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专题11 函数的奇偶性、对称性和周期性综合
考点一 奇偶性与周期性
一、单选题
1．设 是定义域为R的奇函数，且 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 是定义域为R的奇函数，
由 ，得 ，该函数的周期为2，
所以 .故选：A
2． 是定义域为R的奇函数， ， ，则 （ ）
A．3 B． C．6 D．0
【解析】由 知，函数 是以4为周期的周期函数，又 是奇函数， ，
所以 .故选：B
3．已知定义在 上的函数 ， 分别为函数 ， 的导函数，若 为偶函数，且
， ，则 （ ）
A．2023 B．4 C． D．0
【解析】因为 为偶函数，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，因为 ，所以 ，①
所以 ，②又因为 ，③
由②③得： ，④
所以 ，所以 ，所以 的周期为4，
又因为 ，所以 的周期为4，
在①中令 得： ，在③中令 得： ，
在④中令 得： ，所以 ，
所以 ，故选：D.
4．已知函数 定义域为 ，对 ，恒有 ，则下列说法错误的
有（ ）
A． B．
C． D．若 ，则 周期为
【解析】由 ，令 ， ，有 ，
可得 或 ，A错；
当 时，令 ，则 ， ，
函数 既是奇函数又是偶函数， ，当 时，令 ，
则 ，则 ，
函数 是偶函数， ，综上，B正确；
令 ，则 ，故 ，
由于 ，令 ，即 ，即有 ，C正确；
若 ，令 ，则 ，所以 ，则 ，
，所以 ，
则 周期为 ，D正确.故选：A
5．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ， 是偶函数，记 ， 也
是偶函数，则 的值为（ ）
A．-2 B．0 C．-1 D．2
【解析】因为 是偶函数，所以 ，
两边求导得 ，即 ，
所以 ，即 ，令 可得 ，即 ，
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以4是函数 的一个周期，所以 ．故选：B．
二、多选题
6．已知 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数 是定义在 上的奇函数，由 ，得 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，所以 ，故A错误；由 ，故B正确；
因为 ， ，所以 ，故C正确；
当 时， ，
所以当 时， ，所以 ，此时 ，
所以当 时， .
当 时， ，所以 ，此时 ，
综上所述，函数 在一个周期内，即 时， ，
而 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
7．已知函数 的定义域为 ， 是奇函数， 的导函数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 是奇函数，所以 ，且 ．
又 ，所以 ，
即 ．令 等价于 ，所以 ，
所以4是 的一个周期，所以 ，得 ，
即 ，故B正确．
由 ，得 ．又 ，所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，所以4也是 的一个周期，所以 ，得 ，故C正确．
取 ，则 ，显然 是奇函数，符合题意．
此时 ，但 ，故A错误；
因为 ，所以 ，得 ，故D错误．
故选：BC.
8．定义在R上的奇函数 满足 ，当 时， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． 时，
C． D．
【解析】因为函数 的 ，所以 ，则 ，故函数 的
周期为 ，所以 ，故A正确；
又当 时， ，则当 时， ，
，故B不正确；
由周期可得 ，又函数 是R上的奇函数
，
所以 ，即 ，所以 ，故C正确；
当 时， ，所以 ，又因为 ，所以， ，
则 ，所以 ，故D不
正确.
故选：AC.
9．已知函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 的定义域为 ， 为奇函数，
所以 ，且 ，所以 .
因为 是偶函数，所以 ，所以 ，
得 ，所以 ，
所以函数 为周期函数，且该函数的一个周期为 ，
且 ，故 ，AC正确；
，无法确定其值，BD错误.
故选：AC.
三、填空题
10．已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则 ______.
【解析】 为偶函数， ，
令 ，则 ， ， ；
又 ， ，即 ，
，是周期为 的周期函数， ，
由 得： ，即 ，
又 ， ， .
11．已知定义在 上的函数 ，对任意实数 有 ，若函数 的图象关于直线
对称， ，则 ______．
【解析】由函数 的图象关于直线 对称可知，
函数 的图象关于 轴对称，故 为偶函数．
由 ，得 ，
所以 是周期 的偶函数，所以 ，
12．定义在 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则函数 在区间
上的零点个数为______.
【解析】∵当 时， ，又函数 为奇函数，∴ ， ，
∴当 时， ，所以 ，
，所以函数 是周期函数，且周期为4，
所以 ，所以 ，∴ 函数 在 的零点有4个，即 ，
∴函数 在 的零点有4个，即 ，
又函数 在 的零点有2，3，4，∴函数 在区间 上的零点个数为11个
13．已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，又当 时， ，
则 ______.
