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专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 具体函数的定义域的求解】......................................................................................................................2
【题型2 抽象函数的定义域的求解】......................................................................................................................3
【题型3 已知函数定义域求参数】..........................................................................................................................4
【题型4 已知函数类型求解析式】..........................................................................................................................6
【题型5 已知f(g(x))求解析式】...............................................................................................................................8
【题型6 函数值域的求解】....................................................................................................................................10
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】...........................................................................................................12
1、函数的解析式与定义域、值域
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时
首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范
畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本不等式问题；数列
的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为
求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.
【知识点1 函数的定义域的求法】
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等
式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x [
∈a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1.函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方
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程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【题型1 具体函数的定义域的求解】
【例1】（2023 上·江苏南京·高一校考阶段练习）函数f (x)=√
3−x
x−1
的定义域为（ ）
A．(−∞,3]
B．(1,+∞)
C．(1,3]
D．(−∞,1)∪[3,+ ∞)
【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得¿，解得1< x ≤3，则定义域为(1,3]，
故选：C.
【变式1-1】（2023·海南·模拟预测）函数f ( x )=√2- x +1
x -1的定义域为( )
A．(-∞,1]
B．(1,2]
C．(-∞,2]
D．(-∞,1)∪(1,2]
【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可
【解答过程】由题知¿,解得x
2
⩽且x≠1
即函数f ( x )=√2- x +1
x -1的定义域为(-∞,1)∪(1,2]
故选：D.
【变式1-2】（2023 上·江西景德镇·高一统考期中）函数f ( x)=(x−3)
0+√3−x +
2
x−1的定义域为（ ）
A．(−∞,1)∪[2,3)
B．(−1,2)∪(3,+∞)
C．(−∞,1)∪(1,3)
D．(−1,2)∪(2,3]
【解题思路】根据题意可得，¿，求解即可.
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【解答过程】根据题意可得，¿，解得x<3且x≠1，
所以函数f ( x)=(x−3)
0+√3−x +
2
x−1的定义域为(−∞,1)∪(1,3).
故选：C.
【变式1-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为[0,4]，则函数
y = f ( x +1)
√x−1 +( x−2)
0的定义域是（ ）
A．(1,5]
B．(1,2)∪(2,5)
C．(1,2)∪(2,3]
D．(1,3]
【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.
【解答过程】因为函数y = f (x)的定义域为[0,4]，又函数y = f ( x +1)
√x−1 +( x−2)
0有意义，
则有¿，解得1< x<2或2< x ≤3，
所以函数y = f ( x +1)
√x−1 +( x−2)
0的定义域是(1,2)∪(2,3].
故选：C.
【题型2 抽象函数的定义域的求解】
【例2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若函数y = f (2 x)的定义域为[−2,4]，则y = f (x)−f (−x)
的定义域为（ ）
A．[−2,2]
B．[−2,4]
C．[−4,4]
D．[−8,8]
【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数f (x)的定义域，对于函数y = f (x)−f (−x)，可列
出关于x的不等式组，由此可得出函数y = f (x)−f (−x)的定义域.
【解答过程】因为函数y = f (2 x)的定义域为[−2,4]，则−2≤x ≤4，可得−4≤2 x ≤8，
所以，函数y = f (x)的定义域为[−4,8]，
对于函数y = f (x)−f (−x)，则有¿，解得−4≤x ≤4，
因此，函数y = f (x)−f (−x)的定义域为[−4,4].
故选：C.
【变式2-1】（2023 下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数f (2 x−1)的定义域为[−3,1]，则y = f (3−4 x)
√x−1
的定义域为（ ）
A．{1}
B．(1, 3
2]
C．(
3
2 , 5
2]
D．(1, 5
2]
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【解题思路】根据题意先求得函数f (x)的定义域为[−7,1]，然后结合抽象函数定义域与√x−1求解即可；
【解答过程】由题意可知−3≤x ≤1，所以−7≤2 x−1≤1，要使函数y = f (3−4 x)
√x−1
有意义，则¿解得
1< x ≤5
2
.
故选：D.
