限时练3
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 广东广州模拟)已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|x2-2x≤0},若B⊆A,则实数a 的取值
范围是( )
A.(0,2)
B.(0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
2.(2025 河南郑州二模)已知圆锥的侧面展开图是半径为3 的半圆,则该圆锥的体积为(
)
A.2π
3
B.9 ❑√3 π
2
C.9 ❑√3 π
8
D.2❑√2π
3
3.(2025 江苏南通模拟)设等比数列{an}的前n 项之积为Tn,若T2=8,T3=4,则T5的值为(
)
A. 1
32
B.1
8
C.1
2
D.1
4.(2025 湖南湘潭三模)已知椭圆C: x
2
m
2+y2=1(m>0)的离心率为❑√3m,则C 的短轴长为(
)
A.1
2
B.1
C.2
D.3
5.(2025 湖北武汉二模)现有甲、乙两个AI 大模型,在对甲、乙两个大模型进行深度体验
后,6 位评委分别对甲、乙进行打分(满分10 分),得到如图所示的统计表格,则下列结论不
正确的是( )
评委编号1
2
3
4
5
6
甲
7.0
9.3
8.3
9.2
8.9
8.9
乙
8.1
9.1
8.5
8.6
8.7
8.6
A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
B.甲得分的众数大于乙得分的众数
C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
6.(2025 湖北七市州二模)已知向量m=(1,0),向量a 满足|a-4m|=|m|,则|a|的最小值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
7.(2025 山东潍坊二模)已知角α 的顶点与坐标原点O 重合,始边与x 轴非负半轴重合,其
终边与圆O 交于点A(3,4).若角α 终边沿逆时针方向旋转角θ,交圆O 于点B(-
❑√2
2 , 7 ❑√2
2
),
则角θ 可能为( )
A.75°
B.105°
C.375°
D.405°
8.(2025 浙江衢州、丽水、湖州二模)过抛物线C:y2=4x 焦点F 的直线与抛物线交于A,B
两点,过点A 作C 的切线l 交x 轴于点M,过点B 作直线l 的平行线交x 轴于点N,则|FM|
+4|FN|的最小值是( )
A.12
B.10
C.9
D.8
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 浙江金华模拟)已知复数z1,z2互为共轭复数,则( )
A.|z1|=|z2|
B.z1·z2=|z1||z2|
C.|z1-z2|2=-(z1-z2)2
D.| z1
z2
|
2=( z1
z2
)2
10.(2025 河北衡水模拟)已知函数f(x)=cos xsin x,下列说法中正确的有( )
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间[0,π
4
]上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x=3 π
4
对称
D.f(x)的最小正周期为π
2
11.(2025 山东济宁二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P 在正方体的内切球
表面上运动,且满足BP∥平面ACD1,则下列结论正确的有( )
A.BP⊥B1D
B.点P 的轨迹长度为π
C.线段BP 长度的最小值为
❑√6
6
D.⃗BP·⃗BC1的最小值为1-
❑√3
3
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 山东泰安二模)若函数f(x)=ex-ax 与直线y=x 相切,则实数a 的值为
.
13.(2025 江苏苏北七市三模)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),且f(x)=
{
2cos π
2 x,-1< x ≤1,
1-| x -2|,1< x ≤3,
则方程3f(x)=x 的实数解的个数为 .
14.(2025 福建宁德三模)已知数列{an}共有m+k 项(n=m+k,m≥k,m,k∈N*),其中m 项为
0,k 项为1.若数列{an}满足对任意i≤m+k,a1,a2,…,ai中的0 的个数不少于1 的个数,则称
数列{an}为“规范数列”.当m=3,k=3 时,“规范数列”的个数为 ,记Pm+k表示
数列{an}是“规范数列”的概率,则Pm+2的最小值为 .
答案：
1.D 解析 由题得,B={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}.
因为B⊆A,则a≥2,则实数a 的取值范围是[2,+∞).故选D.
2.C 解析 设圆锥底面圆的半径为r,高为h,母线长为l,则l=3,2πr=3π,所以r=3
2
,所以h=
❑√l
2-r
2= 3 ❑√3
2
,所以该圆锥的体积为1
3 πr2h=1
3 π ×(3
2
)2× 3 ❑√3
2
= 9 ❑√3 π
8
.故选C.
3.A 解析 因为T2=8,T3=4,故a3=T 3
T 2
= 1
2,所以T5=a1a2a3a4a5=a3
5= 1
32 .故选A.
4.B 解析 依题意,0<❑√3m<1,即0<m< 1
❑√3
,则C 的焦点在y 轴上,因此❑√3m=
❑√1-m
2
1
,所以
m=1
2
,故椭圆C 的短轴长为2m=1.故选B.