【解析】因为 为奇函数，所以 .因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 .所以 的一个周期为8.
.因为 ，所以 ，所以 .
因为当 时， ， 是周期为8的奇函数，
所以 .
14．已知定义R上的函数 满足 ，又 的图象关于点 对称，且
，则 ______
【解析】 的图象关于点 对称，所以 的图象关于点 对称，即 为奇函数，
在 中，
所以 又，
所以 是 的周期函数，
考点二 奇偶性与对称性
一、单选题
1．已知 是 上的偶函数，当 时， ，则 （ ）
A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6
【解析】因为 是 上的偶函数，所以 ，所以 关于 对称，
当 时， ，所以 .故选：C.
2．设函数 的定义域为R，且 是奇函数，则 图像（ ）
A．关于点 中心对称 B．关于点 中心对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
所以函数 图象关于点 中心对称.故选：A.
3．已知函数 ， 及其导函数 ， 的定义域均为 ， 为奇函数， 关于直
线 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】解法一：由 为奇函数得 ，
令 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 ；
因为 关于直线 对称，所以 关于 轴对称，即 为偶函数，所以 .对于选项A，因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，故选项A错误.
对于选项B，由 得 ，
所以 ，故选项B错误.
对于选项C，因为 的图像关于 轴对称，所以 轴左右两边对称点的切线关于 轴对称，所以切线的
斜率互为相反数，即 ，所以 ，
所以 ，故选项C错误.
对于选项D，因为 ，所以 关于点 中心对称，
因为 ，所以 和 关于点 对称，
所以 在 和 处切线的斜率相等，即 ，
所以 ，故选项D正确.故选：D.
4．定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，则 （ ）
A． B． C．2022 D．2023
【解析】∵ ，∴ 关于 对称，
∵ 为奇函数，∴由平移可得 关于 对称，且 ，
，即 ，
， ， ，上两式比较可得
，∴函数 是以4为周期的周期函数. ， ，∴ ， ∴ .故选：D.
5．已知函数 是定义域为 的偶函数，且 ，当 时， ，则关于 的方
程 在 上所有实数解之和为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解析】因为 ，所以 ，因此函数 的最小正周期为 ；
又因为函数 是定义域在 上的偶函数，所以 ，
即函数 关于直线 对称，
函数 的最小正周期 ，且函数图象关于 ， 对称，
画出函数 和 在 上的图像如下，
由图像可得，函数 和 在 有 个交点，
除 ，其余两两关于直线 对称，
因此关于 的方程 在 上所有实数解之和为 .故选：D.
6．已知函数 是定义在 上的奇函数，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，即 关于坐标原点对称，则 关于点对称，对于 ，则 ，所以 也关于 对称，
令 则 也关于 对称，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，
则 .故选：D
7．已知 是定义在 上的函数, 为奇函数,若函数 与函数 图象
交点的横坐标从小到大依次为 ,则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】因为 为奇函数,所以 ,所以 的图象关于点 对称,
设函数 ,有 ,
所以函数 为奇函数,其图象关于原点对称,由于 ,
所以 的图象关于点 对称,则可知 , , ,所以 .故选:B
8．函数 的图像关于点 成中心对称的充要条件是函数 为奇函数，以下选项
不正确的有（ ）
A． 关于 中心对称
B． 关于 中心对称
C．函数 的图象关于点 对称，则
D．函数 的图象关于 对称的充要条件是 为偶函数【解析】对选项A， ， ， ，
，故A错误.
对选项B，由 ，若 ，
则 ，故B正确.
对选项C，因为函数 为奇函数，所以 ，
即 ，令 ，则有 ，
即 ，故C正确.
对选项D，若 为偶函数，则 ，
令 ，则有 ，函数的图象关于 对称，故必要性成立，
函数 的图象关于 对称，则有 ，
令 ，则有 ，即 为偶函数，故充分性成立，故D正确.
故选：A.
二、多选题
9．已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
【解析】因为 为奇函数，所以 ，所以函数 关于点 对称，
又 为偶函数，所以 ，所以函数 关于直线 对称.故选：AD.