【变式2-2】（2022 上·湖南衡阳·高一校考期中）已知函数f (x +1)的定义域为[1,7]，则函数
ℎ(x)= f (2 x)+√9−x
2的定义域为（ ）
A．[ 4,16]
B．(−∞,1]∪[3,+ ∞)
C．[1,3] D．[3,4 ]
【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.
【解答过程】函数f (x +1)的定义域为[1,7]，则2≤x +1≤8，因此在f (2 x)中，2≤2 x ≤8，
函数ℎ(x)= f (2 x)+√9−x
2有意义，必有¿，解得1≤x ≤3，
所以函数ℎ( x)的定义域为[1,3].
故选：C.
【变式2-3】（2021·高一单元测试）已知函数f ( x)的定义域为(0,1)，若c∈(0, 1
2 )，则函数
g( x)= f ( x +c)+ f ( x−c)的定义域为（ ）
A．(−c ,1−c)
B．(c ,1−c)
C．(1−c ,c)
D．(c ,1+c)
【解题思路】由已知函数的定义域有{0< x +c<1
0< x−c<1
，即可求复合函数的定义域.
【解答过程】由题意得：{0< x +c<1
0< x−c<1，即{−c< x<1−c
c< x<1+c ，又c∈(0, 1
2 )，
∴c< x<1−c．
故选：B.
【题型3 已知函数定义域求参数】
【例3】（2023 上·陕西西安·高一统考期中）已知函数f (x)=√m x
2+(m−3)x +1的定义域为R，则实数m
的取值范围是（ ）
A．[1,9]
B．(1,9)
C．(−∞,1]∪[9,+ ∞)
D．{3}
【解题思路】利用题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.
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【解答过程】由题意得m x
2+(m−3)x +1≥0对任意x∈R恒成立，
当m=0时，不等式可化为−3 x +1≥0，其解集不是R，不符合题意；
当m≠0时，由该不等式恒成立可得
¿，解之得1≤m≤9，
综上，实数m的取值范围是1≤m≤9
故选：A.
【变式3-1】（2023 上·高一课时练习）若函数y =√
a
x +1在区间[−2,−1]上有意义，则实数a 的可能取值
是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】分a<0，a=0，a>0，求出不等式a
x +1≥0的解，即可得出答案.
【解答过程】当a<0时，
由a
x +1≥0可得，x ≥−a或x<0，在区间[−2,−1]上有意义，满足；
当a=0时，
函数y =1(x≠0)，显然在区间[−2,−1]上有意义，满足题意；
当a>0时，
由a
x +1≥0可得，x ≤−a或x>0，
要使函数在区间[−2,−1]上有意义，则应有−a≥−1，
所以，a≤1，所以0<a≤1.
综上所述，a≤1.
故选：A.
【变式3-2】（2023 上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数f ( x)=√(a
2−1) x
2+(a+1)x +1的定义域为R，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．[−1, 5
3]
B．(−∞,−1)∪[
5
3 ,+∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．(−∞,−1]∪[
5
3 ,+ ∞)
【解题思路】分a=1、a=−1、a≠±1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.
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【解答过程】当a=1时，f ( x)=√2 x +1，则2 x +1≥0，得x ≥−1
2，即定义域为[−1
2 ,+∞)，不符合题意；
当a=−1时，f ( x)=1，定义域为R，符合题意；
当a≠±1时，由题意得关于x 的不等式(a
2−1) x
2+(a+1)x +1≥0恒成立，
故¿，解得a<−1或a≥5
3
.
综上，实数a 的取值范围是(−∞,−1]∪[
5
3 ,+ ∞).
故选：D.
【变式3-3】（2022 上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数f ( x)= √x
2−3 x−m
√x−1
(m∈R)
(1)若f (2)=2，求实数m 及f (f (5)+1)；
(2)若m=10，求f (x)的定义域；
(3)若f (x)的定义域为(1,+ ∞)，求实数m 的取值范围.
【解题思路】（1）根据f (2)=2求出m 的值，然后即可求出f (f (5)+1)的值；
（2）根据m=10可得出f (x)的解析式，让解析式有意义即可求出f (x)的定义域；
（3）根据f (x)的定义域可得出y = x
2−3 x−m的最小值ymin=−9
4 −m≥0，从而得出m 的范围.
