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2026年高考数学8+3+3+1强化训练（30）【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则A B（ ）
1,1 1,1 1,1 1,1
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知 ，所以 ．
故选：C.
2．“ ”是“事件A与事件B互为对立事件”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.
【解析】投掷一枚硬币3次，满足 ,但 不一定是对立事件，
如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，
则 ， ，满足 ，但 不是对立事件.
若事件A与事件B是对立事件，则 为必然事件，再由概率的加法公式得 ；
所以“ ”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件；
故选：D
3.已知二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中 项的系数为（ ）
A． B． C．80 D．160
【答案】A
【分析】依题意可确定 ，再结合通项公式即可求解.
【解析】因为二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
所以 ，所以 的展开式的通项为 ，令 ，得 ，故 ，
故展开式中 的系数为 .
故选：A.
4.已知 ABC内角A，B，C满足 ， ，则 （ ）
A．△4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.
【解析】
，
所以 .
故选：A
5．已知函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对称，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
故选：B.
6.已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用奇偶函数的定义确定函数 的奇偶性，再变形不等式，借助指数函数单调性求解.
【解析】当 时， ， ；当 时， ， ；
，则当 时， ，即函数 是R上的偶函数，
不等式 ，
整理得 ，解得 ，所以原不等式的解集为 .
故选：D.
7.若定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】因为 是偶函数，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 是以4为周期的函数，
所以 ．
故选：C.
8.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质结合函数值域的求法求解即可.【解析】由 ， ，可得 .
又 ，所以 .
令 ，则 ，代入 ，得 ，
由 ，解得 ，
故 的最大值为 .
故选：B.
二、多选题
9．已知等差数列 的前 项和 存在最大值，且 ， ，则（ ）
A． B．
C．当 时， 取得最大值 D． 取得最小正值时 为31
【答案】ACD
【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可
判
断D.
【解析】对于A，设等差数列 首项为 ，公差为 ，
则 ，
因为 存在最大值，所以数列 的公差 ，数列 单调递减，
要使 存在最大值，则数列先正后负，首项 ，故A正确；
对于B，由等差数列性质可知 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，
所以 时， 取得最大值，故C正确；对于D，由 可得 ，
由 ，可得 ，
所以 取得最小正值时 为31，故D正确.
故选：ACD.
10．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某
种食品做了沙门氏菌检验，结果得到 列联表如下：
阳
阴性 合计
性
荧光抗体法
常规培养法
合计
参考公式： ，其中 ．
附：下列表述正确的是（ ）
A． ，
B．零假设 ：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异
C．依据小概率值 的 独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异
D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为
【答案】AC
【解析】对于A，根据表格数据可知： ， ，A正确；
对于B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，
零假设 ：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误；对于C，由题意得 ，
零假设 不成立，
依据小概率值 的 独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确；
对于D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 ，D错误.
故选：AC.
11.已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，且 ，则（ ）
A． B．
C．直线 与 轴有公共点 D． 的面积为4
【答案】AD
【分析】根据抛物线的定义求出 及抛物线方程，再逐项分析判断即可.
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 .
选项A：由抛物线的定义知， ，解得 ，故A正确.
选项B：由A知， .
因为点 在 上，所以 ，解得 ，故B错误.
选项C：焦点 ， ，所以直线 是垂直于 轴的直线 ，与 轴没有公共点，故C错
误.选项D： ， ，
因为 轴，所以 ，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
12.将含甲、乙在内的6位网红分配到A,B两村进行助农直播带货，若每村至少安排2名网红，至多安排3名网红，
且甲、乙安排在同一村庄，则不同的分配方法共有_______种(用数字作答).
【答案】10【解析】分情况讨论：若甲、乙所在村有2人(即只有甲和乙)，
此时另一村庄有4人，共2种安排方法；
若甲、乙所在村有 3 人，从剩下 4 名网红中选 1 名和甲、乙分配在同一村，有
C1
4种，此时安排方法为
2C1 8
4 种；所以共有 种安排方法.
故答案为：10.
13．已知函数 的图象恒过定点 ，且函数 的图象在 处的切线也经过点 ，则
______．
【答案】
【解析】对函数 ，令 ，则 ，得 .
所以 .
函数 的定义域为 ， .
，所以 .
所以函数 的图象在 处的切线方程为 .
因为该切线过点 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
14.若 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可．
【解析】易知 ，
令 ，则 ，
所以 ．当 时， ，
当 或 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
由 ，得函数 的最小值为 ，
因为 ，所以 ．
所以实数a的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在四棱锥 中，底面是直角梯形 ，
为正三角形，且平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值；
(3)设点 是三棱锥 外接球上一点，求点 到平面 距离的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【解析】（1）设O为 的中点，连接 ，
由题得 ，
所以 为正三角形，则 ，
所以 平面 ， 平面 ， ．（2）由（1）可知 两两垂直，故以 为坐标原点，
所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，则 ，
则 ，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 .
（3）设外接球的球心为 ，分别过 和 外心作平面 和平面 的垂线，垂线的交点就是球心，易求 ，则外接球的半径 ，
又 ，所以点 到平面 的距离 ，
所以点 到平面 距离的最大值为 .