10．已知定义域为 的函数 满足 不恒为零，且 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 的图像关于直线 对称 D． 在[0，10]上有6个零点
【解析】选项A：对于 ，令 ，得 ，对于 ，令 ，得
，所以 ，则 ，A正确；
选项B：由 得 ，由 得 ，所以
， 是奇函数，B正确；
选项C：由 ，得 ，所以12是 的一个周期，又 是奇函数，
所以 的图像关于点 对称，因为 不恒为零，所以 的图像不关于直线 对称，C错误；
选项D：由A知 ，对于 ，令 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ， ，所以 ，所以 在 上的零点为
0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．
故选：AB．
11．已知函数 定义域为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 图象关于 对称
¬q
B．函数 与函数 的图象关于 对称
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
【解析】若 ， ，则函数 图象关于 对称，故A正确；
若点 在 上，则点 在 的图象上，且点 与点 关于点 对称，则函数 与函数 的图象关于 对称，故B正确；
设 ，
则 ，
故函数 的图象关于 对称，故C正确；
令 ，
则 不恒为0；
故函数 的图象不关于 对称，故D错误.
故选：ABC.
12．已知函数 ，且 的对称中心为 ，当 时， ，则下列选项正确的
是（ ）
A． 在 上单调递减 B． 的最小值是-1
C． 在 上的函数值大于0 D． 的图像关于直线 对称
【解析】根据 可得 为偶函数，对称中心为 ，可知 的图象关于 对称，
结合 时， ，可画出 的部分图象如下：
由图象可知： 的最小值是 ， 在 上单调递增，
的图像关于直线 对称， 在 上的函数值小于0，
故AC不正确，BD正确，故选：BD三、填空题
13．已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ， 都为偶函数，则
________．
【解析】因为 为偶函数，则 ，即 ，
则 ，即 ，故 的图象关于点 对称，且 ；
又 为偶函数，则 ，
则 ，即 ，
故 的图象关于点 对称，且 ，
又将 代入 得 ，则 ；
令 ，由 可得 ，则 ；
同理可得 ，则 ； ，则 ，
由此可得 组成了以0为首项， 为公差的等差数列，
故
14．已知函数 ， 的最大值为 ，最小值为 ，则
______.
【解析】令 ，且 ，
，
所以 为奇函数，且在 上连续，
根据奇函数的对称性： 在 上的最大、最小值关于原点对称，则 ，故 .
15．已知函数 与 的定义域均为 ， ，且
为偶函数，则 ___________．
【解析】 ①
因为 是偶函数，所以 ，
用 替换x，得 ，条件 化为 ②，
所以 ，①+②得 ，在②中用 替换x，得
③，则①-③得 ，则 ，
，
在①中令 ，可得 ，所以 ．
在 中令 ，得 ，
又 ，所以 ，再由 知 ．
所以 ．
16．已知定义在 上的奇函数 满足 ，设函数 与函数 的图象交于点
（ 为偶数），则 的值为__________．【解析】引理：函数 和 的图象都关于 对称，则它们的交点也关于 对称．
证明：由函数 和 的图象都关于 对称，
则 ， ，设 为函数 和 的交点，
则有 ， ，所以 ，
所以函数 和 必有一交点 ，
而 和 关于 对称，故它们的交点关于 对称.
函数 是奇函数， ，则 ， 函数 的图象关于点 对称，
函数 的图象是由函数 的图象向右平移1个单位长度得到的，
函数 的图象关于 对称， 函数 与函数 图象的交点也关于 对称，
．
考点三 奇偶性、周期性与对称性
一、单选题
1．已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当 时，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，
因为 ，故函数 的周期为4，则 ；
而 ，所以由 可得 ；而 ，解得 .故选：C.
2．已知函数 的图像既关于直线 对称，又关于点 对称，且当 时， ，
则 （ ）
A． B． C． D．0
【解析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 ，
因为函数 的图像关于点 对称，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以函数 的周期为4，所以 ，故选：D
3．已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且关于点 中心对称.设 ，
若 ，则 （ ）
A．2020 B．2022 C．2024 D．2026
【解析】由题意可知 ，且 ，所以 ，
则 ，所以 是以4为周期的周期函数.
由 可知， ，则 ，
所以 ，
由 得， ，
所以 ，则 ，所以 ，，…，
，
所以
.故选：C.