【解答过程】（1）f (2)=√−2−m=2，解得m=−6，所以f ( x)= √x
2−3 x +6
√x−1
，则
f (5)= √25−15+6
√4
=2，
所以f (f (5)+1)= f (3)= √9−9+6
√3−1
=√3；
（2）当m=10时，f ( x)= √x
2−3 x−10
√x−1
，要使f (x)有意义，则¿，
解得x ≥5，所以f (x)的定义域为[5,+∞)；
（3）因为f (x)的定义域为(1,+∞)，
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所以y = x
2−3 x−m=(x−3
2)
2
−9
4 −m≥0在(1,+ ∞)上恒成立，
所以y = x
2−3 x−m的最小值ymin=−9
4 −m≥0，解得m≤−9
4
，
所以m 的取值范围为(−∞,−9
4].
【题型4 已知函数类型求解析式】
【例4】（2023 上·高一课时练习）图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)=−3 x
2+6 x
B．f (x)=−2 x
2+ 4 x
C．f (x)=3 x
2−6 x
D．f (x)=2 x
2−4 x
【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，
将(0,0)代入即可.
【解答过程】设图象是以(1,3)为顶点的二次函数f (x)=a(x −1)
2+3（a≠0）．
因为图象过原点，所以0=a+3，a=−3，所以f (x)=−3(x −1)
2+3=−3 x
2+6 x．
故选：A.
【变式4-1】（2023 上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数f ( x)是一次函数，且f [ f ( x)−2 x ]=3，则
f (5)=（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【解题思路】设f (x)=ax +b(a≠0)，根据f [ f ( x)−2 x ]=3恒成立可得a，b，然后可解.
【解答过程】设f (x)=ax +b(a≠0)，
则f [ f ( x)−2 x ]= f (ax +b−2 x)=a(ax +b−2 x)+b=3，
整理得(a
2−2a) x +ab+b−3=0，
所以¿，解¿，
所以f (x)=2 x +1，所以f (5)=2×5+1=11.
故选：A.
【变式4-2】（2023 上·河北石家庄·高一校考期中）已知f ( x)是二次函数，若f (0)=0，且
f ( x +1)= f ( x)+ x +1．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当−1≤x ≤1时，求二次函数的最大值与最小值．
【解题思路】（1）设f (x)=a x
2+bx +c (a≠0)，根据系数相等得到方程组，求出a,b,c的值即可；
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（2）根据二次函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）设f (x)=a x
2+bx +c (a≠0)，
由f (0)=c =0，得c =0，
所以f (x)=a x
2+bx，
由f ( x +1)= f ( x)+ x +1，
得a(x +1)
2+b(x +1)=a x
2+bx + x +1，
即a x
2+(2a+b) x +a+b=a x
2+(b+1) x +1，即(2a+b) x +a+b=(b+1) x +1，
所以¿，解得a=b= 1
2
，
所以f (x)= 1
2 x
2+ 1
2 x；
（2）函数f (x)= 1
2 x
2+ 1
2 x的对称轴为x =−1
2
，
所以f (x)max = f (1)=1,f (x)min= f(−1
2)=−1
8.
【变式4-3】（2023 上·安徽·高一校联考期中）已知一次函数f ( x)满足f (f ( x))= x +3.
(1)求f ( x)的解析式；
(2)若g( x)=
x
f ( x)−1
2
，求g(1)+ g(2)+⋯+ g(2023)+ g(
1
2023 )+ g(
1
2022 )+⋯+ g( 1
2 )的值.
【解题思路】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.
（2）所求式子为对称结构，通过验证发现g( x)+ g( 1
x )=1，由此通过分组求和即可求解.
【解答过程】（1）设f ( x)=ax +b(a≠0).
则f (f ( x))= f (ax +b)=a(ax +b)+b=a
2 x +ab+b= x +3，
于是有¿，解得¿，∴ f ( x)= x + 3
2
.
（2）由（1）知g( x)=
x
x +1
，则g( 1
x )=
1
x
1
x +1
=
1
x +1 , x≠0，g( x)+ g( 1
x )=1.
