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专题01 基本不等式解最值问题 （八大核心方法精讲）
情解读考点精
一、
考点总结与提升
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
(当且仅当“
”时取“ ”).
特例：
（
同号）.
（3）其他变形：
①
(沟通两和
与两平方和
的不等关系式)
②
(沟通两积
与两平方和
的不等关系式)
③
(沟通两积
与两和
的不等关系式)
④重要不等式串：
即
调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知
.
（1）如果
(定值)，则
(当且仅当“
”时取“=”).即“和为定值，积有最大
值”.
（2）如果
(定值)，则
(当且仅当“
”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一：mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)，当且仅当x=√
n
m 时等号成立；
模型二：mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn +ma (m>0,n>0)，当且仅当x−a=√
n
m 时等号成立；
模型三：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当x=√
c
a 时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时等号成立.
二、典例精讲
思路方法01 利用和（积）为定求最值
该方法是基本不等式求最值的基础应用，核心依托二元基本不等式 “一正二定三等” 的核心原则，当所
求表达式中求和的项乘积为定值时，可直接用不等式求最小值；当乘积的项和为定值时，可直接用不等式
求最大值，无需对表达式进行复杂变形，直接判断定值条件并验证等号成立条件即可。
例1．已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
的最小值为3
B．
的最小值为
C．
的最小值为3
D．
的最大值为
【解析】对于A：由
，
当且仅当
时等号成立，故A 正确；
对于B：由
得，
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号，故B 正确；
对于C：因为
，
当且仅当
时取等号，故C 错误；
对于D：由
，
当且仅当
，即
时等号成立，故D 正确．
故选：ABD．
思路方法02 分式函数求最值
例2. 求函数f ( x)= x2−3 x+3
x−2
( x>2)
的值域.
【解析】
设
. 于是问题转化为求
的值域，由对勾函数
当
时取等号，即
.
例3. 已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值为___________.
【解析】设直线
与曲线
相切于点
由函数
的导函数为
，则
解得
所以
，即
则
当且仅当
，即
时取得等号.
故答案为：8
例4 已知随机变量
，且
，则
的最小值为________.
【解析】由正态分布的对称性可知：
，解得：
，
因为
，所以
，由基本不等式得：
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以不等式得最小值为
故答案为：
思路方法03 “1”代换
已知
（
均为正数），求
（
均为正数）的最值，或者
，求
的最值（
均为正数）.
这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求
较高，需要重点突破.
例5.已知
，求
的最小值__________
解析：
例6．已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为8
D．
的最大值为
解析：对于A 和B 中，因为
且
，可得
且
，
即
，所以
，且
，
，所以A、B 正确；
对于C 中，由
，
当且仅当
，且
，即
，
时，取“
”号，所以C 正确；
对于D 中，由
，即
，当且仅当
，且
，即
，
时，
取“
”号，所以D 错误．
故选：ABC.
例7．已知
，
，且
，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：对于A，因为
，
，
所以
，即
，当且仅当
时，等号成立，故A 错误；
对于B，
，
由A 得，
，
所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
因为
，故C 错误；
对于D，
，
，
设
，
，
则
，
所以
在
上单调递减，即
，
所以
，故D 错误；
故选：ACD．
例8．正实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．5
D．
解析：因为正实数
，
满足
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立.
故
的最小值是
.故选:B.
例9．已知正实数
满足
.则
的最小值为（ ）
A．3
B．9
C．4 D．8
解析：
均为正实数，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.故选：B
思路方法04.和积转化
适用于已知和或积的等式条件，求含积或和的代数式最值的xy±x±y 型场景，核心利用基本不等式x+y≥2xy
（x,y>0），将条件中的和与积进行相互转化，把问题转化为一元二次不等式 / 方程求解，实现和与积的
互相放缩。适用于
型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉
或
项.
