用f (x)+f (2−x)=0求解即可.
1
【解答过程】（1）f (x)= (x≠1)，
x−1
1 1
∴f (2−x)= = ，其中2−x≠1,x≠1.
2−x−1 1−x
1
故f (2−x)= (x≠1).
1−x
1 1
（2）f (x)+f (2−x)= + =0,
x−1 1−x
( 1 ) (39) ( 1 ) ( 1 )
所以f +f =f +f 2− =0，
20 20 20 20
所以
( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) (35) (37) (39) ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 3 ) ( 1 )
f +f +f +⋅⋅⋅+f +f +f =f +f +f +⋅⋅⋅+f 2− +f 2− +f 2− =0
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
【变式5-3】（2023上·安徽蚌埠·高一校考期中）求下列函数的解析式：
(1)已知f (x+2)=2x+3，求f (x)；
(2)已知 ，求 ；
f (√x+1)=x+2√x f (x)
(3)已知 是一次函数，且 ，求 ；
f (x) f (f (x))=16x−25 f (x)
(4)定义在区间(−1,1)上的函数f (x)满足2f (x)−f (−x)=x2，求f (x)的解析式．
【解题思路】（1）利用配凑法求解即可；
（1）利用配凑法或换元法求解即可；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）利用方程组法求解即可.
【解答过程】（1）因为f (x+2)=2x+3=2(x+2)−1，
所以f (x)=2x−1．（2）解法一（换元法）：令 ， ，则 ，
t=√x+1 t≥1 x=(t−1) 2
所以 ，
f (t)=(t−1) 2+2(t−1)=t2−1(t≥1)
所以f (x)=x2−1(x≥1)．
解法二（配凑法）： ，
f (√x+1)=x+2√x=(√x+1) 2 −1
因为√x+1≥1，所以f (x)=x2−1(x≥1)．
（3）设f (x)=kx+b(k≠0)，
则 ，
f (f (x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x−25
所以¿，解得¿或¿，
25
所以f (x)=4x−5或f (x)=−4x+ ．
3
（4）对任意的x∈(−1,1)有−x∈(−1,1)，
由2f (x)−f (−x)=x2，①
得 ，②
2f (−x)−f (x)=(−x) 2
联立①②解得，f (x)=x2(−1<x<1)．
【题型6 函数值域的求解】
【例6】（2023上·福建厦门·高一校考期中）已知函数 ，函数 的值域
f(x)=x2−2x−2,x∈[−2,2] f(x)
为（ ）
A．[−3,6] B．[−2,6] C．[2,10] D．[1,10]
【解题思路】根据二次函数的性质即可得到值域.
【解答过程】 ，
f(x)=x2−2x−2=(x−1) 2−3
因为 ，所以 的值域为 ，即 ，
x∈[−2,2] f (x) [f (1),f (−2)] [−3,6]
故选：A.
【变式6-1】（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）函数y=1−x+√1−2x的值域为（ ）
( 1] [1 ) (1 )
A． −∞, B．[0，+∞) C． ,+∞ D． ,+∞
2 2 2(t+1) 2
【解题思路】令√1−2x=t，(t≥0)，可得y= ，利用函数单调性求值域.
2
1−t2
【解答过程】令√1−2x=t，(t≥0)，则x= ，
2
t2−1 t2 1 (t+1) 2
所以函数y=1+ +t= +t+ = ，函数在[0,+∞)上单调递增，
2 2 2 2
1
t=0时，y有最小值 ，
2
[1 )
所以函数y=1−x+√1−2x的值域为 ,+∞ .
2
故选：C.
【变式6-2】（2023上·河南郑州·高一统考期中）下列函数中与函数y= 值域相同的是（ ）
√x2
1
A．y=x B．y= C．y=−x2 D．y=x2−2x+1
x
【解题思路】先得出函数y= 值域，再由一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行判断.
√x2
【解答过程】函数y= ，故其值域为 .
√x2=|x|≥0 [0,+∞)
对于A，函数y=x的值域为R，故A错误；
1
对于B，函数y= 的值域为¿，故B错误；
x
对于C，函数y=−x2≤0，其值域为(−∞,0]，故C错误；
对于D， ，其值域为 ，故D正确；
y=x2−2x+1=(x−1) 2 ⩾0 [0,+∞)
故选：D.
