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大题 01 数与式及方程（组）中的计算问题（10 大题型）
数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简
单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心
而丢分.
题型一： 数与式的计算问题
1．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：√12−(π−3.14) 0+|2−√3|−2sin60°；
a2−4a+4 ( 3 )
（2）计算： ÷ a+1− ．
a−1 a−1
a−2
【答案】（1）1；（2） ．
a+2
【分析】（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】解：（1）√12−(π−3.14) 0+|2−√3|−2sin60°
√3
=2√3−1+2−√3−2×
2
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=2√3−1+2−√3−√3
=1；
a2−4a+4 ( 3 )
（2） ÷ a+1−
a−1 a−1
(a−2) 2 a2−1−3
= ÷
a−1 a−1
(a−2) 2 a−1
= ×
a−1 (a+2)(a−2)
a−2
= ．
a+2
【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答
本题的关键．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：− ( − 1) −3 +tan60°+|√3−2|+(π−2024) 0 ．
2
【答案】11
【分析】本题考查实数的混合运算．根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答
案．
【详解】解：− ( − 1) −3 +tan60°+|√3−2|+(π−2024) 0
2
=8+√3+2−√3+1
=11．
3．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：42+10÷(−1)+√8+|3−√2|；
a a2−1 1
（2）计算： ⋅ + ．
a+1 a2 a
【答案】（1）9+√2；（2）1
【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算；
（2）先计算乘法，再计算加法即可．
【详解】解：（1）原式=16−10+2√2+3−√2
=9+√2；
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a (a+1)(a−1) 1
（2）原式= ⋅ +
a+1 a2 a
a−1 1
= +
a a
a−1+1
=
a
=1．
实数计算的易错点：
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3） ，
在计算中常用的锐角三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
1 √2 √3
sin α
2 2 2
√3 √2 1
cos α
2 2 2
√3
tan α 1 √3
3
1．（2025·云南·模拟预测）计算 |√10−2|− √ 1 +(−2) 2−(−√3) 0+√3−27．
16
∶
9
【答案】√10−
4
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据绝对值意义，算术平方根定义，零指数幂运算法则，立方根
定义，进行计算即可．
【详解】解：|√10−2|− √ 1 +(−2) 2−(−√3) 0+√3−27
16
1
=√10−2− +4−1−3
4
9
=√10− ．
4
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2．（2025·重庆·模拟预测）计算：
(1)(2x+ y) 2+ y(3x−y)；
(
m2
)
2m2+4m
(2) m− ÷ ．
m−2 m2−4m+4
【答案】(1)4x2+7xy
m−2
(2)−
m+2
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的化简．熟练掌握单项式乘以多项式，完全
平方公式，分式的运算法则是解题的关键．
（1）先分别计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后合并同类项即可；
（2）先通分，进行因式分解，然后进行除法运算即可．
【详解】（1）解：(2x+ y) 2+ y(3x−y)
=4x2+4xy+ y2+3xy−y2
=4x2+7xy；
(
m2
)
2m2+4m
（2）解： m− ÷
m−2 m2−4m+4
m(m−2)−m2 (m−2) 2
= ⋅
m−2 2m(m+2)
m2−2m−m2 (m−2) 2
= ⋅
m−2 2m(m+2)
2m (m−2) 2
=− ⋅
m−2 2m(m+2)
m−2
=− ．
m+2
题型二： 判断数与式计算过程的错误步骤
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a−b ( 2ab−b2 )
1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式 ÷ a− 的部分运算过程：
a a
a−b a−b 2ab−b2
解：原式= ÷a− + …………第一
a a a
步
a−b 1 a−b a
= ⋅ − ⋅ …………第二步
a a a 2ab−b2
a−b a−b
= − …………第三步
a2 2ab−b2
……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
a−b ( 2ab−b2 )
【详解】（1）解： ÷ a−
a a
a−b (a2 2ab−b2 )
= ÷ −
a a a
a−b (a2−2ab+b2 )
= ÷
a a
故第一步错误．
故答案为：一．
a−b ( 2ab−b2 )
（2）解： ÷ a−
a a
a−b (a2 2ab−b2 )
= ÷ −
a a a
a−b a2−2ab+b2
= ÷
a a
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a−b (a−b) 2
= ÷
a a
a−b a
= ×
a (a−b) 2
1
= ．
a−b
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
−22−(−1) 10+|−6|+33
2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算 时，小亮的计算过程如下：
√3tan30°−√364×(−2) −2+(−2) 0
−22−(−1) 10+|−6|+33
解：
√3tan30°−√364×(−2) −2+(−2) 0
4−(−1)−6+27
=
√3×√3−4×22+0
4+1−6+27
=
3−16
=−2
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，
并依次标注序号：
①−22=4；②(−1) 10=−1；③|−6|=−6；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
( 2 1) x2−3x
（2）先化简，再求值： − ⋅ ，其中x是方程x2−2x−3=0的根．
x−3 x x2+6x+9
√3 1 1 1
【答案】（1）④tan30°= ；⑤(-2)-2= ，⑥(-2)0=1；28；（2） ， ．
3 4 x+3 2
【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算
即可；
1
（2）先把括号内通分，接着约分得到原式= ，然后利用因式分解法解方程x2-2x-3=0得到x =3，x =-1，
x+3 1 2
则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．
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√3 1
【详解】（1）其他错误，有：④tan30°= ；⑤(-2)-2= ，⑥(-2)0=1，
3 4
正确的计算过程：
−22−(−1) 10+|−6|+33
解：
√3tan30°−√364×(−2) −2+(−2) 0
−4−1+6+27
=
√3 1
√3× −4× +1
3 4
−4−1+6+27
=
1−1+1
=28；
( 2 1) x2−3x
（2） − ⋅
x−3 x x2+6x+9
2x−x+3 x(x−3)
= ⋅
x(x−3) (x+3) 2
x+3 x(x−3)
= ⋅
x(x−3) (x+3) 2