例10（多选题）已知a，b 为正实数，且
，则（ ）
A．ab 的最大值为8
B．
的最小值为8
C．
的最小值为
D．
的最小值为
解析 因为
，当且仅当
时取等号，
则
，
解不等式得
，即
，故
的最大值为8，A 正确；
由
得
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，此时取得最小值，B 正确；
，
当且仅当
，即
时取等号，C 正确；
，
当且仅当
时取等号，此时
取得最小值
，D 错误．
故选：ABC
例11．若实数
满足：
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为
，所以
，由基本不等式可得
，
故
，解得
或
（舍），即
当且仅当
时等号成立，故
的
最小值为1，故选：A.
例12 已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
解析 对于A，因为
，所以
，
从而
，正确.
对于B，因为
，所以
，解得
，
所以
，正确.
对于C，令
(
)，
，在
为增函数，
所以
在
上单调递增，从而
，即
，错误.
对于D，因为
，所以
，正确.
故选：ABD
思路方法05.平方和与积型互化
适用于
型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉
或
项，若
目标函数与
有关，则需先利用配方法换掉
项.
例13．（多选题） 已知
，
，则（ ）
A．
的最小值为4
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
解析 对于A，
，
，当且仅当
，即
取等号，故A 错误，
，当且仅当
，即
取等号，故B 正确，
，故当
时，取到最小值，此时
，满足题意，
故C 正确，
，当且仅当
，即
时等号成立，所以D 正确
故选：BCD
思路方法06 三变元先消元再加均值
适用于已知三个变量的等式条件，求含三个变量的代数式最值的场景，核心思路是利用条件等式进行消元，
将三变量问题转化为基本不等式可求解的单变量或双变量问题，消元后再结合和积定值、“1” 代换等方
法套用基本不等式。
例14．已知实数
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵
，
，∴
，
，∵
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
故选：C.
思路方法07.先换元再均值
针对表达式结构复杂、变量关联隐蔽的最值问题，通过换元法（如整体换元、三角换元、代换变量为倒数
等）将原有变量替换为新变量，简化代数式的结构，让新变量的表达式能明显配凑出和积定值，再套用基
本不等式求解，是化繁为简的核心技巧。
例15．已知正实数
，
满足
，则
的最小值是_______．
解析：令
，
，则
，
．
从而
．
所以
的最小值是
．
例16．已知
，
，则
的最小值________.
解析：令
，则
，
去分母化简得：
，所以
，所以
，
当且仅当
时，等号成立．
故答案为：20
例17．已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析
，
令
，
，则
，
，
，
当且仅当
且
，即
，
时，等号成立，
所以
，故
有最小值．
故选：D．
例18．已知
，
，
，则（ ）
A．S 的最大值是
B．S 的最大值是
C．S 的最大值是
D．S 的最大值是
解析∵
，
令
，
∵
，
，则
，当且仅当
，即
时等号成立，
故
，可得
，
又∵
在
上单调递增，则
，
∴
，即S 的最大值是
．
故选：B．
思路方法08 二次函数a x
2+bx +c
d x
2+ex + f 型
例19．函数f (x)= x
2-3 x
x +1
(x>-1)的最小值是（ ）
A．-3
B．-1
C．0
D．4
解析 因为x>-1，
所以x +1>0，则：
f (x)= x
2-3 x
x +1 = (x +1)
2-5(x +1)+ 4
x +1
=(x +1)+
4
x +1 -5≥2❑√4 -5=-1，
当且仅当x =1时，取等号，
所以f (x)的最小值为-1，
故选：B
例20．函数f (x)=
1
1+ x
2，若a，b>0，且f (a)+ f (b)=1，则a
2+b
2+18
a+b
的最小值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
解析 依题意，f (a)+ f (b)=
1
1+a
2 +
1
1+b
2 = 1+a
2+1+b
2
(1+a
2)(1+b
2)
=1，
1+a
2+1+b
2=(1+a
2)(1+b
2)=1+a
2b
2+a
2+b
2，所以a
2b
2=1，
由于a,b都是正数，所以ab=1，
所以a
2+b
2+18
a+b
= (a+b)
2-2ab+18
a+b
= (a+b)
2-2+18
a+b
=(a+b)+ 16
a+b
≥2❑√
(a+b)⋅16
a+b =8，
当且仅当¿，即¿或¿时等号成立，
所以a
2+b
2+18
a+b
的最小值为8.