【变式6-3】（2023上·安徽芜湖·高一校考阶段练习）在实数集R中定义一种运算“∗”，具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a∗b=b∗a；
②对任意a∈R，a∗0=a；
③对任意a，b∈R，(a∗b)∗c=c∗(ab)+(a∗c)+(b∗c)−2c．
x
则函数f (x)=x∗ (x∈[−2,2])的值域是（ ）
2
[ 9 ] [9 )
A．(−∞,5) B． − ,5 C． ,+∞ D．[−5,5]
8 8
【解题思路】注意新定义的运算方式即可.x x2 3x 1( 3) 2 9
【解答过程】在③中，令c=0，则a∗b=ab+a+b，所以f (x)=x∗ = + = x+ − ．
2 2 2 2 2 8
3 9
函数f (x)在x=− 时取最小值，最小值为− ；在x=2时取最大值，最大值为5，所以函数
2 8
x [ 9 ]
f (x)=x∗ (x∈[−2,2])的值域是 − ,5 ．
2 8
故选：B．
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】
【例7】（2023上·吉林长春·高一校考阶段练习）若函数 的定义域､值
f (x)=(2a2+5a+3)x2+(a+1)x−1
域都为R,则实数a满足
3 13
A．a=−1或a=− B．− <a<−1
2 9
3 3
C．a≠−1且a≠− D．a=−
2 2
【解题思路】根据题意f(x)表示一次函数，可得出系数的特征，即可求出结论.
【解答过程】若2a2+5a+3≠0，f(x)表示二次函数，值域不为R，不合题意.
3
所以f(x)为一次函数，¿解得a=− .
2
故选:D.
【变式7-1】（2023·全国·统考一模）函数 的定义域为 ，值域为 ，则
f(x)=x2−4x−6 [0,m] [−10,−6] m
的取值范围是
A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]
【解题思路】因为函数f (x)=x2−4x−6的图象开口朝上，由 f (0)=f (4)=−6,f (2)=−10，结合二次函
数的图象和性质可得m的取值范围.
【解答过程】函数f (x)=x2−4x−6的图象是开口朝上，
且以直线x=2为对称轴的抛物线，
故f (0)=f (4)=−6,f (2)=−10，
∵函数f (x)=x2−4x−6的定义域为[0,m],值域为[−10,−6]，
所以2≤m≤4，
即m的取值范围是[2,4],
故选D.ax2+(a−4)⋅ x−2
【变式7-2】（2022上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知f (x)= ．
1+x2
(1)若a=4时，求f (x)的值域；
5
(2)函数g(x)=(x2+1)f (x)+
2
，若函数
ℎ
(x)=√g(x)的值域为[0,+∞)，求a的取值范围．
【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.
【解答过程】（1）由 ，则 4x2 −2 4(1+x2)−6 6 ，
a=4 f (x)= = =4−
1+x2 1+x2 1+x2
1 6 6
由不等式性质，则x2≥0，1+x2≥1，0< ≤1，0>− ≥−6，4>4− ≥−2，
1+x2 1+x2 1+x2
故f (x)∈[−2,4 )，即f (x)的值域为[−2,4 ).
（2）由题意，
ax2+(a−4)x−2
5 1，
g(x)=(x2+1) + =ax2+(a−4)x+
1+x2 2 2
由函数ℎ (x)=√g(x)的值域为[0,+∞)，则g(x)≤0有解且g(x)无最大值，
当a=0时，符合题意；
当a≠0时，根据二次函数的性质，可得¿，
其中 ， ， ， ，解得 或 ，
(a−4) 2 −2a≥0 a2 −8a+16−2 a≥0 a2 −10 a+16≥0 (a−2)(a−8)≥0 a≤2 a≥8
综上，故a∈[0,2]∪[8,+∞).
【变式7-3】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知函数f (x)满足f (x+1)=x2+x+1．
(1)求f (1)的值，并求出f (x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)−(2t−1)x，且g(x)在[4,5]的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t的取值范
围．
【解题思路】（1）令x=0代入求f (1)；利用构造法求f (x)的解析式；
（2） ，讨论对称轴与区间 的关系，分别求出最小值和最大值，列不等式解出t的
g(x)=x2−2tx+1 [4,5]
范围.
【解答过程】（1）因为函数f (x)满足f (x+1)=x2+x+1
所以令x=0得：f (1)=02+0+1=1，即f (1)=1.
由 得：
f (x+1)=x2+x+1=(x+1) 2−x=(x+1) 2−(x+1)+1f (x)=x2−x+1.
