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第11 讲：拓展四：导数中的隐零点问题
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f ( x)，导函数方程f '( x)=0 的根存在，却无法求出，设方程
f '( x)=0 的根为x0 ，则有：
①关系式f '( x0)=0 成立；②注意确定x0 的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f ( x ,a)，其中a 为参数，导函数方程f '( x ,a)=0的根存在，却无法求
出，设方程f '( x)=0 的根为x0 ，则有
①有关系式f '( x0)=0 成立，该关系式给出了x0,a 的关系；②注意确定x0 的合适范
围，往往和a 的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数
在闭区间
上连续，且
，那
么在开区间
内至少有函数
的一个零点，即至少有一点
，使得
.
① 若
，则
的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若
，那么
在
不一定有零点
③ 若
在
有零点，则
不一定必须异号
(3)若
在
上是单调函数且连续，则
在
的零点唯
一
1．（河南省新未来2024-2025 学年高二下学期6 月质量检测数学试题）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)若
恰有3 个零点，求
的取值范围；
(3)若
在定义域上单调，求整数
的最大值．
【答案】(1)
的极小值为
，无极大值
(2)
且
(3)1
【分析】
直接对
求导，分析导数的符号变化即可确定极值点及极值.
分析
的单调性和极值，结合图像判断参数
的范围.
函数
在定义域上单调，需要求导并保证导数恒正或恒负，分离参
数，利用隐零点的方法可以确定函数最值的取值范围，从而得到整数
的最大值.
【详解】（1）函数
的定义域为
,
，
，
又因为
在
上单调递增，所以
在
小于0，在
大于0；
所以
在
单调递减，在
单调递增；
所以
的极小值为
；无极大值.
（2）函数
可因式分解为：
显然，
是一个零点.
零点由
和方程
的解组成.
令
，求导：
，
令导数为零：
；
又因为
在R 上单调递增，
所以
在
小于0，在
大于0，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
.
又
，
，
; 当
，
；
的解的个数：
当
，有两个解：
和一个在
；
当
且
，有两个解：一个在
，一个在
；
当
，有一个解（
)；
当
，无解.
讨论
的零点个数：
总是零点；
分析：当
，
是二重根（但仍是同一个点）和一个在
，共两个零点；
当
且
，一个在
，一个在
，再加上
,
一共三个零点；
当
，有
与
两个零点；
当
，只有一个零点
.
因此，
恰有三个零点（不同的实根）当且仅当
且
.
（3）函数
，定义域为
.
求导：
，
化简得：
，
在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增；
当
在定义域上单调递减时，
在定义域上恒小于等于0，
而
时，
，所以这种情况不成立；
所以
只可能在定义域上单调递增；
所以
对
恒成立，
即
恒成立，
令
，则只需
求导：
，
易知
在
上单调递增，且
,
,所以存在
,使
，
所以
在
上小于0，在
大于0；
所以
在
上单调递减，在
单调递增；
所以
,又
代入得
,
又
，所以
,
又
且
，
所以
.
故整数
的最大值为1.
2．（24-25 高二下·山东·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，
恒成立，求
的值；
(3)若
在区间
上存在零点，求
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
，无单调递减区间.
(2)-1
(3)
.
【分析】（1）由题可得
，令
，通过研究
单调性可得
的单调区间；
（2）由题可得
是
在区间
上的最小值，据此可得
，随后验证
满足题意即可；
（3）
，结合（1）分析，可得
时，
在区间
上无零点；当
时，结合
单调性与零点存在性定
理可判断零点情况.
【详解】（1）当
时，
，
，则
.
令
，则
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
，
所以当
时，
恒成立，
所以
的单调递增区间为
，无单调递减区间.
（2）由
，得
，
.
因为当
时，
恒成立，
所以
是
在区间
上的最小值，
即当
时，
是
的极小值点，
所以
，解得
.
当
时，
.
令
，则
.