故选：B
三、高考练场
1．（多选）已知正数a，b 满足
，那么下列不等式中，恒成立的有( )
A.a+b⩾2
B.a+b+
1
a+b ⩾5
2
C. 1
❑√a + 1
❑√b ⩾2❑√2
D.1
a + 1
b ⩽1
2
解析：对于A，因为正数a，b 满足
，所以
，所以
（当且仅当
时取等
号），故A 正确；对于B，令
，设
，则由对勾函数的单调性可知函数
在
上单调递增，所以
（当且仅当
时取等号），故B 正确；对于D，
（当且仅当
时取等号），故D 错误；对于C，因为
，所以
（当且仅当
时取等号），故C 错误.故选AB.
2.（多选）已知
，
，
，且
，则( )
A.ab⩽1
4
B.ab
2⩽1
27
C.
D.
解析：由
a+2b⩾2❑√2ab，得ab⩽1
8 (当且仅当
，即
，
时等号成立)，故A 错误；
由a+b+b
3
⩾
3√ab
2得ab
2⩽1
27 (当且仅当
时等号成立)，故B 正确；
由
，得
，则
不正确，如取
，
，
有
，故C 错误；
(a+2b)⋅(
1
a + 1
b)=3+ 2b
a + a
b ⩾3+
(当且仅当
，即
，
时等号成立），
故D 正确.故选BD.
3．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为
，
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，所以
，因为
恒成立，所以
，即
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：C
4．已知正实数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为正实数
、
满足
，
则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
的最小值为
.故选：D.
5．已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
，设
，则
.
于是
，
令
，则
，
当
，即
，也即
时，
取到最小值
.故选：C
6．若对任意实数
，不等式
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意可得，
对于任意实数
恒成立，则只需求
的最大值即可，
，设
，则
，再设
，则
，当且仅当
时取得“=”.所以
，即实数
的最小值为
.故选：D.
7．（多选）（25-26 高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（ ）
A．若a
2>b
2，则1
a < 1
b B．若xy >0，则x
y + y
x ≥4
C．当x∈(0,π )时，sin x +
4
sin x ≥4
D．若sin α +cos β =1，则sin
2α +cos
2 β ≥1
2
解析：A．若a
2>b
2，如a=2，b=-1，则1
a < 1
b 不成立，故A 错误；
B．∵xy >0，则x
y >0，y
x >0，取x = y >0，则x
y + y
x =2，故B 错误；
C．因为x∈(0,π )，则sin x∈(0,1]，由基本不等式可得sin x +
4
sin x ≥2❑√sin x⋅
4
sin x = 4，当且仅当
sin x =2时，等号成立，
但sin x∈(0,1]，所以，sin x +
4
sin x >4，故C 正确；
D．由重要不等式可得sin
2α +cos
2 β ≥2sin α cos β，
所以，2(sin
2α +cos
2 β)≥sin
2α +cos
2 β +2sin α cos β =(sin α +cos β)
2=1，
则sin
2α +cos
2 β ≥1
2，当且仅当sin α =cos β = 1
2时，等号成立，故D 正确．
故选：CD.
8.已知
为正实数， 且
， 则
的最小值为___________．
解析
由题意
当且仅当
即
时等号成立，
故答案为：
9.已知
，则
的最小值为___________.
解析：因为
，所以
，当且仅当
即
时等号成
立.
10．对任意的θ∈(0, π
2)，不等式
1
sin
2θ
+
4
cos
2θ
≥2 x -1恒成立，则实数x的取值范围是 ．
解析：因为θ∈(0, π
2)，
所以
1
sin
2θ
+
4
cos
2θ
=(sin
2θ+cos
2θ)(
1
sin
2θ
+
4
cos
2θ)
=5+ 4 sin
2θ
cos
2θ
+ cos
2θ
sin
2θ
≥5+2❑√4 =9，
当且仅当4 sin
2θ
cos
2θ
= cos
2θ
sin
2θ
，即tanθ =
❑√2
2 时，取等号。
又因为
1
sin
2θ
+
4
cos
2θ
≥2 x -1恒成立，
所以2 x -1≤9，即x ≤5。
故答案为：(-∞,5]