∴ g(2)+ g( 1
2 )= g(3)+ g( 1
3 )=⋯= g(2023)+ g(
1
2023 )=1，g(1)= 1
2
，
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∴ g(1)+ g(2)+⋯+ g(2023)+ g(
1
2023 )+⋯+ g( 1
2 )= 1
2 +2022×1= 4045
2
.
【题型5 已知f(g(x))求解析式】
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x−1)
2 −1(x≠0)
B．
1
(x−1)
2 −1(x≠1) C．
4
(x−1)
2 −1(x≠0) D．
4
(x−1)
2 −1(x≠1)
【解题思路】利用换元法令t =1−x，运算求解即可.
【解答过程】令t =1−x，则x =1−t，且x≠0，则t ≠1，
可得f (t )= 1−(1−t )
2
(1−t )
2
=
1
(t −1)
2 −1,(t ≠1)，
所以f (x)=
1
(x−1)
2 −1(x≠1).
故选：B.
【变式5-1】（2023 上·天津南开·高一南开中学校考期中）已知f(x−1
x)= x
2+ 1
x
2，则函数f (x +1)的表达
式为（ ）
A．f (x +1)=(x +1)
2+
1
(x +1)
2
B．f (x +1)=(x + 1
x)
2
+
1
(x + 1
x)
2
C．f (x +1)= x
2+2 x +3
D．f (x +1)= x
2+2 x +1
【解题思路】利用配凑法先求出函数f (x)，再整体代入即可求出函数f (x +1)的表达式.
【解答过程】因为f(x−1
x)= x
2+ 1
x
2 =(x−1
x)
2
+2
所以f (x)= x
2+2
所以f (x +1)=(x +1)
2+2，即f (x +1)= x
2+2 x +3.
故选：C.
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【变式5-2】（2023 上·河南·高一校联考期中）已知函数f (x)满足f (x)=
1
x−1
(x≠1)．
(1)求f (2−x)的解析式；
(2)求f(
1
20)+ f(
3
20)+ f(
5
20)+⋅⋅⋅+ f(
35
20)+ f(
37
20)+ f(
39
20)的值．
【解题思路】（1）代入求解即可；
（2）利用f (x)+ f (2−x)=0求解即可.
【解答过程】（1）f (x)=
1
x−1
(x≠1)，
∴f (2−x)=
1
2−x−1 =
1
1−x
，其中2−x≠1, x≠1.
故f (2−x)=
1
1−x
(x≠1).
（2）f (x)+ f (2−x)=
1
x−1 +
1
1−x =0,
所以f(
1
20)+ f(
39
20)= f(
1
20)+ f(2−1
20)=0，
所以
f(
1
20)+ f(
3
20)+ f(
5
20)+⋅⋅⋅+ f(
35
20)+ f(
37
20)+ f(
39
20)= f(
1
20)+ f(
3
20)+ f(
5
20)+⋅⋅⋅+ f(2−5
20)+ f(2−3
20)
【变式5-3】（2023 上·安徽蚌埠·高一校考期中）求下列函数的解析式：
(1)已知f (x +2)=2 x +3，求f (x)；
(2)已知f (√x +1)= x +2√x，求f (x)；
(3)已知f (x)是一次函数，且f (f (x))=16 x −25，求f (x)；
(4)定义在区间(−1,1)上的函数f (x)满足2f (x)−f (−x)= x
2，求f (x)的解析式．
【解题思路】（1）利用配凑法求解即可；
（1）利用配凑法或换元法求解即可；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）利用方程组法求解即可.