1
= ，
x+3
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x =3，x =-1，
1 2
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
1 1
当x=-1时，原式= = ．
−1+3 2
【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三
角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．
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1．（2025·河北邯郸·一模）如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程．
解：−22−|1−√3|+(√2+π) 0+2cos30°
1
=−4−1+√3+1+2× =……
2
① ② ③ ④
(1)在①∼④的计算结果中，有错误的是_________（填序号）；为了区分(−2) 2和2−2，请直接写出(−2) 2=
_________，2−2=________；
(2)对于这道作业题，请给出正确的计算过程．
1
【答案】(1)②④；4，
4
(2)见解析
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、负整数指数幂与零指数幂、二次根式的混合运算，
熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据实数的性质化简绝对值、特殊角的余弦值出现错误；根据有理数的乘方和负整数指数幂法则计
算即可得；
（2）先计算有理数的乘方、化简绝对值、计算零指数幂、余弦，再计算二次根式的混合运算即可得．
【详解】（1）解：−22=−4，则①正确；
−|1−√3|=−(√3−1)=1−√3，则②错误；
(√2+π) 0=1，则③正确；
√3
2cos30°=2× ，则④错误；
2
1 1
(−2)
2=4，2−2= =
，
22 4
1
故答案为：②④；4， ．
4
（2）解：−22−|1−√3|+(√2+π) 0+2cos30°
√3
=−4−(√3−1)+1+2×
2
=−4−√3+1+1+√3
=−2．
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2．（2025·贵州·模拟预测）（1）化简：(3x+2) 2−(3x−1)(1+3x)；
（2）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：a(a+2b)−(a−1) 2−2a
=a2+2ab−(a2−2a+1)−2a第一步
=a2+2ab−a2−2a−1−2a第二步
=2ab−4a−1．第三步
①小丽的化简过程从第________步开始出现错误，出错的原因是________________________；
1
②请对原式进行化简，并求当a= ，b=−6时原式的值．
4
【答案】（1）12x+5
（2）①二，去括号后符号错误；②2ab−1，−4
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算．
（1）根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案；
（2）①根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案；
②先对原式化简，再代入求值即可．
【详解】（1）原式=9x2+12x+4−(9x2−1)
=9x2+12x+4−9x2+1
=12x+5．
（4）①第二步有错误，原因是去括号后符号错误，
②原式=a2+2ab−(a2−2a+1)−2a
=a2+2ab−a2+2a−1−2a
=2ab−1，
1
当a= ，b=−6时，
4
1
原式=2× ×(−6)−1
4
=−3−1
=−4．
故答案为：二，去括号后符号错误．
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题型三： 数与式的实际应用
1．（2023·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分
为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积
分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得
出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然
1 1
后进行 决赛， 决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支
8 4
球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在C组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个C组分组积分赛对阵
表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
【答案】(1)C组分组积分赛对阵表见解答过程；
(2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
(3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可；
1 1
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场， 决赛， 决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案；
8 4
1 1
（3）分组积分赛48场， 决赛一共8场， 决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各
8 4
1场，相加即可．
【详解】（1）C组分组积分赛对阵表：
阿根廷 沙特 墨西哥 波兰
阿根 阿根廷：沙 阿根廷：墨西 阿根廷：波
廷 特 哥 兰
沙特 沙特：阿根廷 沙特：墨西哥 沙特：波兰
墨西 墨西哥：阿根 墨西哥：沙 墨西哥：波
哥 廷 特 兰
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波兰 波兰：阿根廷 波兰：沙特 波兰：墨西哥
1 1
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场， 决赛， 决赛，半决赛，决赛又踢了4场，
8 4
∴一共踢了3+4=7（场），
∴本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
（3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共8×6=48（场）；
1 1
决赛一共8场， 决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场；
8 4
∴一共踢了48+8+4+2+1+1=64（场）；
∴本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则．
2．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种
小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小
麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am(a>1)的正方形去掉一个边
长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为(a−1)m的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为
500kg
a+1
(2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高； 倍
a−1
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分
式除法的应用是解题关键．
（1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为
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(1000−x)kg，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得；
（2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即
可得．