4．已知函数 对任意 都有 ，且 ，当 时， .则下
列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．当 时，
D．函数 的最小正周期为2
【解析】因为 ，所以 ，故 ，
所以 的周期为4，又 ，所以 ，故 关于 对称，
又 时， ，故画出 的图象如下：
A选项，函数 的图象关于点 不中心对称，故A错误；
B选项，函数 的图象不关于直线 对称，B错误；
C选项，当 时， ，则 ，C错误；D选项，由图象可知 的最小正周期为4，
又 ，故 的最小正周期为2，D正确.
故选：D
5．已知定义在R上的函数 满足 ，且 是偶函数，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
【解析】由 可得 ，所以函数 的周期是2，
因为 是偶函数，所以 即函数 的图象关于 对称，
所以 ，所以 是偶函数,故A正确，C错误，
当 时，通过上述的周期为2，且关于 对称得到以下图象，
通过图象可发现 不关于直线 对称，也不关于点 对称，故BD错误，
故选：A
6．定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数.当 时， ，
则 （ ）
A．1 B． C．0 D．2
【解析】因为函数 满足 ，所以 关于 对称，即 ①.又因为 为奇函数，所以 ，即 ②.
由①②知 ，所以 ，
即 ，所以函数 的周期为 ，所以 ，
令 ，则由②，得 ，所以 .故选：B.
7．已知函数 的定义域为R， 为奇函数，且对于任意 ，都有 ，则下
列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【解析】由 是奇函数，得 ，即 ，选项 错误；
由 ，得 ，所以 ，即 ，则
，B错；
由 可得 可得函数 的周期为 ，
与 可得 ，即函数 的图象关于 对称，
根据周期为2可得函数 的图象关于 对称，即 ，所以 为偶函数，C
正确；
因为 且函数 的周期为 ，所以 ， 为偶函数，，
故选项 错误．
故选： ．
8．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， .若
，则（ ）A． B．
C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称
【解析】 为奇函数， ，
令 ，则 ；用 替换 ，则 ，
又 为偶函数， ，
令 ，则 ；用 替换 ，则 ，
，用 替换 ，则 ，
，则 的一个周期为4，
由 ，解得 ，故A错误；
，故B错误；
由 ，得 ，得 为偶函数，故C正确；
时， ， ， 不关于 对称，故D错误，
故选：C.
二、多选题
9．对于定义在 上的函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 是奇函数，则 的图象关于点 对称
B．若对 ，有 ，则 的图象关于直线 对称
C．若函数 的图象关于直线 对称，则 为偶函数D．若 ，则 的图象关于点 对称
【解析】对A， 是奇函数，故图象关于原点对称，将 的图象向右平移1个单位得 的图象，
故 的图象关于点 对称，故A正确；
对B，若对 ，有 ，得 ，所以 是一个周期为2的周期函数，不
能说明其图象关于直线 对称，故B错误.；
对C，若函数 的图象关于直线 对称，则 的图象关于 轴对称，故为偶函数，故C正确；
对D，由 得 ， ，
的图象不关于 对称，故D错误.
故选：AC.
10．设函数f（x）的定义域为R，且函数 的图像关于直线 对称，函数 的图像关
于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期 B．
C． D．
【解析】 关于 对称，则有 ，令 ，
可得 ，令 ，得 ①.又 的图像关于点 对称，
可得 ②，
联立①②，可得 ，故A正确； ，令 得 ，故C正
确.对于BD，例如 ，该函数符合AC，但是代入BD条件时，均不满足，故BD错误.
故选：AC
11．已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有 ，当 时，
，则（ ）
A． 是以2为周期的周期函数
B．点 是函数 的一个对称中心
C．
D．函数 有3个零点
【解析】依题意， 为偶函数，且 ，有 ，即 关于 对称，
则
，
所以 是周期为4的周期函数，故A错误；
因为 的周期为4， 关于 对称，所以 是函数 的一个对称中心，故B正确；
因为 的周期为4，则 ， ，
所以 ，故C错误；
作函数 和 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数 有3个零点，故D正确.故选：BD.