5.A 解析 甲、乙的得分从小到大排列如下,甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,
乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,甲得分的中位数为8.9,乙得分的中位数为8.6,则甲得分的中位
数大于乙得分的中位数,故C 正确;甲得分的众数为8.9,乙得分的众数为8.6,则甲得分的
众数大于乙得分的众数,故B 正确;甲得分的平均数为7.0+8.3+8.9+8.9+9.2+9.3
6
=8.6,乙得分的平均数为8.1+8.5+8.6+8.6+8.7+9.1
6
=8.6,所以甲得分的平均数等
于乙得分的平均数,故A 错误;甲得分的方差为s1
2= 1
6 ×[(7.0-8.6)2+(8.3-8.6)2+(8.9-
8.6)2+(8.9-8.6)2+(9.2-8.6)2+(9.3-8.6)2]≈0.613 3,乙得分的方差为s2
2= 1
6 ×[(8.1-8.6)2+(8.5-
8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.7-8.6)2+(9.1-8.6)2]≈0.086 7,
故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D 正确.故选A.
6.C 解析 设a=(x,y),则a-4m=(x-4,y).又|a-4m|=|m|,即❑√( x - 4)
2+ y
2=1,所以(x-4)2+y2=1,
所以y2=1-(x-4)2≥0,解得3≤x≤5,所以|a|=❑√x
2+ y
2=
❑√x
2+1-( x - 4)
2= ❑√8 x -15,所以当
x=3 时,|a|取得最小值,且最小值为3.故选C.
7.D 解析 因为角α 的终边与圆O 交于点A(3,4),所以cos α=3
5
,sin α=4
5 .设旋转后的角
为β,且旋转后的角交圆O 于点B(-
❑√2
2 , 7 ❑√2
2
),则cos β=-
❑√2
10
,sin β=7 ❑√2
10
,得到sin θ=sin(β-
α)=7 ❑√2
10 × 3
5
-(-
❑√2
10
)× 4
5 = 25 ❑√2
50
=
❑√2
2
,cos θ=cos(β-α)=(-
❑√2
10
)× 3
5 + 7 ❑√2
10 × 4
5 = 25 ❑√2
50
=
❑√2
2
,故
θ=45°+2k·180°,k∈Z,当k=1 时,θ=405°,故D 正确.故选D.
8.C 解析 设A(t2,2t),焦点F(1,0),设直线AB 的方程为x=my+1,则{
x =my +1,
y
2= 4 x,
化简得y2-4my-4=0,所以y1y2=-4,x1x2= y1
2
4 · y2
2
4
=1,所以B( 1
t
2,-2
t ),设在点A 处的切线方程为
y-2t=k(x-t2),{
y -2t =k ( x -t
2),
y
2= 4 x,
化简得ky2-4y-4t2k+8t=0.因为Δ=16-4k(-4t2k+8t)=0,化简得
k=1
t
,则在点A 处得切线方程为y-2t=1
t
(x-t2),即ty=x+t2.令y=0,则x=-t2,故M=(-t2,0),则|
FM|=1-(-t2)=1+t2.过点B 作直线l 的平行线BN,故kBN=1
t
,所以直线BN 的方程为y+2
t = 1
t
(x- 1
t
2).令y=0,则x=2+ 1
t
2,故N(2+ 1
t
2,0),|FN|=|1-(2+ 1
t
2)|=1+ 1
t
2,所以|FM|+4|FN|=1+t2+4(1+
1
t
2)=t2+ 4
t
2+5≥9,当且仅当t2=2 时,等号成立,|FM|+4|FN|取到最小值9.
9.ABC 解析 设z1=a+bi,则z2=a-bi.
对于A,|z1|=|z2|=❑√a
2+b
2,故A 正确;
对于B,z1z2=a2+b2,|z1||z2|=a2+b2,故B 正确;
对于C,z1-z2=2bi,|z1-z2|2=(2b)2=4b2,-(z1-z2)2=-(2bi)2=4b2,故C 正确;
对于D,设z1=1+i,z2=1-i,则z1
z2
= 1+i
1-i =(1+i)
2
(1-i)(1+i) =i,则| z1
z2
|2=|i|2=1,( z1
z2
)2=i2=-1,故D 错误.
故选ABC.
10.BC 解析 由题可得,f(x)=cos xsin x=1
2
sin 2x,则f(x)的最大值为1
2
,故A 错误.因为正弦
函数y=sin x 的单调递增区间为[2kπ-π
2
,2kπ+π
2
],k∈Z,令2kπ-π
2 ≤2x≤2kπ+π
2
,k∈Z,解得
kπ-π
4 ≤x≤kπ+π
4
,k∈Z.当k=0 时,函数f(x)的单调递增区间为[-π
4 , π
4
],[0,π
4
]⊆[-π
4 , π
4
],所以
f(x)在区间[0,π
4
]上单调递增,故B 正确.因为正弦函数y=sin x 的对称轴方程为x=kπ+π
2
,k∈Z.令2x=kπ+π
2
,k∈Z,解
11.得x=k π
2 + π
4
,k∈Z.当k=1 时,x=π
2 + π
4 = 3 π
4
,所以f(x)的图象关于直线x=3 π
4
对称,故C
正确.在f(x)=1
2
sin 2x 中,ω=2,所以f(x)的最小正周期T=2π
2
=π,故D 错误.故选BC.