【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为xkg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产
粮量为(1000−x)kg，
由题意得：x=1.2(1000−x)−100，
解得x=500，
则1000−x=1000−500=500，
答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500kg．
（2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为(a2−1)m2，“丰收2号”小麦试验田的面积为
(a−1) 2m2，
500
则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 kg，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为
a2−1
500
kg
，
(a−1) 2
∵a>1，
∴a2−1−(a−1) 2=a2−1−(a2−2a+1)=2a−2=2(a−1)>0，
∴a2−1>(a−1) 2>0，
500 500
<
∴ ，
a2−1 (a−1) 2
所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高．
500 500 500 (a+1)(a−1) a+1
÷ = ⋅ = ，
(a−1) 2 a2−1 (a−1) 2 500 a−1
a+1
所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍．
a−1
一、理解问题背景
首先，仔细阅读题目，理解问题的背景和具体要求。数与式的应用题通常涉及具体的场景，如财务
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计算、物理问题等。明确题目中给出的条件和要求解的目标，是找到解题方向的第一步。
二、抽象出数学模型
将实际问题中的数量关系抽象为代数式，是解决数与式问题的核心。例如，题目中可能描述一个增
长或减少的趋势，你需要将其转化为相应的数学表达式。这一步骤要求对代数式的概念和性质有深入的
理解，善于从文字描述中提取关键信息，并将其转化为数学语言。
三、选择合适的解题方法
数与式的解题方法多种多样，选择合适的方法是提高解题效率的关键。例如，对于涉及实数运算的
问题，灵活运用运算法则和运算律可以简化计算过程；在比较实数大小时，可以使用数轴比较法或类别
比较法；对于分式的混合运算，注意运算顺序和通分技巧；在因式分解时，根据多项式的项数选择合适
的分解方法，如提公因式法、公式法等。
四、进行运算和求解
在抽象出数学模型并选择好解题方法后，进行具体的运算和求解。这一步骤要求对基本的数与式运
算法则熟练掌握，并注意运算的准确性和规范性。在运算过程中，可以利用计算器或数学软件辅助计
算，但要注意检查结果的合理性。
五、验证和反思
解题完成后，不要急于提交答案，而是对解题过程和结果进行验证和反思。检查运算过程中是否存
在错误，结果是否符合实际问题的要求。通过反思，总结解题经验，找出自己的不足之处，以便在今后
的解题中不断改进和提高。
1．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
a a+1
已知3a>b>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1) 2+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
23 22
(2)比较大小： __________ ．（填“>”“=”或“<”）
68 65
【答案】(1)M>N
(2)<
【分析】（1）根据作差法求M−N的值即可得出答案；
23 22
（2）根据作差法求 − 的值即可得出答案．
68 65
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a a+1 a(b+3)−b(a+1) ab+3a−ba−b 3a−b
【详解】（1）解：M−N= − = = = ，
b b+3 b(b+3) b(b+3) b(b+3)
∵3a>b>0，
3a−b
∴ >0，
b(b+3)
∴M>N；
23 22 1495 1496 1
（2）解：∵ − = − =− <0，
68 65 4420 4420 4420
23 22
∴ < ．
68 65
故答案为：<．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
2．（2025·广东清远·一模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正
巧数”．例如：8=32−12，16=52−32，因此8，16都是“正巧数”．
(1)请写出一个30到50之间的“正巧数”：______；
(2)已知x，y为正整数，且x>y，若(x+3)(x−3)+ y2−2xy是“正巧数”，求xy的最小值．
【答案】(1)32（或40或48）
(2)6
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用
平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是
“正巧数”．
（1）根据“正巧数”的定义设0到50之间的“正巧数”为：(2n+1) 2−(2n−1) 2，n为正整数，则
30<(2n+1) 2−(2n−1) 2<50，解不等式求出n的值即可得出答案；
（2）先计算(x+3)(x−3)+ y2−2xy=x2−9+ y2−2xy=(x−y) 2−9，设两个连续正奇数为2n−1，
2n+1，则(x−y) 2−9=(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n， 可得(x−y) 2=8n+9，再求解即可．
【详解】（1）解：根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差，
∴设0到50之间的“正巧数”为：(2n+1) 2−(2n−1) 2，n为正整数，
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则：30<(2n+1) 2−(2n−1) 2<50，
整理得：30<8n<50，
15 25
解得： y，
∴当n=1时，(x−y) 2=17（舍去）；
当n=2时，(x−y) 2=25，
∴ x−y=5，
∴ x=6，y=1，
∴ xy=6．
3．（2025·河北·模拟预测）老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚．
计算：(■x2+6x+8)−3(2x+x2−1)
解：
(1)小明认为“■”是“−1”，请求出这道题的结果；
(2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题：
①小刚说：“当x的值是−1时，这道题的值为−2”，求此时系数“■”的值；
②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值．
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【答案】(1)−4x2+11
(2)①−10；②3
【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
（1）把■=−1代入式子，运用去括号法则，合并同类项法则进行化简即可；
（2）设系数“■”的值为a，将式子化简为(a−3)x2+11．①由当x的值是−1时，这道题的值为−2，可
得(a−3)×(−1) 2+11=−2，求解即可．②由这道题最后的结果是个常数，可得a−3=0，求解即可．
【详解】（1）解：当“■”是“−1”时，该多项式为：(−x2+6x+8)−3(2x+x2−1)，
∴(−x2+6x+8)−3(2x+x2−1)
=−x2+6x+8−6x−3x2+3
=−4x2+11．
（2）解：设系数“■”的值为a，则
(ax2+6x+8)−3(2x+x2−1)
=ax2+6x+8−6x−3x2+3
=(a−3)x2+11，
①∵当x的值是−1时，这道题的值为−2，
∴(a−3)×(−1) 2+11=−2，
∴a=−10，
∴此时系数“■”的值为−10．
②∵这道题最后的结果是个常数，
∴a−3=0，
∴a=3，
∴此时系数“■”的值为3．
题型四： 化简求值问题
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( 4 ) x2−2x 7
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值： +x−2 ÷ +3，其中x=− ．
x+2 x2−4 2
1
【答案】x+3，−
2
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法