12．定义在 上的偶函数 满足 图像关于坐标原点对称，且 时， ，则下
列说法正确的有（ ）
A． B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递减 D． 时，
【解析】对A，因为函数 为 上的偶函数，所以 ，故A正确；
对B，由题意可得， ，
，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，即函数 的最小正周期为 ，故B错误；
对C，根据题意作出该函数的图像如下图所示，由图可知，
函数 在 上单调递减，故C正确；对D，因为函数 为 上的偶函数， 时， ，
所以 时， ，又因为函数 的最小正周期为 ，
设 ，则 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD
13．已知函数 ， 的定义域均为 ， 是奇函数，且 ， ，
则（ ）
A． 为奇函数 B．
C． D．
【解析】因为 ，所以 ，又 ，则有 ；
因为 是奇函数，所以 ，可得 ，即有 ，
所以 ，所以 是周期为4的周期函数，故 也是周期为4的周期函数，
因为 ，所以 ，所以 为偶函数，故 错误；
由 是奇函数，则 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以C选项错误；
由 (1) ，得 ，所以B选项正确；
因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以D选项正确．
故选：BD．
14．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， .若
，则下列关于 的说法正确的有（ ）A． 的一个周期为4 B．点 是函数的一个对称中心
C． 时， D．
【解析】 为奇函数， ，且 ，函数 关于点 ，
偶函数， ，函数 关于直线 对称，
，即 ， ，
令 ，则 ， ，
，故 的一个周期为4，故A正确；
则直线 是函数 的一个对称轴，故B不正确；
当 时， ， ，
，
又 ， ，解得 ， ， ，
当 时， ，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
15．设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ．若 ，
，且 为奇函数，则（ ）．
A． ， B．
C． D．
【解析】对A，又∵ 为奇函数，则 图像关于 对称，且 ，所以 ，A 正确；
对于C，∵ ，则 ，则 ，又 ，
所以 ，令 ，可得 ，即 .
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，∴ 的周期 ，所以 ，
由 可得， ， ， ，
所以 ， ，∴ ，C正确；
对B， ，则 是周期 的函数， ，B错误；
对D， ， ，所以
，
所以 ，D错误.故选：AC.
16．设定义在R上的函数 与 的导数分别为 与 ，已知 ，
，且 的图象关于直线 对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的一个周期为8
D．函数 为奇函数【解析】因 ，两边求导可得 . 的图象关于直线 对称，则
.
A选项，由 可得 ，
由 可得 ，
则 ，
即函数 的图象关于点 对称，故A正确；
B选项，若函数 的图象关于直线 对称，则 .
又 ，
，则 .
即 是常函数，但 不一定是常函数，故B错误；
C选项，由 可得 .
由 可得 ，又 ，
则 ，则函数 的一个周期为8，故C正确；
D选项，若函数 为奇函数，则 .
由 可得 .又 ，
则 ，得 的一个周期为4，但题目条件不足以说明 的周期情况，故D错
误.
故选：AC
三、填空题17．已知 是定义在 上的奇函数，且 恒成立.当 时， 则
的值为__________.
【解析】由 可知 的图象关于 对称，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 是周期 的周期函数，
所以
18．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则函数
的所有零点之和为______.
【解析】∵ 满足 ，则 关于直线 对称，
又∵ 是定义在 上的奇函数，则 ，
即 ，则 ，
∴ 是以4为周期的周期函数，
对 ，可得 ，则 ，
∴ 关于点 对称，令 ，则 ，
可知： 与 均关于点 对称，如图所示：
设 与 的交点横坐标依次为 ，
则 ，故函数 的所有零点之和为 .
故答案为：18.
19．已知函数 对任意的 ，都有 ，若 的图像关于直线 对
称，且 ，则 ______．
【解析】因为 的图像关于直线 对称，所以 的图像关于y轴对称，即 为偶函数，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 的周期为8，
因为 ，所以
20．已知定义在 上的函数 满足： ， ，当 时， ，
则 ______.
【解析】因为定义在 上的函数 满足： ， ，
所以， ，即函数 为奇函数，
则 ，所以， ，
故函数 是周期为 的周期函数，因为 ，所以， ，则 ， ，
所以，
.
21．对任意 ，恒有 ，对任意 ，现已知函数
的图像与 有4个不同的公共点，则正实数 的值为__________.
【解析】 ， ， ，令 ，则有 ，
任意 ，恒有 ，则函数 的图像关于 对称，函数 是以2为周
期的周期函数，在同一直角坐标系下作出函数 与 的图像，如图所示，
函数 的图像与 有4个不同的公共点，由图像可知， 的图像函数 在
上的图像相切，由 ，消去 得 ，则 ，解得
.
22．已知定义在 上的函数 满足 ，且 的图象关于直线 对称，函数
的图象关于 对称，则 __________.【解析】 ，又 的图象关于直线 对称，则
，所以 ， ，
，所以函数 是以12为周期的函数，
，又函数 的图象关于 对称，
利用函数图像平移知，函数 的图象关于 对称，即 ，所以 .
