🌈
⾼三冲刺笔记-函数（⼗⼀）
考点归纳：周期性与对称性
^
ㄧ
. 周期性
1. 周期函数:
对于⽐
E D ,
有⽔州) = 抝,
则沩州周期。
2
. 关于周期性结论:
⼼
若flxnfcxt a)
,
则Fa
1
(2) 若flxtat.fm) ,
则FM
1 3)
若flxtakt.fm
, 则
仁2K
逑左右同时加a ,
这:
左右同时加a
,
> fcxtaat.fma)
>
fcxt2attfcxtaj.fm
a)
-_- fxl
7
flxtzakflxli.fm
) = f#201
iF2ci.it
= 2a
T
(4) 茬flxtakflx.cl)
, 则Fza
(5) 若fcxtakflxtb)
( ⽐b)
, 则下b
- a
球左右同时加a
还同时减a
> flxtzar.fm
> flxiflxtb.at
T
T
.it:24
i.F.ba
161 , 若fcxtat.tl Xtb )
, 则I: 2 b_d
(7) 若fxtaj.HN
,
则在29
址:
⽗𣲚x -a
还在硐时加9
7
: fcxt-flx.at b)
7 iflxtz.at tflxta )
再全x_x atb
i.fi#2a):fMi7if(x-atb)=-flX-2at2bl-iT=2a.i-fM=-flx-2at2b1.iflx)=
flx-z.at 2b)
T.iF2lb.at
⼆、对称性:
1
. 轴对称?
II)
flatx)
= f (a N
(2 ) fczatxkfix)
(3)
fcatxkflb-xifca.to
fcatxfta
.fi#2a)fcbx)
•
•
fcatxi.in
狱
axa
atx
a.la
atlxtal
b-xatbatx.li
什29
2
)
关于阰对称
了关于xa对称
, 并于仁! 对称
2点对称
:
(n fn) =
- fcaxl
⼭flzatxt.ttN
(3) fwxk.fm
• futxl
˙ f (如以
@
flNNaxca.oj.Msiixidxtai.co
eo
oca.snatcxtg
没X_x
"
断如1
..ca
i)
atcxta)
⑥
拟1
fi
•
抝
了关于
( a . 01 对称
) 关于
( a . 01 对称
) 关于
( a . 01 对称
141 fcatxj-fcbxlfcatxltflbxlil51fcatxkcflbxjfcatxltfcb-D-C.tn
fcatxjfj-fcbxjb-x.no
Ü
, i)
• fcatx)
。
(t p)
以
bx
⼋
gn.iq
㜆
flbx)
fcbxiǎo
˙
atx
céo
fcbxtā
> 关于
( 2"
, " 对称
, 关于
( E"
, i
) 对称
三
两轴两中⼼
,
⼀轴
⼀中⼼
l.fm 关于
X = a 和
仁b 对称
> T = 2
b
- a
证明:
" fm 关于x- a 对称
" fnfaax)
fM 关于
⽔b
对称
7
flxkfczb-xj.ifcza-xji.fl2b-xlix-ax-iflxkflxtzb-2al.IE
2 b_d
2.fm 关于
( a . 0 ) 和
C b .
0) 对称
了
下2
b - a
址:
iflx) 关于(a . o ) 对称
, flatxk-fca-xl7fna-xk.fm
抛关于
(b . o ) 对称
7
flbtxl-flb-xlifczb-xk-flxl.ifcza-xr.fi
21.x)
⽗
⼩
2a-X.iflxkflxt2b-2a13.fm
并于⼼
和
C b . 0 ) 对称
7
下个
b
-a
球
⼀f ix) 关于x- a 对称
sfcaxkfcatxlnxxtifcb-xkfcxtza.by
抛关于
(b . 0 1 对称
>
flb-xli-flbtxl.ifcxtaa.by
-_- flbtx )
再全X_X
- b
得
flxt2a-2bk.fi Xl
1
再令
X = 20 - 2b 得flxtzta-4bk-fcxtz.cn -2b)
2
. i
由
1
2
得
fcxtM-4bkfM.IE
41501
四、
周期对称与奇偶性:
l.fm 为奇函数
, 关于Xaa 对称
7 F4 a
2天:
⼀: 拟关于xa 对称
> fnatxj.fr 们
且拟为奇
,
rifxk-fb.at x )
⽗⽔做a.