则进行化简，再代入求值即可．
( 4 ) x2−2x
【详解】解： +x−2 ÷ +3
x+2 x2−4
[ 4 (x−2)(x+2)] x(x−2)
= + ÷ +3
x+2 x+2 (x−2)(x+2)
4+x2−4 (x−2)(x+2)
= ⋅ +3
x+2 x(x−2)
x2 (x−2)(x+2)
= ⋅ +3
x+2 x(x−2)
=x+3，
7 7 1
当x=− 时，原式=− +3=− ．
2 2 2
2．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
1−m2 m−1 m−3
(2)化简： ÷ ⋅ ．
|m−3| 2 m+1
【答案】(1)m>3
(2)−2
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
∴Δ=(−2) 2−4×1×(4−m)>0，
解得：m>3；
（2）解：∵m>3，
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1−m2 m−1 m−3
∴ ÷ ⋅
|m−3| 2 m+1
−(m+1)(m−1) 2 m−3
= ⋅ ⋅
m−3 m−1 m+1
=−2；
2x−6 ( 6x−9)
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值： ÷ x− ，并从−1，0，1，2，3中
x x
选一个合适的数代入求值．
2 1
【答案】 ，取x=−1，原式=−
x−3 2
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
先计算括号内的减法，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可得．
2x−6 ( 6x−9)
【详解】解： ÷ x−
x x
2x−6 (x2 6x−9)
= ÷ −
x x x
2x−6 x2−6x+9
= ÷
x x
2(x−3) x
= ⋅
x (x−3) 2
2
= ．
x−3
∵x≠0且x≠3，
∴x=−1或x=1或x=2．
2 1
当x=−1时，原式= =− ．
−1−3 2
2
或当x=1时，原式= =−1．
1−3
2
或当x=2时，原式= =−2．
2−3
一、理解题目类型
首先，明确题目是属于整式化简、分式化简还是三角函数化简等。不同的题目类型有不同的化简方
法和技巧，理解题目类型是解题的首要步骤。
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二、直接代入法
当已知条件中给出的数值较为简单且明确时，可以直接将数值代入所求代数式中进行计算。这种方
法适用于代数式结构简单的情况，能够快速得到答案。
三、化简已知条件
若已知条件复杂，需先对已知条件进行化简。利用代数运算法则、因式分解、配方等方法，将复杂
的表达式化简为简单的形式。例如，利用完全平方公式、二次根式的非负性等性质进行化简。
四、结论化简式
对于结论复杂的题目，需对结论进行化简。观察代数式的结构特点，找出其中的规律，利用乘法分
配律、合并同类项等方法进行化简。有时，需要将结论转化为完全平方公式或其他常见形式，以便代入
已知条件求解。
五、整体代入法
当题目中存在多个变量且难以单独求解时，可以考虑使用整体代入法。先将代数式化简为只含有一
个或多个整体的形式，再将整体代入求解。这种方法能够简化计算过程，提高解题效率。
六、利用“无关”求值
若题目中要求代数式的值与某个变量无关，则可以通过令该变量的系数为 0来求解。这种方法常用
于整式的加减运算中，通过去括号、合并同类项等步骤，找到与变量无关的项。
七、逐个化简代入
对于结构复杂的代数式，可以通过逐个化简凑整的方法求解。将代数式分解为多个部分，逐个化简
为已知条件的形式，然后整体代入求解。
八、三角函数化简技巧
针对三角函数化简问题，要熟练掌握三角函数公式，如诱导公式、和差公式、倍角公式等。通过通
分、简化角度、统一函数名等步骤，将复杂的三角函数表达式化简为简洁的结果。
(−x+5
)
x2−2x
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求值： +1 ÷ ，其中x=tan60°．
x−2 x2−4x+4
3
【答案】 ，√3．
x
【分析】此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算顺序
和运算法则是解题的关键．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用锐角三角函数值得出x的值，代入计算即可．
(−x+5
)
x2−2x
【详解】解： +1 ÷
x−2 x2−4x+4
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−x+5+x−2 (x−2) 2
= ×
x−2 x(x−2)
3 (x−2) 2
= ×
x−2 x(x−2)
3
= ，
x
∵x=tan60°，
∴x=√3，
3
∴原式=
√3
=√3．
2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上点A表示的数为√2+1，点B表示的数为1，点A关于点B的
对称点为C．点C表示的数为m．
(1)求m的值；
(2)化简：|m|+(√2+m) 2025；
【答案】(1)m=1−√2
(2)√2
【分析】本题考查的知识点是实数和数轴，实数的混合运算，数形结合是解题的关键；
（1）根据B是A,C的中点，列出式子求解即可；
（2）把m的值代入，根据绝对值、整数指数幂分别求出每一部分的值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：m+√2+1=2×1，
解得：m=1−√2；
（2）∵m=1−√2，
∴|m|+(√2+m) 2025=|1−√2|+(√2+1−√2) 2025=√2−1+1=√2
题型五： 规律探索问题
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1．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案
中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，
菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
【答案】C
【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应
的规律，进行求解即可．
【详解】解：第①个图案中有1+3×(1−1)+1=2个菱形，
第②个图案中有1+3×(2−1)+1=5个菱形，
第③个图案中有1+3×(3−1)+1=8个菱形，
第④个图案中有1+3×(4−1)+1=11个菱形，
⋮
∴第n个图案中有1+3(n−1)+1=3n−1个菱形，
∴第⑧个图案中菱形的个数为3×8−1=23，
故选：C．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知A (1,−√3)，A (3,−√3)，A (4,0)，A (6,0)，A (7,√3)，
1 2 3 4 5
A (9,√3)，A (10,0)，A (11,−√3)…，依此规律，则点A 的坐标为 ．
6 7 8 2024
【答案】(2891,−√3)
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知7个
点坐标的纵坐标为一个循环，A 的坐标为(10n,0)，据此可求得A 的坐标．
7n 2024
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【详解】解：∵A (1,−√3)，A (3,−√3)，A (4,0)，A (6,0)，A (7,√3)，A (9,√3)，A (10,0)，
1 2 3 4 5 6 7
A (11,−√3)…，，
8
∴可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，A 的坐标为(10n,0)，A (10n+1,−√3)
7n 7n+1
∵2024÷7=289⋅⋅⋅1，
∴A 的坐标为(2890,0)．
2023
∴A 的坐标为(2891,−√3)
2024
故答案为：(2891,−√3)．
【数与式、图形的规律问题命题预测】数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难
度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应
结合各式或图形的序号进行前后对比分析。主要考査学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，要求
学生通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.