【解答过程】（1）因为f (x +2)=2 x +3=2(x +2)−1，
所以f (x)=2 x−1．
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（2）解法一（换元法）：令t =√x +1，t ≥1，则x =(t −1)
2，
所以f (t )=(t −1)
2+2(t −1)=t
2−1(t ≥1)，
所以f (x)= x
2−1(x ≥1)．
解法二（配凑法）：f (√x +1)= x +2√x =(√x +1)
2−1，
因为√x +1≥1，所以f (x)= x
2−1(x ≥1)．
（3）设f (x)=kx +b(k ≠0)，
则f (f (x))=k (kx +b)+b=k
2 x + kb+b=16 x−25，
所以¿，解得¿或¿，
所以f (x)= 4 x−5或f (x)=−4 x + 25
3
．
（4）对任意的x∈(−1,1)有−x∈(−1,1)，
由2f (x)−f (−x)= x
2，①
得2f (−x)−f (x)=(−x)
2，②
联立①②解得，f (x)= x
2(−1< x<1)．
【题型6 函数值域的求解】
【例6】（2023 上·福建厦门·高一校考期中）已知函数f ( x)= x
2−2 x−2, x∈[−2,2]，函数f ( x)的值域
为（ ）
A．[−3,6]
B．[−2,6]
C．[2,10]
D．[1,10]
【解题思路】根据二次函数的性质即可得到值域.
【解答过程】f ( x)= x
2−2 x −2=(x −1)
2−3，
因为x∈[−2,2]，所以f (x)的值域为[f (1),f (−2)]，即[−3,6]，
故选：A.
【变式6-1】（2023 上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）函数y =1−x +√1−2 x的值域为（ ）
A．(−∞, 1
2]
B．[0，+∞)
C．[
1
2 ,+∞)
D．(
1
2 ,+∞)
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【解题思路】令√1−2 x =t，(t ≥0)，可得y = (t +1)
2
2
，利用函数单调性求值域.
【解答过程】令√1−2 x =t，(t ≥0)，则x = 1−t
2
2
，
所以函数y =1+ t
2−1
2
+t = t
2
2 +t + 1
2 = (t +1)
2
2
，函数在[0,+∞)上单调递增，
t =0时，y有最小值1
2
，
所以函数y =1−x +√1−2 x的值域为[
1
2 ,+ ∞).
故选：C.
【变式6-2】（2023 上·河南郑州·高一统考期中）下列函数中与函数y=√x
2值域相同的是（ ）
A．y=x
B．y=1
x
C．y =−x
2
D．y = x
2−2 x +1
【解题思路】先得出函数y=√x
2值域，再由一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行判断.
【解答过程】函数y=√x
2=|x|≥0
，故其值域为[0,+∞).
对于A，函数y=x 的值域为R，故A 错误；
对于B，函数y=1
x
的值域为¿，故B 错误；
对于C，函数y =−x
2≤0，其值域为(−∞,0]，故C 错误；
对于D，y = x
2−2 x +1=( x−1)
2⩾0，其值域为[0,+∞)，故D 正确；
故选：D.
【变式6-3】（2023 上·安徽芜湖·高一校考阶段练习）在实数集R中定义一种运算“∗”，具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a∗b=b∗a；
②对任意a∈R，a∗0=a；
③对任意a，b∈R，(a∗b)∗c =c∗(ab)+(a∗c)+(b∗c)−2c．
则函数f (x)= x∗x
2 (x∈[−2,2])的值域是（ ）
A．(−∞,5)
B．[−9
8 ,5]
C．[
9
8 ,+∞)
D．[−5,5]
【解题思路】注意新定义的运算方式即可.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解答过程】在③中，令c =0，则a∗b=ab+a+b，所以f (x)= x∗x
2 = x
2
2 + 3 x
2 = 1
2(x + 3
2)
2
−9
8．
函数f (x)在x =−3
2
时取最小值，最小值为−9
8
；在x =2时取最大值，最大值为5，所以函数
f (x)= x∗x
2 (x∈[−2,2])的值域是[−9
8 ,5]．
故选：B．
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】
【例7】（2023 上·吉林长春·高一校考阶段练习）若函数f (x)=(2a
2+5a+3) x
2+(a+1) x−1
的定义域值
､
域都为R,则实数a满足
A．a=−1或a=−3
2
B．−13
9 <a<−1
C．a≠−1且a≠−3
2
D．a=−3
2
【解题思路】根据题意f ( x)表示一次函数，可得出系数的特征，即可求出结论.
【解答过程】若2a
2+5a+3≠0，f ( x)表示二次函数，值域不为R，不合题意.
所以f ( x)为一次函数，¿解得a=−3
2
.
故选:D.