（2）函数 ，对称轴为x=t.
g(x)=f(x)−(2t−1)x=x2−2tx+1
当t≤4时，g(x)在[4,5]单调递增，所以g(x) =g(5)，g(x) =g(4)，所以有g(5)−g(4)<4，即
max min
5 5
(25−10t+1)−(16−8t+1)<4，解得：t> ，所以 <t≤4；
2 2
当4<t≤4.5时，g(x)在[4,t]单调递减，在[t,5]单调递增，且|5−t|≥|t−4|，所以
所以有 ，即
g(x) =g(5)=26−10t，g(x) =g(t)=−t2+1， g(5)−g(t)<4
max min
，解得： ，所以 ；
(25−10t+1)−(−t2+1)<4 3<t<7 4<t≤4.5
当4.5<t≤5时，g(x)在[4,t]单调递减，在[t,5]单调递增，且|5−t|<|t−4|，所以
所以有 ，即 ，
g(x) =g(4)=17−8t，g(x) =g(t)=−t2+1， g(4)−g(t)<4 (17−8t)−(−t2+1)<4
max min
解得：4−√2<t<4+√2，所以4<t≤4.5；
当t>5时，g(x)在[4,5]单调递减，所以g(x) =g(4)，g(x) =g(5)，所以有g(4)−g(5)<4，即
max min
13 13
(25−10t+1)−(16−8t+1)<4，解得：t< ，所以5<t< ；
2 2
5 13
综上所述： <t< .
2 2
(5 13)
即实数t的范围是 , .
2 2
1
1．（2015·山东·统考高考真题）函数y=√x+1+ 的定义域为（ ）
x
A．¿且x≠0} B．¿
C．¿且x≠0} D．¿
【解题思路】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.
【解答过程】由函数解析式有意义可得
x+1≥0且x≠0
所以函数的定义域是¿且x≠0}，故选：A.
1
2．（2022·北京·统考高考真题）函数f(x)= +√1−x的定义域是 (−∞,0)∪(0,1] ．
x
【解题思路】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
1
【解答过程】解：因为f (x)= +√1−x，所以¿，解得x≤1且x≠0，
x
故函数的定义域为(−∞,0)∪(0,1]；
故答案为：(−∞,0)∪(0,1].
3．（2021·浙江·统考高考真题）已知 ，函数 若 ，则 2 .
a∈R f(x)=¿ f [f (√6)]=3 a=
【解题思路】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.
【解答过程】 ，故 ，
f [f (√6)]=f (6−4)=f (2)=|2−3|+a=3 a=2
故答案为：2.
4．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数 则 ( (1)) 37 ；若当 时， ，
f(x)=¿ f f = x∈[a,b] 1≤f(x)≤3
2 28
则b−a的最大值是 3+√3 ．
【解题思路】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
1 (1) 2 7 7 7 4 37
【解答过程】由已知f( )=− +2= ，f( )= + −1= ，
2 2 4 4 4 7 28
[ 1 ] 37
所以 f f( ) = ，
2 28
当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3，所以−1≤x≤1，
1
当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+ −1≤3，所以1<x≤2+√3，
x
1≤f(x)≤3等价于−1≤x≤2+√3，所以[a,b]⊆[−1,2+√3]，
所以b−a的最大值为3+√3.
37
故答案为： ；3+√3.
28
5．（2022·北京·统考高考真题）设函数f(x)=¿若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 0 （答案不唯一）
；a的最大值为 1 ．
【解题思路】根据分段函数中的函数y=−ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值，根据定义域讨
a>0 y=−ax+1 f(x) y=(x−2) 2
论可知 或 ， 解得 .
−a2+1≥0 −a2+1≥(a−2) 2 0<a≤1
1 ,x<0
【解答过程】解：若a=0时，f(x)={ ，∴f(x) =0；
(x−2) 2,x≥0 min
若a<0时，当x<a时，f(x)=−ax+1单调递增，当x→−∞时，f(x)→−∞，故f(x)没有最小值，不符
合题目要求；
若a>0时，
当 时， 单调递减， ，
x<a f(x)=−ax+1 f(x)>f(a)=−a2+1
0 (0<a<2)
当x>a时，f(x) ={ ¿
min (a−2) 2 (a≥2)
∴−a2+1≥0或−a2+1≥（a−2） 2，
解得0<a≤1，
综上可得0≤a≤1；
故答案为：0（答案不唯一）；1.
6．（2020·山东·统考高考真题）已知函数f (x)=¿.
（1）求 的值；
f [f (1)]
（2）求 ，求实数 的取值范围.
f (|a−1|)<3 a
【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断 的取值范围，再代入分段函数解析式，得到 的具体不等式写法，解不等式
|a−1| f (|a−1|)<3
即可.
【解答过程】解：（1）因为1>0，
所以f (1)=2×1−5=−3，因为−3<0，
所以 .
f [f (1)]=f (−3)=(−3) 2+2×(−3)=3
（2）因为|a−1|≥0，
则 ，
f (|a−1|)=2|a−1|−5因为 ，所以 ，
f (|a−1|)<3 2|a−1|−5<3
即|a−1|<4，解得−3<a<5.