【平面直角坐标系中的规律问题 (旋转、平移、翻滚、渐变等)命题预测】该题型主要以选择、填空的形
式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或
点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结
合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了
“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解
决问题的能力具有很高的要求。
1．（2024·贵州·模拟预测）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习醇类化学
式时，甲醇化学式为CH OH，乙醇化学式为C H OH，丙醇化学式为C H OH⋯ ，按此规律，当碳原子的
3 2 5 3 7
数目为n（n为正整数）时，醇类的化学式通式是（ ）．
A．C H OH B．C H OH
n 3n n 2n+1
C．C H OH D．C H OH
n 2n n 2n−1
【答案】B
【分析】本题主要考查了规律型中的数字的变化类，确定碳原子的变化找出氢原子的变化规律是解题的关
键．
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设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a ，列出部分a 的值，根据数值的变化找出变化规
n n
律“a =2 ”依次规律即可解答．
n n+1
【详解】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a ，
n
观察发现规律：a =3=2×1+1，a =5=2×2+1，a =7=2×3+1，…，
1 2 3
∴a =2n+1．
n
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为C H OH．
n 2n+1
故选B．
a3 a5 a7 a9 a11
2．（2024·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：−a， ，− ， ，− ， ，⋯，第n
2 3 4 5 6
个单项式是（ ）
(−1) n ⋅a2n+1 (−1) n ⋅a2n−1 (−1) n−1 ⋅a2n−1 (−1) n ⋅a2n−1
A． B． C． D．
n n+1 n n
【答案】D
【分析】本题考查单项式的规律探究．由所给的单项式可得，系数的符号是(−1) n，系数的分母是n，次数
(−1) n ⋅a2n−1
为2n−1，则可求第n个单项式为 ．
n
【详解】解：由所给的单项式可得，系数的符号是(−1) n，系数的分母是n，次数为2n−1，
(−1) n ⋅a2n−1
∴第n个单项式为： ，
n
故选：D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨
辉三角”．此图揭示了(a+b) n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．
请仔细观察，填出(a+b) 4的展开式中所缺的项：(a+b) 4=a4+4a3b+ +b4．
【答案】6a2b2+4ab3
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【分析】本题主要考查了完全平方公式及规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，找出字母和系数
存在的规律．观察图形可知：杨辉三角，各项是按照a的降幂和b的升幂排列，下一行的系数是上一行相
邻两系数的和，按照此规律进行解答即可．
【详解】解：(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
故答案为：6a2b2+4ab3．
题型六： 解方程（组）或不等式（组）
1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：x2+2x−1=0；
（2）解不等式组¿．
【答案】（1）x =√2−1，x =−√2−1
1 2
（2）22，
所以不等式组的解集是2−4，
∴原不等式组的解集−43x−1 第1步
4−4x+2>3x−1 第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7 第3步
x>1 第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；任务二：x≥−1，−1≤x<1
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵−7x>−7，
∴x<1；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是
x<1；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，x<1；
任务二：2−3x≤4−x，
−3x+x≤4−2，
−2x≤2，
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x≥−1；
又x<1，
∴不等式组的解集为：−1≤x<1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，
注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
x x−3
1．（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小迪：
小丁：
解：去分母，得x+(x−3)=1
解：去分母，得x−(x−3)=x−2
去括号得x+x−3=1
去括号，得x−x+3=x−2
合并同类项得2x−3=1
解得x=5
解得x=2
∴原方程的解是x=5
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
(1)你认为小丁的解法_____，小迪的解法_____；（填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
【答案】(1)错误，错误
(2)x=1，过程见解析
【分析】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误；
x x−3
（2）解： − =1
x−2 2−x
去分母，得x+(x−3)=x−2
去括号得，x+x−3=x−2
解得，x=1
检验，将x=1代入x−2=1−2=−1≠0
∴原方程的解是x=1．
2x+1 3x−2
2．（2025·江西南昌·模拟预测）下面是小友同学解不等式 > −2的运算过程：
3 2
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解：去分母，得2(2x+1)>3(3x−2)−12， ①
去括号，得4x+2>9x−2−12， ②
移项，得4x−9x>−2−12−2， ③
合并同类项，得−5x>−16， ④
(1)以上解题过程中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；
(2)请写出该不等式正确的求解过程．
【答案】(1)②；去括号时，常数项没有乘3
(2)x<4．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数
为1．
（1）根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：第②步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，常数项没乘3；
故答案为：②；去括号时，常数项没有乘3；
（2）解：去分母，得2(2x+1)>3(3x−2)−12，
去括号，得4x+2>9x−6−12，
移项，得4x−9x>−6−12−2，
合并同类项，得−5x>−20，
解得x<4．
题型八： 含参问题
1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组¿的解满足x−y=4，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．
【详解】解：¿，
①−②得2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
代入x−y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
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故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
2．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为
．
【答案】2
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等
的实数根，则Δ=b2−4ac>0；有两个相等的实数根，则Δ=b2−4ac=0；没有实数根，则
Δ=b2−4ac<0．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×2k=0，
解得：k=2
故答案为：2
1 1
3．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x 、x ，且 + =3，则
1 2 x x
1 2
p的值为（ ）
2 2
A．− B． C．−6 D．6
3 3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：若方程的两实数根为x ,x ，则
1 2
b c
x +x =− ,x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
2
根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系得到x +x =− =−2,x ⋅x =p，然后通分，
1 2 1 1 2
1 1 x +x −2
+ = 1 2= ，从而得到关于p的方程，解方程即可．
x x x x p
1 2 1 2
2
【详解】解：∵x +x =− =−2,x ⋅x =p，
1 2 1 1 2
1 1 x +x −2
∴ + = 1 2= ，
x x x x p
1 2 1 2
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1 1
而
+ =3，
x x
1 2
−2
∴ =3，
p
2
∴p=− ，
3
故选：A．
x mx
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程 =3− 的解为正整数，则整数m的值为 ．
x−1 1−x
【答案】−1
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可．
x mx
【详解】解： =3− ，
x−1 1−x
x mx
化简得： =3+ ，
x−1 x−1
去分母得：x=3(x−1)+mx，
移项合并得：(2+m)x=3，
3
解得：x= ，
2+m
由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+m=1或2+m=3，
解得：m=−1或m=1（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：−1．
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这
类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元
一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题;二是利用整体思想，求代数式的值，结
合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决
2).分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关
键是化分式方程为整式方程，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未
知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.
3).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解一元二次方程的解的情况、一元二次方
程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不
能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x 、x ，则x + x = 注意
1 2 1 2
运用根与系数关系的前提条件是 ，知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求
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代数式变形为含有 的式子，再运用根与系数的关系求解.
