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专题11 函数的奇偶性、对称性和周期性综合
考点一 奇偶性与周期性
一、单选题
1．设 是定义域为R的奇函数，且 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2． 是定义域为R的奇函数， ， ，则 （ ）
A．3 B． C．6 D．0
3．已知定义在 上的函数 ， 分别为函数 ， 的导函数，若 为偶函数，且
， ，则 （ ）
A．2023 B．4 C． D．0
4．已知函数 定义域为 ，对 ，恒有 ，则下列说法错误的
有（ ）
A． B．
C． D．若 ，则 周期为
5．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ， 是偶函数，记 ， 也
是偶函数，则 的值为（ ）
A．-2 B．0 C．-1 D．2
二、多选题
6．已知 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则（ ）A． B．
C． D．
7．已知函数 的定义域为 ， 是奇函数， 的导函数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．定义在R上的奇函数 满足 ，当 时， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． 时，
C． D．
9．已知函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则 ______.
11．已知定义在 上的函数 ，对任意实数 有 ，若函数 的图象关于直线
对称， ，则 ______．
12．定义在 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则函数 在区间
上的零点个数为______.
13．已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，又当 时， ，则 ______.
14．已知定义R上的函数 满足 ，又 的图象关于点 对称，且
，则 ______
考点二 奇偶性与对称性
一、单选题
1．已知 是 上的偶函数，当 时， ，则 （ ）
A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6
2．设函数 的定义域为R，且 是奇函数，则 图像（ ）
A．关于点 中心对称 B．关于点 中心对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
3．已知函数 ， 及其导函数 ， 的定义域均为 ， 为奇函数， 关于直
线 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
4．定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，则 （ ）
A． B． C．2022 D．2023
5．已知函数 是定义域为 的偶函数，且 ，当 时， ，则关于 的方
程 在 上所有实数解之和为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．136．已知函数 是定义在 上的奇函数，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 是定义在 上的函数, 为奇函数,若函数 与函数 图象
交点的横坐标从小到大依次为 ,则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．函数 的图像关于点 成中心对称的充要条件是函数 为奇函数，以下选项
不正确的有（ ）
A． 关于 中心对称
B． 关于 中心对称
C．函数 的图象关于点 对称，则
D．函数 的图象关于 对称的充要条件是 为偶函数
二、多选题
9．已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
10．已知定义域为 的函数 满足 不恒为零，且 ， ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 的图像关于直线 对称 D． 在[0，10]上有6个零点11．已知函数 定义域为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 图象关于 对称
¬q
B．函数 与函数 的图象关于 对称
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
12．已知函数 ，且 的对称中心为 ，当 时， ，则下列选项正确的
是（ ）
A． 在 上单调递减 B． 的最小值是-1
C． 在 上的函数值大于0 D． 的图像关于直线 对称
三、填空题
13．已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ， 都为偶函数，则
________．
14．已知函数 ， 的最大值为 ，最小值为 ，则
______.
15．已知函数 与 的定义域均为 ， ，且
为偶函数，则 ___________．
16．已知定义在 上的奇函数 满足 ，设函数 与函数 的图象交于点
（ 为偶数），则 的值为__________．考点三 奇偶性、周期性与对称性
一、单选题
1．已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当 时，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 的图像既关于直线 对称，又关于点 对称，且当 时， ，
则 （ ）
A． B． C． D．0
3．已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且关于点 中心对称.设 ，
若 ，则 （ ）
A．2020 B．2022 C．2024 D．2026
4．已知函数 对任意 都有 ，且 ，当 时， .则下
列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．当 时，
D．函数 的最小正周期为2
5．已知定义在R上的函数 满足 ，且 是偶函数，则（ ）A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
6．定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数.当 时， ，
则 （ ）
A．1 B． C．0 D．2
7．已知函数 的定义域为R， 为奇函数，且对于任意 ，都有 ，则下
列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
8．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， .若
，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称
二、多选题
9．对于定义在 上的函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 是奇函数，则 的图象关于点 对称
B．若对 ，有 ，则 的图象关于直线 对称
C．若函数 的图象关于直线 对称，则 为偶函数D．若 ，则 的图象关于点 对称
10．设函数f（x）的定义域为R，且函数 的图像关于直线 对称，函数 的图像关
于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期 B．
C． D．
11．已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有 ，当 时，
，则（ ）
A． 是以2为周期的周期函数
B．点 是函数 的一个对称中心
C．
D．函数 有3个零点
12．定义在 上的偶函数 满足 图像关于坐标原点对称，且 时， ，则下
列说法正确的有（ ）
A． B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递减 D． 时，
13．已知函数 ， 的定义域均为 ， 是奇函数，且 ， ，
则（ ）
A． 为奇函数 B．C． D．
14．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， .若
，则下列关于 的说法正确的有（ ）
A． 的一个周期为4 B．点 是函数的一个对称中心
C． 时， D．
15．设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ．若 ，
，且 为奇函数，则（ ）．
A． ， B．
C． D．
16．设定义在R上的函数 与 的导数分别为 与 ，已知 ，
，且 的图象关于直线 对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的一个周期为8
D．函数 为奇函数
三、填空题
17．已知 是定义在 上的奇函数，且 恒成立.当 时， 则的值为__________.
18．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则函数
的所有零点之和为______.
19．已知函数 对任意的 ，都有 ，若 的图像关于直线 对
称，且 ，则 ______．
20．已知定义在 上的函数 满足： ， ，当 时， ，
则 ______.
21．对任意 ，恒有 ，对任意 ，现已知函数
的图像与 有4个不同的公共点，则正实数 的值为__________.
22．已知定义在 上的函数 满足 ，且 的图象关于直线 对称，函数
的图象关于 对称，则 __________.