【变式7-1】（2023·全国·统考一模）函数f ( x)= x
2−4 x −6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]，则m
的取值范围是
A．[0，4]
B．[4，6]
C．[2，6]
D．[2，4]
【解题思路】因为函数f (x)= x
2−4 x−6的图象开口朝上，由 f (0)= f (4)=−6,f (2)=−10，结合二次函
数的图象和性质可得m的取值范围.
【解答过程】函数f (x)= x
2−4 x−6的图象是开口朝上，
且以直线x =2为对称轴的抛物线，
故f (0)= f (4)=−6,f (2)=−10，
∵函数f (x)= x
2−4 x−6的定义域为[0,m],值域为[−10,−6]，
所以2≤m≤4，
即m的取值范围是[2,4],
故选D.
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【变式7-2】（2022 上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知f ( x )= a x
2+(a-4)⋅x -2
1+ x
2
．
(1)若a=4时，求f (x)的值域；
(2)函数g( x )=(x
2+1)f ( x )+5
2
，若函数ℎ( x )=√g( x )的值域为[0,+∞)，求a 的取值范围．
【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.
【解答过程】（1）由a=4，则f (x)=4 x
2-2
1+ x
2
=4(1+ x
2)-6
1+ x
2
=4-6
1+ x
2
，
由不等式性质，则x
2≥0，1+ x
2≥1，0<1
1+ x
2 ≤1，0>-6
1+ x
2 ≥-6，4>4-6
1+ x
2 ≥-2，
故f (x)∈[-2,4)，即f (x)的值域为[-2,4).
（2）由题意，g(x)=(x
2+1) a x
2+(a-4) x -2
1+ x
2
+5
2 =a x
2+(a-4) x +1
2
，
由函数ℎ( x )=√g( x )的值域为[0,+∞)，则g(x)≤0有解且g(x)无最大值，
当a=0时，符合题意；
当a≠0时，根据二次函数的性质，可得¿，
其中(a-4)
2-2a≥0，a
2-8a+16-2a≥0，a
2-10a+16≥0，(a-2)(a-8)≥0，解得a≤2或a≥8，
综上，故a∈[0,2]∪[8,+∞).
【变式7-3】（2023 上·广东广州·高一校考期中）已知函数f (x)满足f (x +1)= x
2+ x +1．
(1)求f (1)的值，并求出f (x)的解析式；
(2)若函数g( x)= f ( x)−(2t −1)x，且g( x)在[ 4,5]的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t 的取值范
围．
【解题思路】（1）令x=0 代入求f (1)；利用构造法求f (x)的解析式；
（2）g( x)= x
2−2tx +1，讨论对称轴与区间[ 4,5]的关系，分别求出最小值和最大值，列不等式解出t 的
范围.
【解答过程】（1）因为函数f (x)满足f (x +1)= x
2+ x +1
所以令x=0 得：f (1)=0
2+0+1=1，即f (1)=1.
由f (x +1)= x
2+ x +1=(x +1)
2−x =(x +1)
2−(x +1)+1得：
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f (x)= x
2−x +1.
（2）函数g( x)= f ( x)−(2t −1)x = x
2−2tx +1，对称轴为x=t.
当t ≤4时，g( x)在[ 4,5]单调递增，所以g( x)max = g(5)，g( x)min= g(4)，所以有g(5)−g(4)<4，即
(25−10t +1)−(16−8t +1)<4，解得：t > 5
2
，所以5
2 <t ≤4；
当4<t ≤4.5时，g( x)在[ 4 ,t ]单调递减，在[t ,5]单调递增，且|5−t|≥|t −4|，所以
g( x)max = g(5)=26−10t ，g( x)min= g(t )=−t
2+1，所以有g(5)−g(t )<4，即
(25−10t +1)−(−t
2+1)<4，解得：3<t <7，所以4<t ≤4.5；
当4.5<t ≤5时，g( x)在[ 4 ,t ]单调递减，在[t ,5]单调递增，且|5−t|<|t −4|，所以
g( x)max = g(4)=17−8t ，g( x)min= g(t )=−t
2+1，所以有g(4)−g(t )<4，即(17−8t )−(−t
2+1)<4，
解得：4−√2<t <4+√2，所以4<t ≤4.5；
当t >5时，g( x)在[ 4,5]单调递减，所以g( x)max = g(4)，g( x)min= g(5)，所以有g(4)−g(5)<4，即
(25−10t +1)−(16−8t +1)<4，解得：t < 13
2
，所以5<t < 13
2
；
综上所述：5
2 <t < 13
2
.