由（1）知
，
所以当
时，
恒成立，
所以
在区间
上单调递增，即
在区间
上单调递增.
又
，所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
是
的极小值点，符合题意.
故
.
（3）因为
，所以
，
由（1）知
.
又当
时，
，
所以当
时，
，
所以当
时，
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，
故当
时，
，
此时
在区间
上无零点，不符合题意，舍去.
当
时，令
，
则
.
当
时，
，
单调递增.
又
，当
时，
，所以存在
，使
.
当
时，
，即
，
单调递减；
当
时，
，即
，
单调递增.
因为
，当
时，
，
所以当
时，
在区间
上有唯一零点.
综上，若
在区间
上存在零点，则
的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：对于单次求导无法判断单调性的函数，可通过多次求导，判断函数
单调性；对于恒成立问题，常转化为求解函数最值；对于零点问题，常由函数单调性结合
零点存在性定理解决.
3．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，直接写出
的单调区间；
(3)当
时，
，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线
在点
处的切线斜率，利用点
斜式方程即可求解；
（2）对函数
求导，令
，即可求得
的单调递增区间；令
，即
可求得
的单调递减区间；
（3）当
时，
，原不等式
可化为
，
故
即可.设
，对
求导，研究函数
的单调性，
求
的最小值即可求得
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，∴
，
，∴
.
∴曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）当
时，
，∴
.
令
，解得
；令
，解得
，
∴
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）当
时，
，∴
.
∵
对
恒成立，∴
对
恒成立，
即
对
恒成立，∴
.
设
，则
.
∵
，∴
，
.
令
，
，则
，
∴
在
上单调递增.
又
，
，
∴由零点存在性定理可知：
，使得
，即
，
∴
时，
，
，
在
上单调递减；
时，
，
，
在
上单调递增.
∴当
时，
取得最小值
.
∴
，即
的取值范围为
.
4．（24-25 高二下·全国·阶段练习）设函数
在区间
上的导函数为
，且
在
上存在导函数
（其中
.定义：若区间
上
恒成
立，则称函数
在区间
上为凹函数．
(1)判断函数
在区间
上是否为凹函数？并说明理由；
(2)是否存在实数
，使得函数
在区间
上为凹函数？
若存在，求实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设
且
，对于任意的
，不等式
成立，求
的最大值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)存在，
(3)
【分析】（1）利用凹函数的定义即可求解；
（2）利用凹函数的定义可得
在
上恒成立，可得
在
上恒成立，分
和
两种情况求解可得
的取
值范围.
（3）根据题意，转化为
，令
，求得
，令
，利用导数求得函数
的单调性，结
合
，得到存在
，使
，结合函数
的单调性，求得
的最小值为
，由
，得到
，求得
，即可求解.
【详解】（1）
时，
，
函数
在区间
上是凹函数．
（2）
，
，
若
在区间
上为凹函数，
则
在
上恒成立，
，即
在
上恒成立，
在
上恒成立，
当
时，显然成立，下面讨论
的情况，
令
，则
，
时，
在
上为增函数，
由
，得
，即
，
即
时，
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
，则
，
故存在实数
，使得
在区间
上为凹函数，
的取值范围为
．
（3）
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
在区间
上单调递增，
又
，
存在
，使
，
当
时，
在区间
上单调递减，
当
时，
在区间
上单调递增，
当
时，
的最小值为
，
由
，有
，
，又
恒成立，
，
且
的最大值为3．
5．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)当
为整数时，若
恒成立，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
在
上单调递减，在
上单调递增．
(3)1．
【分析】（1）当
时，对
求导，求出
，在由导数的几何意义即可得出
答案.
（2）对
求导，分
和
，讨论
与
的正负即可得出
的单调性；
（3）将题意转化为
在
恒成立，设
，求出
的最大值即可
得出答案.