得
flxtaan-fcxttalz-fixl-iflxkflxtMI2.fm
为奇
,
关于
( a . 0) 对称
了
下291
还ifnn 关于
(a . 0) 对称
了fcatxkfcax1时M 为奇,
i-fuxl-fcx-al-ifcatxl-fcx-aj.iflxkfcxtaaja.FM
题型训练：根据周期性求值
🌶
3
. 抝为偶函数
, 并于⼼对称
,
7Th
逑
… fnn 关于仁(对称
, fczatxj.frx )
且为偶函数
。: f(⾮
fwnl.i.FM
T.fm 为偶函数, 关于(a . 0 ) 对称
> 不4191
逑ifcx ) 关于(a . 0 ) 对称
> flzaxl-f.nl 1
且为偶函数
⼀:
fcaa-xl-fcx-2al.ifcx-2aji-f.IN
全加做a
得flxi-fcxtz.at
再⽗⽕Xtza 得
flxtzai-fcxttal.iflxiflxtul.it
Ha
总结归纳:
周期性与对称性区分
flxtal
ftxtal
" 内同为周期
"
atb
5Mt b)
EI.ba
⽔
2
'
" 内弄外同对称轴
"
" 内弄外弄对称中⼼
"
- fcxtblE2lb-a.li!
, o )
B.
解: 对于A :
⽗gnflxltxiflN.glx_x
,
由
flxtlk-flxltz.tl/.iflxty=GcXtl)-X-l=-fMtaxtl=-gcxltXt2Xtl.igcxtH--9cxlt
4ㄨ+2
、排除
对于B :
⽗glxkfM-xsfM.glXltx ,
由⼩州-.-
flxlt2xtlx.ifcxtll-gcxtlltxtli-flxlt2Xtli-9M-xt2Xtl.iglxtlli-9M.it
M2) = f (X)
同理排除C.
D.
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
B
ltfcx.tn
Hflx
-4)
解: fcx-21-rflx-ifnn.lt
1 ⼨以4)
1
1t f(x-4)
=
- f(*4)
1
1
-
1 -
flxifnmk-fcx.no
,
即
flxkflxoll.IT?8.if(2o22)=f(252x8t6)=fl6):-fl2)=-2tB=B-2
解: f的
- fliix (iii) ⼆年
D
解
"
, 拟为奇
.
i f 10) ⼆
了
,
且fcxkfcxtl )
即仁1
. i f (3 ) : f (21 = f 1
- 1 ) = f ( 1) = f 12)
= f(3) = o
i i f (主) : f ()
, f 的-_- fsiflifl.it:0
即f 㣍= o
( k-o.lt ± 1
, k: ± 2
,
K = ± 3
.
K = ± 4,
k= ± 5 ,
k==161 共
13 个
B
解由题下4 .
f(2022)
= f (我和6
- 2)
= f(2)
= 9 + 1
=
1 0
13
解,
由题下6
ifcntfmt.itf (6)
⼆fcntfmtfc-tfmtfc-ytfme.lt
2 t
( - 1 ) t O t
( - 1 )
to-l.ifllltfl2lt-i.tt
( 20 1 7 )
= 336 t f 120 17 )
= 33 6 t f1 1 ) =
336-1
1 = 337
📍
题型训练：奇偶性与周期性对称性综合
🌶
⼀
,
A
1
解
"
flxti-fb-ifcxt4k-fuj-fMEPF-41.it
(20 1 21 )
= f ( 503 X4
-1 2)
= f 12)
- i f (4) = 2B.fRF.fm2)
=
- 203
" "
解
?
T
= 2
.
f 10 )
= f (2) = f ( 4 )
= f ( 6 ) =
…
= f ( 20 1 8 ) = o
f( 1 1
= f1 3)
= f ( 5 )
= f (T)
=
,
…
= f (20 19 )
=
2
- 1 = 1
. ifloltfllltfmt.int f( 20 1 9 1
=
1 00 9
X
o t
1 0 10 X 1
=
10 10
.
B
关于⽔1 对称
⼈
④
解:
2
i f (
- 1 )
> f( o ) =f(2 )
- 9 0
0
X: 1
D
解:
"
fmfm.ifmifi.fi过
得
˙
2
那加1 < f 的⼈拨)
X: 1
🌶
B
解
.
i f 分) = f5 )
, fcikf 的
当加1 fnj -1
且③
< 李奇
萨奇
- i f的afsaf 的
B
i
i
i
i
1
1
.!
!
>
2✗173 或
2*1<-1
解:
2州
3
2* 1
. :
)( > ⼜或
x < o
* 1
B
解:
. i
i
˙
'
i
o ≤M
≤2
ox.IM
2
即
《X ≤3
M
B.
解: ifmtflzxko.fm 关于
( 1 . 0) 对称
1
""
或1
X "
i
f(x
- 2) 》。
fcxn ≤,
1
x ≤,
0
ix.io
即|
x≥,
3
5
x
- 2 ←3 或
1 ≤*2 ⼆5
或
13 ≤x
-2
≤1或
X-225
' fN
…
3 ≤X
≤7
或
⼗≤x ≤,
B
解
由题抛光于10 . 0) 对称加为奇
,
ifm-o.iq :)
🌶
A
flatxjtfcb-xjicftn.fm》
关于幽
, 这对称
解
….fi 4Mt fx) =2
> 关于点( 2 .