即实数t 的范围是(
5
2 , 13
2 ).
1．（2015·山东·统考高考真题）函数y =√x +1+ 1
x
的定义域为（ ）
A．¿且x≠0}
B．¿
C．¿且x≠0}
D．¿
【解题思路】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.
【解答过程】由函数解析式有意义可得
x +1≥0且x≠0
所以函数的定义域是¿且x≠0}，
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故选：A.
2．（2022·北京·统考高考真题）函数f ( x)= 1
x +√1−x的定义域是 (−∞,0)∪(0,1] ．
【解题思路】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【解答过程】解：因为f (x)= 1
x +√1−x，所以¿，解得x ≤1且x≠0，
故函数的定义域为(−∞,0)∪(0,1]；
故答案为：(−∞,0)∪(0,1].
3．（2021·浙江·统考高考真题）已知a∈R，函数f ( x)=¿若f [f (√6)]=3，则a=
2
.
【解题思路】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.
【解答过程】f [f (√6)]= f (6−4)= f (2)=|2−3|+a=3，故a=2，
故答案为：2.
4．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数f ( x)=¿则f(f(
1
2))= 37
28
；若当x∈[a,b]时，1≤f ( x)≤3，
则b−a的最大值是 3+√3 ．
【解题思路】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
【解答过程】由已知f ( 1
2 )=−(
1
2)
2
+2= 7
4 ，f ( 7
4 )= 7
4 + 4
7 −1= 37
28，
所以 f[f ( 1
2 )]= 37
28，
当x ≤1时，由1≤f ( x)≤3可得1≤−x
2+2≤3，所以−1≤x ≤1，
当x>1时，由1≤f ( x)≤3可得1≤x + 1
x −1≤3，所以1< x ≤2+√3，
1≤f ( x)≤3等价于−1≤x ≤2+√3，所以[a,b]⊆[−1,2+√3]，
所以b−a的最大值为3+√3.
故答案为：37
28 ；3+√3.
5．（2022·北京·统考高考真题）设函数f ( x)=¿若f ( x)存在最小值，则a 的一个取值为
0 （答案不唯一）
；a 的最大值为
1
．
【解题思路】根据分段函数中的函数y =−ax +1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符
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合条件，a>0时函数y =−ax +1没有最小值，故f ( x)的最小值只能取y =( x−2)
2的最小值，根据定义域讨
论可知−a
2+1≥0或−a
2+1≥(a−2)
2， 解得 0<a≤1.
【解答过程】解：若a=0时，f ( x)={
1
( x−2)
2 , x<0
, x ≥0，∴f ( x)min=0；
若a<0时，当x<a时，f ( x)=−ax +1单调递增，当x→−∞时，f ( x)→−∞，故f ( x)没有最小值，不符
合题目要求；
若a>0时，
当x<a时，f ( x)=−ax +1单调递减，f ( x)>f (a)=−a
2+1，
当x>a时，f ( x)min={
0
(a−2)
2¿(0<a<2)
(a≥2)
∴−a
2+1≥0或−a
2+1≥（a−2）
2，
解得0<a≤1，
综上可得0≤a≤1；
故答案为：0（答案不唯一）；1.
6．（2020·山东·统考高考真题）已知函数f (x)=¿.
（1）求f [f (1)]的值；
（2）求f (|a−1|)<3，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断|a−1|的取值范围，再代入分段函数解析式，得到f (|a−1|)<3的具体不等式写法，解不等式
即可.
【解答过程】解：（1）因为1>0，
所以f (1)=2×1−5=−3，因为−3<0，
所以f [f (1)]= f (−3)=(−3)
2+2×(−3)=3.
（2）因为|a−1|≥0，
则f (|a−1|)=2|a−1|−5，
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因为f (|a−1|)<3，所以2|a−1|−5<3，
即|a−1|<4，解得−3<a<5.