【详解】（1）当
时，
，∴
，
∵
，∴
，
∴曲线
在
处的切线方程为：
．
（2）
的定义域为
，
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递减；
②当
时，令
，得
，令
，得
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增．
（3）∵
，∴
，即
设
，则
，
设
，则
，
设
，则
，
令
，得
；令
，得
．
∴
时，
为增函数，
时，
为减函数，
∴
，即
，∴
在
上为减函数.
∵
，
∴
，使
，
∴
时，
，从而
，
为增函数；
时，
，从而
，
为减函数；
∴
的最大值为
由
得
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
∴整数
的最小值为1．
6．（24-25 高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数
在
处取得极
值.
(1)设
（其中
），讨论函数
的单调性；
(2)若对
，都有
，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
.
【分析】（1）对
求导，讨论参数
，结合导数的区间符号确定单调性；
（2）将原不等式化为
，即
恒成立，构造函数并求
导研究最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设
，则
，即
，检验证满足题设，
由
，且
，
所以
，
当
时，
，则
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，则
和
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，则
，
在
上单调递增，
当
时，则
和
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）由题设
，即
，
由
，满足上述不等式恒成立，同时
在
恒成立，
令
且
，则
，
对于
，其开口向上且对称轴为
，
，
所以存在唯一
使
，即
，
，即
时
单调递减，
，即
时
单调递增，
而
，（注意
），
所以
，故
.
7．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)试讨论
在
上的零点个数.
【答案】(1)
(2)当
时，
在
上有 个零点；当
时，
在
上有
个零点
【分析】（1）利用导数求得
，又
，可求切线方程；
（2）求导得
，分
和
讨论
的变化情况，确定
的单调性，进而确定零点的个数.
【详解】（1）函数
，
当
时，
，
，
所以切点为
，
求导得
，
，
所以切线的斜率为0，切线方程为：
，即
；
（2）由题
，所以
是函数的一个零点；
因为
，所以
，
所以
，所以
是奇函数，所以函数的零点关于原点对称，
所以只需研究
的零点个数即可，
当
时，
，所以
，所以当函数在
内没有零点，
当
时，求导得
，
当
时，
，当且仅当
时取等号，所以
，
又
，所以
，
可得
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
在
上无零点，
则
在
上只有1 个零点；
当
时，
，令
，
则
，
在
上单调递增，所以
，
若
时，
，即
，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
故
至多有1 个根，令
，则
，则
，
令
，当
时，
，
当
，
，所以在
在
上无解，
当
时，求导可得
，
所以
在
上单调递减，又
，
，
当
时，
，所以在
时，方程
有解，
即存在
，使
，
即
，
，当
时，
，
所以函数在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，所以
，又
，
所以
在
有1 个零点，即函数
在
有1 个零点，
所以当
时，
有三个零点，
综上所述：当
时，
在
上有 个零点；
当
时，
在
上有 个零点.
8．（24-25 高二下·天津河北·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若对任意
不等式
恒成立，求a 的取值范围.
(3)证明不等式：
【答案】(1)函数
有极大值
，无极小值；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数工具研究函数
的单调性即可由极值定义得解；
（2）将题设等价转化成
对任意
恒成立，再利用导数工具求出
函数
的最大值即可得解；
（3）令
，利用导数工具二次求导研究函数
的最小值情况即可得证.
【详解】（1）当
时，函数
，
所以函数定义域为
，
，
所以当
时，
，函数单调递增；当
时，
，函数单调递减，
所以函数
有极大值
，无极小值；
（2）对任意
不等式
恒成立，
所以
对任意
恒成立，
因为
，所以当
时，
，函数单调递增；当
时，
，函数单调递减，
所以
，所以
；
（3）证明：令
，则
，
故
恒成立，
所以函数
即
为
上的增函数，又
，
所以存在
使得
，
所以当
时，
，函数单调递减，
时，
，函数单调递
增，
又
为增函数，
所以
，
所以
.