1 ) 对称
⼜加1 关于加个对称
且fc4txkfl4-xl.it:8
⽗做
'
⽗作6 . f ( -2) + f (61 : 2
则f (2) t f (2)
= 2
. i f (21
= 1
, f ( 6) = f 12) : 1
. i f ( 2 ) :
1
A
解
:
fc2.xjtflxl-i.fiX) 关于" " 对称
| F。
不扣了关于⼩3 对称
i.fi 3M
= f( 3
- X)
⽗⽔1
7 f ( 1 )
= 2-加
7f ( 1 1 =
1
⽗作6
f (9 1
=f ( 3 )
= f (叫
B
f l#2 ) =
-f (⽕)
^
i F 2 .
解
, : 扣为偶
且
fcxtlltfcxl-osF2.li
io
f (
- 65 ) :f (
- 0.5 ) = fio.57.ifc-n.fi。5) > fb)
-
1
.
D
f (州
解:
> fN) 关于
X :
- 2 对称
⾃由flxltflx ) : 2 关于( 0 .
1
)对称
*3
- i F4
-2 - 0 1
= 8
.f(2022 1
= f ( 8ㄨ252
-1 6 )
=f(6 ) = f( -2)
= 2 -f(2) =
- 2 .
B
解:
" f) 为奇
且fcztx )
= f (2.x )
> F 8
if(20 22) = f (2)
⼆⼨(21 = - 4
-a :0
i d : -4
fcatx)
=
-f
( a - x )
B
,
解扣并于⼼⻔
和州对称
i 下8
,
且fc-ltxk-fc-l-xllftxtn.fm
-1 1 1
2
⽘州
扣)
= f(2)
⼆2ktm
f (3)
=
3
ktm.i2ktm-3k-mi-ki-l.im
⽗们
, 由
1
f (
- 1)
=
- fc-yifc.in ,
全⼼
,
由
2 fN = f(3)
= O
i f (3) :
3 ktm-o.im :
-3
i f (⾮⼩了
i f (2 0 22) = f ( 252 X 8
-1 6 ) = f ( 6)
= f(
-2)
=
-f( 2) =
- (2-3) = 1
⼜⽗⽔⼗代⼊
1
2 f -2 ) =
- 扣) l
i f (2 1 =
- fl - 2)
"
f (2) = f(o )
1
C
解
i fM为偶且关于(
1 . 01 对称
> I =4
⽇fcokl.fuko.fm
-_- 扣)=
- 1
f (3 ]
=
- f ( - 1 ) =
-
fllko.ifcoitfl.it
f (2 ) t f( 3 ) = o
i f (o) t
… + f(
2 0 2 2 )
⼆505
xotfloltflntfki.sc
解
由题fnf
ㄨ( 洲
, ⼼
…
f ( X) 与f ( 2
-x ) 关于⽔1 对尔尔
"
xcxt 4)
,
加
t
i
i
h
=
1
q
!
"
2
d
i
i
2
. 4⼩
i
i
. i
at b : 2
1
1
•
ò
,
iatbtl-3.IM
f ix)
A
解:
" : 加为偶,
且关于⽕1 对称
' T = 2
. i f(202 1 ) t f (2022)
= f ( 1 01 0 12
-1
1 ) t f ( 10 1 1
X 2
-
1 0)
= f ( 1 1 tflo )
=
1
解
' i f (如) tfxti ) = o
s
T : 2
.
i f (2022 ) = fo ) = 。
同时减1
7
5 㖄
=
- fM
: f t N
>
关于
⼩
⼟对称
。
并于⼼也
当为⼩0时.fm -_-
x
,
此时fMEI-E.si
当* ≤⽂时
, fM.tt 刈
⼆次
, 此时fxlcco.FI
不抓关于⽕上对称
, 则当
为⼈妖1时fMElo.FI
当kx≤这时
, fMEI-E.ol.AM 值掝为I.EE] ,
由上述
、抓X 㘩。
⾄少有⼀个解
B
解, ifn ) 为偶.it IX) 并于州对称
对于A.tn) 关于X:-| 对称
。
对于c.fm 关于(ii) 对称
对于B.fm 并于州对称
对于D.fm 并于
1 1 . 0 ) 对称
B
解
:
由题拟为偶且关于x: 2 对称
。下个,
fl-j-fltj-fc.it f的=_= 202
D.