11.ACD 解析 以D 为原点,DA,DC,DD1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空
间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),A1(1,0,1),C1(0,1,1),正方体的内切
球的球心为正方体的中心O(1
2 , 1
2 , 1
2
),半径r=1
2 .因为⃗AC=(-1,1,0),⃗A D1=(-1,0,1),设平面
ACD1的法向量为n=(x,y,z),则{
n·⃗AC =- x + y =0,
n·⃗A D1=- x + z =0,
令x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1).对
于选项A,⃗B1 D=(-1,-1,-1),因为BP∥平面ACD1,所以⃗BP·n=0.又⃗B1 D=-n,所以⃗BP·⃗B1 D=0,
即BP⊥B1D,故A 正确.对于选项B,因为BP∥平面ACD1,平面ACD1∥平面A1BC1,所以点
P 的轨迹是平面A1BC1与正方体内切球的交线,此交线为圆,记圆心为O1.设平面A1BC1与
正方体的中心O 的距离为d,⃗B A1=(0,-1,1),⃗BC1=(-1,0,1),设平面A1BC1的法向量为
m=(a,b,c
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更新永不过期{
m·⃗B A1=-b+c =0,
m·⃗BC1=-a+c =0,
令a=1,则b=1,c=1,得m=(1,1,1).又⃗O A1
=(1
2
,-1
2 , 1
2
),
所以点O 到平面A1BC1的距离为d=|⃗O A1·m|
|m|
=
| 1
2 - 1
2 + 1
2 |
❑√3
=
❑√3
6
,所以圆O1的半径为
r1=❑√r
2-d
2= ❑√( 1
2 )
2-(
❑√3
6 )
2=
❑√6
6
,所以圆的周长l=2πr1=
❑√6 π
3
,即点P 的轨迹长度为
❑√6 π
3
,
故B 错误.对于选项C,因为⃗BO=(-1
2
,-1
2 , 1
2
),则|⃗BO|=
❑√3
2
,即BO=
❑√3
2
,点P 在球面上,BO1=
❑√BO
2-d
2= ❑√(
❑√3
2 )
2-(
❑√3
6 )
2=
❑√6
3
,线段BP 长度的最小值为BO1-
❑√6
6 =
❑√6
3 −
❑√6
6 =
❑√6
6
,故C
正确.对于选项D,设⃗BP与⃗BC1夹角为θ,⃗BC1=(-1,0,1),|⃗BC1|=❑√2.在平面直角坐标系中,
B(0,
❑√6
2
),C1(-
❑√2
2
,0), P(x,y),O1(0,
❑√6
6
),⃗BC1=(-
❑√2
2
,-
❑√6
2
),⃗BP=(x,y-
❑√6
2
),所以x2+(y-
❑√6
6
)2=(
❑√6
6
)2.令x=
❑√6
6
cos θ,y=
❑√6
6 +
❑√6
6
sin θ,⃗BP·⃗BC1=-
❑√2
2
x-
❑√6
2
y+3
2
=1-
❑√3
3
sin(θ+π
6
)≥1-
❑√3
3
,所以⃗
BP·⃗BC1的最小值为1-
❑√3
3
,故D 正确.
故选ACD.
12.e-1 解析 设切点为(x0,e
x0-ax0).由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a,
故切线斜率1=e
x0-a,
则e
x0-a x0
x0
=1,
即e
x0-a x0
x0
=e
x0-a,
解得x0=1,所以a=e-1.
13.5 解析 由函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),则f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4,由f(x)=
{
2cos π
2 x,-1< x ≤1,
1-| x -2|,1< x ≤3,
则f(8)=f(0)=2cos 0=2,可得f(x)的图象如图.
方程3f(x)=x 的解,即为f(x)与y=1
3
x 的交点横坐标,且当x>8 时,y=1
3
x>8
3
>2,
由图可知,两图象交点个数为5,即方程3f(x)=x 的实数解的个数为5.
14.5 1
3
解析 当m=3,k=3 时,满足要求的“规范数列”有
0,0,0,1,1,1;0,0,1,0,1,1;0,0,1,1,0,1;0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1.所以当m=3,k=3 时,“规范数列”的
个数为5.当n=m+k,m≥k,m,k∈N*时,具有“规范数列”数列特征的数列{an}的个数为
f(m,k).当k=2,m≥2,m∈N*时,由已知数列{an}共有m+2 项,其中m 项为0,2 项为1,所以满
足条件的数列{an}的个数为Cm+2
2
.若数列{an}为“规范数列”,则第一项为0.若第一项为
0,第二项为0,“规范数列”的个数为Cm
2 ;若第一项为0,第二项为1,第三项必然为0,此时
“规范数列”的个数为Cm-1
1
.所以f(m,2)=Cm
2 +Cm-1
1
.故Pm+2=
f (m,2)
Cm+2
2
=
m
2+m-2
(m+2)(m+1) = m-1
m+1=1-
2
m+1 .因为函数y=1- 2
x +1在区间[2,+∞)上单调递增,
所以当m=2 时,Pm+2取最小值,(Pm+2)min=1-2
3 = 1
3 .