4).不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式(组)有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类
问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围，已知不等式(组)的解售情
况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式(组)解集的定义，反推出含字母的方
程，最后求出字母的值.
1．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组¿所有整数解的和为14，求整数a的值．
【答案】a=2或a=−1．
【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数
的意义是解题的关键．
根据题意可求不等式组的解集为a−1a−1
解不等式②得：x≤5
∴a−10恒成立即可；
（2）由题意可得，x +x =m+2，x ⋅x =m−1，进行变形后代入即可求解．
1 2 1 2
【详解】（1）证明：Δ=[−(m+2)] 2 −4×1×(m−1)=m2+8，
∵无论m取何值，m2+8>0，恒成立，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x ,x 是方程x2−(m+2)x+m−1=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =m+2，x ⋅x =m−1，
1 2 1 2
∴x2+x2−x x =(x +x ) 2−3x x =(m+2) 2−3(m−1)=9，
1 2 1 2 1 2 1 2
解得：m =1或m =−2．
1 2
2．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实
数根x 和x ．
1 2
(1)填空：x +x = ________，x x = ________；
1 2 1 2
1 1 1
(2)求 + ，x + ；
x x 1 x
1 2 1
(3)已知x2+x2=2p+1，求p的值．
1 2
【答案】(1)p，1；
1 1 1
(2)
+ =p，x + =p；
x x 1 x
1 2 1
(3)p=3．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解
题的关键．
（1）利用根和系数的关系即可求解；
1 1 x +x
（2） + 变形为 1 2 ，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得
x x x x
1 2 1 2
1 1
x 2−px +1=0，即得x −p+ =0，进而可得x + =p；
1 1 1 x 1 x
1 1
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（3）把方程变形为(x +x ) 2−2x x =2p+1，再把根和系数的关系代入得p2−2=2p+1，可得p=−1或
1 2 1 2
p=3，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
故答案为：p，1；
（2）解：∵x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
1 1 x +x
∴ + = 1 2=p，
x x x x
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实数根x 和x ，
1 2
∴x 2−px +1=0，
1 1
1
∴x −p+ =0，
1 x
1
1
∴x + =p；
1 x
1
（3）解：由根与系数的关系得，x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
∵x2+x2=2p+1，
1 2
∴(x +x ) 2−2x x =2p+1，
1 2 1 2
∴P2−2=2p+1，
∴P2−2p−3=0，
解得p=−1或p=3，
∴一元二次方程x2−px+1=0为x2+x+1=0或x2−3x+1=0，
当p=−1时，Δ=12−4×1×1=−3<0，不合题意，舍去；
当p=3时，Δ=(−3) 2−4×1×1=5>0，符合题意；
∴p=3．
1．（2024辽宁锦州模拟预测）阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x ，x ，
1 2
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b c
那么x +x =− ，x ⋅x = ．借助该材料完成下列各题：
1 2 a 1 2 a
1 1
(1)若x ，x 是方程x2+6x−3=0的两个实数根，则x +x = ， ⋅ = ．
1 2 1 2 x x
1 2
m2+8
(2)若x ，x 是方程x2−(m−3)x+ =0的两个实数根，且x2+x2=19，求m的值．
1 2 4 1 2
1
【答案】(1)−6，−
3
(2)−2
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的
解题方法．
b c
（1）根据根与系数的关系：x +x =− ,x ⋅x = ，来解题；
1 2 a 1 2 a
（2）首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值．
【详解】（1）解：∵x 、x 是方程x2+6x−3=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =−6，x ⋅x =−3，
1 2 1 2
1 1 1 1
∴ ⋅ = =−
x x x ⋅x 3
1 2 1 2
1
故答案为：−6，− ；
3
m2+8
（2）解：∵关于x的方程x2−(m−3)x+ =0有两个实数根，
4
m2+8
∴ Δ=(m−3) 2−4× ≥0，
4
1
解得：m≤ ，
6
m2+8
∵x 、x 是关于x的方程x2−(m−3)x+ =0的两个实数根，
1 2 4
m2+8
∴x +x =m−3，x ⋅x = ，
1 2 1 2 4
又∵x2+x2=19，
1 2
m2+8
∴ x2+x2=(x +x ) 2−2x ⋅x =19，即(m−3) 2−2× =19，
1 2 1 2 1 2 4
解得，m=−2或m=14，
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1
又∵m≤ ，
6
∴m的值是−2．
题型十： 新定义问题
1．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：m∗n=mn−mn（m，n均为整数，且
m≠0）．例：2∗3=23−2×3=2，则(−2)∗2= ．
【答案】8
【分析】根据定义，得(−2)∗2=(−2) 2−2×(−2)=8，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得(−2)∗2=(−2) 2−2×(−2)=8，
故答案为：8．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数a，b定义运算“※”为a※b=a+3b，例如
5※2=5+3×2=11，则关于x的不等式x※m<2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 ．
1
【答案】0≤m<
3
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于m
的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于x的不等式，再由不等式的解集有且只有一个
正整数解得出关于m的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，x※m=x+3m<2
解得：x<2−3m
∵x※m<2有且只有一个正整数解
∴¿
1
解不等式①，得：m<
3
解不等式②，得：m≥0
1
∴0≤m<
3
1
故答案为：0≤m< ．
3
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3．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：a⊗b=¿例如：−2⊗4=(−2) 2−4=0，2⊗3=−2+3=1．
3
若x⊗1=− ，则x的值为 ．
4
1 7
【答案】− 或
2 4
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据
新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵a⊗b=¿
3
而x⊗1=− ，
4
3
∴①当x≤0时，则有x2−1=−
，
4
1
解得，x=− ；
2
3
②当x>0时，−x+1=− ，
4
7
解得，x=
4
1 7
综上所述，x的值是− 或 ，
2 4
1 7
故答案为：− 或 ．
2 4
新定义运算的规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时
候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度.