解
, flxtiiflx.is Fl
,
且f ix) 为奇
。f 1 6 )
:
fcn.it
※ lfcxn-fixl.fi ⼨⼼
" 当xaofixj-zc3-l.ifut-2.ifi-fl-y-2.r.fi 6 ) : 2
B
解f(2䦹1
)
: f (2M )
⽗
2⾮x
s f
( M )
= f ( 1.x )
i f (州并于( 1 . 0 ) 对称
ˋ
f N) 关于( 2 . 0) 对称
s f ( 2+ x ) t f 1 2 - X ) 的
⽗们
fmtfbkoi.fi 2)
⼆,
由⼩州
= f(ix)
得f (2 1 :
ftp.ifco
) 冰2) 的
⼜"
下个
。A
.
C
。
X
由D. ftp.fbx)
, 关于⽕丰对称不符。
ACD
解
。我为奇,
⽬前↑时称
, T-4-fmkfn-oifc.li
12
:
- f们
且fcxtlifll-xjifcorfg-dtb.io
,
1
- 10 t b)
:
1 2
2
-
Q:4
或{
Q : 3
f (2022 ) :
fm-ob.mg
偷
。
后:
- 1 6
f 脉)
= f的冰为
:
⼀抽) : 8
5
5
解
: i f、州为奇
。f ix)关于( 1 . 0 1 对称
。
iflltxitfcl-xl-o.lt
吅) 为保
⼀抛关于不2 对称
。ifmxj.fi 2.x)
,
2
} 下个
⽗州代⼊lfmtfloko-fcor.fm
-_- ( 4⽐1 b)
⽘州
代⼊
2
5 13)
= f ( 1)
f ( 3 ) =
atb.i-klatbltatb-6.io:2
⽗⼼代⼊
lafcn-o.ifcniatb-ib-2.fi
)
= f 的
⼜由
1 f () t f 的⼆,
得抽)
⼆⼨的
i f (主) =
- I
- 2-
2
+2]
=
- Ii t 2]
= 对
🌶
337
解
:
T = 6
.
f(3) = f (3)
, f (4)
= f ( -2)
, f ( 5 )
= f灬
, f (6 ) : fco )
= o
主-3 ≤x <
- 1时
flxk-CXti.ifl3kfc.si t.fgifc-2ko.fi 5) ⼆
fc-yi-l.ifllltfczlt.it
f (6)
=
1
- f ( 1 ) t
… t f (202 1
) = 33T
- f ( 6) = 3 37
1
解
flifl.ilil-itaxcjtm-ftmfhn-E.fi#=-tmsm=l-bit2
解搁)
= f ( 刘= i
+ 1
ㄡi f 的
= i
=
t.i.lt/=?1xfc-y=f(i).i-atl-j22i
由
1
2
9:2
,bi-4.at 3b =
- 10
(ii)
芈
解: fg.it2
= i
-12
= 近悯球
= i t i
*i
*与
⼼
, 对称中⼼为(iii)
为
2
0
+ 9
2刈
解ifM 为奇
。
iflor-jti-J-oia-lfcxtdti.it
…i -
Ìbgi
解
。和关于xm 成树对称
。: fnm 为偶函数
关于撇对称
. i f ( m
- x ) ⼆fcmx )
⼩⽩成⽂
⼀
⽗⽕1
flm-ij-fcmtn.it
" ' t 3
. 2
""
: 2 ""+3.2"
,
-3
,2m -_-9.im
> 2mi 32m
,
2mi 3.2mi
,
逊)
2
= 3
2吹B
m :
1⽉2 项Ìbgi
T
解; i f N) 关于为2对称
, f n ) : f( 3 )
, fc 1 )= f( 5 )
都1
9
-
1 张协
- 0
,
a
- 2
25 -
1 5atbio
fjpg.at
57
2021
解:
if.IN 郑州对称
) fm
= f (2)
9M 关于( 1 .
- 1 ) 对称
3
9 10)
-
1
9 12) :
- 2
ifn 㸪
= 3"
txtl-fbjtgcoj-2fgtggz.cn
。
对(21
- 2 = 92
i &2 )
= 47 .
9(2) = 43
.
的9⽇) = 202 1
解: (i) iflxt21i.fm
,
flxtmt-flxt21-fixtnifnn.tt
121
当
⽔I 2
. 47 时
, X
-2 E [ 0
. 2]
则f(*2 )
= 2 (x
-2)
-
( ⼩212 :-x
2
+ 6 x
-
2
0 i f (X
-12 ):
⼀ftp.flxt-fcxtj.iflx-2) :
-
ftp.ifxkx2-61/t2B).;f(x)
为奇。
ifj-O.fi#2):-fcx)..ifcntfl3)=o,fc2)tf(4)=o.if(Iltfc21tfl3)tfK)=,
⼜"
T.ifcoit-i.at f(2 02 1 )
= [f( 1) t f(2) t f( 3) t f(4)] X 505 t f(2021 ) = f( 1) = 1