9．（24-25 高二下·重庆南岸·期中）已知函数
，
．
(1)若
，判断
的单调性；
(2)若
，求a 的值；
(3)已知
，
．若
，证明：
．
【答案】(1)在
上单调递增，在
上递减
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先求导，利用导数研究单调性即可求解；
（2）由
，得
，根据
的情况分类讨论，当
时，由（1）有
，即
，令
，利用导数研究最小值即可求
解；
（3）令
，利用导数研究函数
的单调性求出最小值
即可求解.
【详解】（1）由题意有：
，因为
，
令
，解得：
，所以当
时，
；
当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上递减；
（2）由（1）可知，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递
减．
若
，则
，即
，
代入可得：
，
令
，（
），则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
恒成立，且
，
所以
，即
，
当
时，
恒成立，即
在
上单调递增，
又
，所以当
，
，
不恒成立，故
不成立.
综上所述，
；
（3）令
，
，
所以
，令
，
，
所以
在
上单调递增，因为
，
，
所以
在
上存在唯一零点
，令
，则
，
令
，所以
；令
，所以
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，得证.
10．（2025·上海·三模）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)当
时，证明：
恒成立.
(3)函数
图像上存在多少组关于点
对称的点对？说明你的结论和理由.
【答案】(1)极大值
，无极小值；
(2)证明见解析；
(3)存在唯一的点对关于
对称，理由见解析.
【分析】（1）应用导数求函数极值即可；
（2）问题化为证明
，构造
，
，并应用导数证明不
等式即可；
（3）假设存在，设
，
，
，进而有
，
构造
并利用导数研究其零点情况，即可得结论.
【详解】（1）由题设
，可得
，
时，
，
在
上单调递增；
时，
，
在
上单调递减，
故函数
有唯一的极值点，当
时取得极大值
.
（2）当
时，
，
令
，
，则
，
令
，则
，
当
时，
，于是
在
上严格递增，
所以
，于是
在
上严格递增，
故
，即
，
所以
，原不等式成立.
（3）存在唯一的点对关于
对称，证明如下：
假设存在，设
，
，
，
于是，
，即
，
设
，则
，
显然
，即存在
，其中
，
令
，则
，即
在
上单调递减，
于是
时，
，
在
上单调递增；
时，
，
在
上单调递减.
且
，
，
，
于是，存在唯一的
使得
，即存在唯一的点对
、
满足题意.
11．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
是函数
的导函数，且
．
(1)求
；
(2)若
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导函数结合
，求出原函数即可；
（2）根据题设函数的单调性，得出导函数
在
内恒成立，分离参数
，利用
新设函数
的导函数分析其单调性，即可求得
的取值范围；
（3）通过二次求导结合零点存在定理分析导函数
的单调性，从而求出函数
的
最值证得
，再利用放缩法可证得不等式.
【详解】（1）由题意，设
，（为常数），
又
，所以
，则
．
（2）由题意，
在
内恒成立．
，
，
．
令
，则
，
在区间
上单调递增，
，即
.
所以实数a 的取值范围是
．
（3）设
，
又
，则
，所以
在区间
上单调递增．
，
，即
，
，使
，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
又
，
，此时
且
，
∴
，
又
，
，则
，
综上，
．
12．（24-25 高二下·四川资阳·期中）已知函数
，
．
(1)若
的最大值是0，求
的值；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）求得
，分
和
，两种讨论，函数
的最大值，从
而求解；
（2）根据题意，转化为分离参数得
在
上恒成立，设函数
，利用导数，求得函数
的最小值，进而
的取值范围．
【详解】（1）解：由函数
，可得其定义域为
，且
．
若
，则
，
在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去；
若
，则当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也是最大值，
其最大值为
，解得
，
显然
符合题意，所以
的值为1．
（2）解：对任意
，
恒成立，即
在
上恒成立，
设
，可得
，
设
，可得
，
所以
在
上单调递增，且
，
，
所以
有唯一零点
，且
，
所以
，
构造函数
，则
．
又由函数
在
上是增函数，所以
，
由
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得
，
所以
，解得
，所以
的取值范围是
.