1．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb=a+2b；当a1，求x的取值范围．
【答案】(1)−10
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(2)x≥3
【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次不等式组．
（1）根据新定义进行计算即可；
（2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，(−4)Δ3=(−4)−2×3=−10，
故答案为：−10
（2）由题意，知¿，①或¿，②
由①，得x≥3；
由②，得该不等式组无解；
∴x的取值范围为x≥3
2．（2024·甘肃·模拟预测）在正数范围内定义一种运算：M(a,b)=a2−2ab+b2，如
M(1,3)=1−2×1×3+32=4，若M(2,m)=9，则m的值为 ．
【答案】5
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义，得到
22−4m+m2=9 ，解出即可求解．
【详解】解：由题意得：22−4m+m2=9，即m2−4m−5=0
(m+1)(m−5)=0
∴m+1=0或m−5=0
解得：m=−1（舍去）或m=5．
故答案为：5．
=A×B+B×C−C÷A
3．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算： ．
=3×5+5×6−6÷3=43
如： ，则 的值为( )
A．18 B．20 C．28 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答．
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【详解】解：依题意，
=2×5+5×4−4÷2=10+20−2=28
那么 ，
故选：C
√1
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）计算−22× −√38+√9×(−1) 2025．
4
【答案】−7
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式、立方根的意义，有理数的乘方进行计算即可求解，
掌握相关知识是解题的关键．
√1
【详解】解：−22× −√38+√9×(−1) 2025
4
1
=−4× −2+3×(−1)
2
=−2−2−3
=−7．
2．（2025秦皇岛市模拟）观察下面的解题过程．
x(x+4)
x+2−
x+2
先化简，再求值： ，其中 ．
(x+2)(x+2) x(x+4)
解：原式= − ①
x+2 x+2
=(x2+4x+4)−(x2+4x)②
=4．③
(1)解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的x的值．
【答案】(1)②，正确过程见解析
(2)−1
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【分析】本题考查分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握分式的混合运算法则和解分式方程的步骤是解
答的关键．
（1）根据分式的混合运算法则化简原式，发现第②步出现错误；
（2）根据所给求值后的值是4和化简式子可列分式方程，然后解方程即可求解．
(x+2)(x+2) x(x+4)
【详解】（1）解：原式= −
x+2 x+2
(x2+4x+4)−(x2+4x)
= ，
x+2
4
= ，
x+2
故解题过程中开始出现错误的是步骤②；
（2）解：∵代入求值后的值就是4，
4
∴ =4，
x+2
∴x+2=1，
解得x=−1，
经检验：x=−1是方程的解，
∴图中被遮住的x的值为−1．
3．（2025·海南三亚·模拟预测）综合与实践
古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期
7天、一年12个月、一小时60分钟的记时方法。某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，
过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，
也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011) 就是二进制数1011的简单写法．十
2
进制数一般不标注基数．
③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．
规定当a≠0时，a0=1．
如：3721=3×103+7×102+2×101+1×100；
(421) =4×72+2×71+1×70 .
7
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【解决问题】
任务一、将(1101) 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。
2
(1101) =________．
2
任务二、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）：
(11011) +(1101) =(101000) ；
2 2 2
(11011) −(1101) =________．
2 2
任务三、已知2025年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到本年6月25日的天数，并判
断6月25日是星期几．（天数算法举例：2025年1月1日至本年1月6日的天数为6天）
【答案】任务一、(1101) =1×23+1×22+0×21+1×20 ；任务二、(11011) −(1101) =(1110) ；任务三、
2 2 2 2
见解析，星期三
【分析】本题考查有理数的运算，掌握进制之间的转换方法，是解题的关键；
任务一：根据二进制的表示方法，进行作答，即可求解；
任务二：仿照十进制的加减法转化为二进制的加减方法，进行求解即可；
任务三：先算出总天数176天，再将十进制176转化为二进制，再把176天减去1月1日到1月5日共5天，
还剩171天，再根据一星期7天，进行作答，即可求解；
【详解】解：（1）(1101) =1×23+1×22+0×21+1×20；
2
（2）(11011) −(1101) =(1110) ；
2 2 2
（3）1月：31天，2月：28天，3月：31天，4月：30天，5月：31天，6月：25天，
总天数：31+28+31+30+31+25=176天（十进制），
1月1日到6月25日总天数为176天，
∴
七进制：176=3×72+4×71+1×70=(341)
，
7
1月1日是星期三，
∵1月1日到1月5日是星期三到星期日，
∴∴176−5=171（天），
∵171÷7=24⋯⋯3，
∴可得2025年6月25日仍为星期三．
4．（2025·陕西咸阳·一模）先化简，再求值：(x2y+3x y2)÷ y−(x−3)(x+3)，其中x=1，y=−2．
【答案】3xy+9；3
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【分析】本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，先根据整式的混合运算进行化简，然后将x=1，
y=−2代入化简结果进行计算即可求解．
【详解】解：(x2y+3x y2)÷ y−(x−3)(x+3)
=x2+3xy−(x2−9)
=x2+3xy−x2+9
=3xy+9
当x=1，y=−2时，原式=3×1×(−2)+9=3
5．（2025·江西南昌·模拟预测）【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发
现了有趣的数学规律：
方框一：7×14−6×15=8．
方框二：11×18−10×19=8．
【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式：
【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律．
【答案】[验证] 4×11−3×12=8；[探究] (n+1)(n+8)−n(n+9)=8．
【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式；
[验证]根据日历中的数字规律即可求解；
[探究]根据题意得到规律(n+1)(n+8)−n(n+9)=8，整式乘法公式，把(n+1)(n+8)−n(n+9)．化简，即
可证明．
【详解】解：[验证]根据题意，4×11−3×12=8；
[探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为n+1，n+8，n+9，
规律为：(n+1)(n+8)−n(n+9)=8．
依题意，(n+1)(n+8)−n(n+9)=n2+9n+8−n2−9n=8．
x−1 2
6．（2025·陕西咸阳·一模）解方程： =1+ ．
x+3 x−3
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【答案】x=1
【分析】本题考查了解分式方程．方程左右两边同时乘以(x+3)(x−3)，得到整式方程，解整式方程，再
检验即可求解．
x−1 2
【详解】解： =1+ ，
x+3 x−3
方程左右两边同时乘以(x+3)(x−3)，得，
(x−1)(x−3)=(x+3)(x−3)+2(x+3)，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
故方程的解为x=1．
7．（2025·陕西西安·二模）解不等式组：¿
【答案】x>−3．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集．熟练
掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：¿
解不等式①得：x≥−4，
解不等式①得：x>−3，
∴不等式组的解集为：x>−3．
8．（2025·广东深圳·一模）（1）解方程：2x2−6x−15=0
（2）茗茗同学在解关于x 的方程ax2−6x−15=0时，过程如下：
第一步：a=a，b=−6，c=−15，
第二步：△=(−6) 2−4×a×(−15)=36+60a
3 6+√36+60a 6−√36+60a
第三步：当△≥0（即a≥− ）时，x = ,x = ；当△<0时方程无解
5 1 2a 2 2a
你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________．
你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________．
3+√39 3−√39 5
【答案】（1）x = ，x = ；（2）没有考虑a=0的情况；当a=0时，x=−
1 2 2 2 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键．
（1）根据解一元二次方程-公式法直接求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，公式法的条件即可求出答案．
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【详解】解：（1）这里a=2,b=−6,c=−15，
Δ=36−4×2×(−15)=156，
6+√156 3+√39 6−√156 3−√39
∴x = = ，x = = ；
1 2×2 2 2 2×2 2
（2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑a=0的情况；
在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当a=0时，方程−6x−15=0，
5
解得：x=− ；
2
5
故答案为：没有考虑a=0的情况；当a=0时，x=− ．
2
9．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组¿的解也是方程3x+my−8=0的一个解，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．先求出二次一次方程组的解，再代入
3x+my−8=0，解一元一次方程即可得到m的值．
【详解】解：¿
把②代入①得，2x+3(2x−3)=7，
解得，x=2，
把x=2代入②得，y=2×2−3=1，
∴¿，
把¿代入3x+my−8=0得，
3×2+m−8=0，
解得m=2，
故答案为：2
10．（2025·湖北恩施·一模）已知关于x的一元二次方程x2−(k+4)x+4k=0(k≠0)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若x 、x 是该方程的两个根，且2x +2x =3x x ，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)见解析
4
(2)k=
5
【分析】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的个数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌
握以上知识点是解答本题的关键．
（1）计算出Δ的值，根据Δ的取值范围即可得证；
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（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出x +x =k+4，x x =4k，然后代入2x +2x =3x x 中，求
1 2 1 2 1 2 1 2
出k的值即可．
【详解】（1）解：∵Δ=[−(k+4)] 2 −4×1×4k=(k−4) 2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x +x =k+4，x x =4k，
1 2 1 2
∵2x +2x =3x x ，
1 2 1 2
∴2(k+4)=3×4k，
4
解得：k= ．
5
11．（2025黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义新运算：对于任意实数a、b，都有 a⊕b=a(a−b)+1等式右
边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×(2−5)+1=2×(−3)+1=−6+1=−5 ．
(1)若 x⊕(−4)=6，求x的值；
(2)若m、n均为实数，且3 m的值小于10，判断关于x的方程 2x2−nx−m=0的根的情况．
【答案】(1)x =−5，x =1⊕
1 2
(2)有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，
正确理解新运算是解决问题的关键．
（1）根据新运算得出x(x+4)+1=6，解之可得到答案；
（2）3⊕m的值小于10知10−3m<10，解之求得m>0．再在方程2x2−nx−m=0中由
Δ=(−n) 2+8m=n2+8m>0可得答案．
【详解】（1）根据运算定义，可得x⊕(−4)=x(x+4)+1=6，
化简得 x²+4x−5=0 ，
解得∶ x₁=−5,x₂=1；
（2）根据运算定义，可得3⊕m=3×(3−m)+1=10−3m<10，
∴−3m<0，
∴m>0，
∴在方程 2x2−nx−m=0中， Δ=(−n) 2+8m=n2+8m>0，
∴关于x的方程 2x2−nx−m=0有两个不相等的实数根．
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2x 1
1．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值： − ，其中x=3．小乐同学的计算过程如下：
x2−4 x−2
解：
2x 1 2x 1
− = −
x2−4 x−2 (x+2)(x−2) x−2
…①
2x x+2
= − …②
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x−x+2
=
…③
(x+2)(x−2)
x+2
=
…④
(x+2)(x−2)
1
= …⑤
x−2
当x=3时，原式=1．
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；
（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
2x x+2 2x−x−2
应为： − = ；
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x 1 2x 1
（2）解： − = −
x2−4 x−2 (x+2)(x−2) x−2
2x x+2
= −
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x−x−2
=
(x+2)(x−2)
x−2
=
(x+2)(x−2)
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1
=
x+2
1
当x=3时，原式=
5
a2−b2 1−a−b
2．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： + ，并求值（请从小宇和小丽的对话中
a2−2ab+b2 a−b
确定a，b的值）
1 1
【答案】 ；−
a−b 5
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计
算即可．
【详解】解：依题意，a=−3，12；解分式方程得到y= ，再由关于y的分式方程
2
a−8 y
− =1的解均为负整数，推出a<10且a≠6且a是偶数，则24，
∴a>2；
a−8 y a−10
解分式方程 − =1得y= ，
y+2 y+2 2
a−8 y
∵关于y的分式方程 − =1的解均为负整数，
y+2 y+2
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a−10 a−10 a−10
∴ <0且 是整数且y+2= +2≠0，
2 2 2
∴a<10且a≠6且a是偶数，
∴2
