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第10 讲：第二章 函数与基本初等函数
章节总结
题型一：函数的定义域
1．（24-25 高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知函数
的定义域为R，则实数
a 的取值范围是 ．
3．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
的定义域为
，则实数a
的取值范围是 ．
4．（24-25 高二下·北京平谷·期中）函数
的定义域为 ．
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知函数
的定义域为
，则函数
的
定义域为 ．
题型二：函数的值域(最值）
1．（24-25 高三上·广东韶关·阶段练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
的定义域为
，则其值域为
．
3．（2025·安徽·一模）函数
的值域为 .
4．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）函数
的值域为 ．
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）（1）已知
的定义域为
，求
的定
义域．
（2）求下列函数的值域：
①
；
②
．
题型三：求函数的解析式
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知函数
满足
，则函
数
．
3．（24-25 高三上·广西柳州·开学考试）（1）已知函数
是一次函数，且
，求函数
的解析式；
（2）已知
，求函数
的解析式；
4．（24-25 高三上·安徽安庆·阶段练习）（1）已知
，求
的表达
式；
（2）已知奇函数
的定义域为
，当
时，
．求函数
的解析
式．
5．（23-24 高三上·云南红河·）根据下列条件，求
的解析式.
(1)已知
；
(2)已知
是二次函数，且满足
.
题型四：分段函数问题
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知函数
，满足对任意实数
，都有
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高三上·全国·课后作业）已知函数
的图象如图所示，则下列解析
式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·全国·课后作业）设函数
若
，则实数
．
4．（2025·河南·模拟预测）已知函数
存在
，使得
，则
的取值范围是 .
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知函数
a 为实数，若
有最大值，则a 的取值范围是 ．
题型五：函数的单调性
1．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数
在
内单调递增，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
在
上是减函数，且
，
则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·四川巴中·阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数.
(1)求
的值；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用定义证明.
4．（2025·江苏盐城·三模）已知函数
（
，且
）．
(1)讨论
的奇偶性；
(2)若
，不等式
恒成立，求t 的取值范围．
5．（24-25 高一下·浙江·期中）已知
为奇函数，且定义域为
，
.
(1)求
的值，判断
的单调性，并用定义法证明；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若存在两个不相等的实数
，
，使
，且
.
求实数的取值范围.
6．（2025·上海杨浦·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数.
(1)当
时，
，求
时，
的表达式；
(2)当
时，
，若实数满足
，求的取值范围.
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用
1．（多选）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，当
时，
单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称B．函数
为奇函数
C．
D．
2．（多选）（2025·广西北海·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函
数，
为偶函数，当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．函数
有5 个零点
3．（多选）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
关于点
对称
B．函数
关于直线
对称
C．函数
的周期为4
D．
4．（多选）（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数
是奇函数，
是
的导函数
，
且
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数
为偶函数
C．
D．函数
的周期为4
5．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数
满足关系式
，
，且
在
上的解析式为
，
为
的导函
数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
为奇函数
6．（多选）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（多选）多选（24-25 高三上·广东广州·期末）使不等式
对一切实数
都
成立的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高三上·黑龙江鹤岗·期中）使函数
的定义域是
的一个充分不必要条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（23-24 高三上·辽宁大连·阶段练习）已知不等式
对任意
恒
成立，则满足条件的正实数a 的值可以是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．9
4．（多选）（23-24 高二下·云南临沧·期中）已知
，且
，若不等式
恒成立，则
的值可以为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7.5
5．（多选）（23-24 高三上·浙江嘉兴·期末）已知正实数x，y 满足
，若不等式
恒成立，则实数m 的值可以为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
题型八：不等式中的能成立问题
1．（23-24 高一上·北京·期中）已知存在
，使得
成立，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·浙江·期中）若关于
的不等式
在区间
上有解，
则实数
的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．
D．5
3．（24-25 高三下·广东珠海·开学考试）若命题“
，使得
”为假
命题，则实数
的取值范围 ．
4．（24-25 高三上·江苏南通·期末）已知命题“
，使得
”为假命
题，则实数a 的范围为 ．
5．（24-25 高三上·广东肇庆·期中）若关于
的不等式
在
上有解，
则实数
的取值范围为 .
题型九：函数的图象
1．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数
图像的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·浙江温州·期中）函数
（为自然常数）的大致图像是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图为函数
在
上的大致图象，则
的解析
式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2025·广东广州·三模）函数
的图象被称为牛顿三叉戟
曲线，以下图象可能为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：指数函数，对数函数，幂函数
1．（浙江省五校联盟2024-2025 学年高二下学期5 月教学质量检测数学试题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象有对称轴
B．
的图象有对称轴
C．
的图象有对称中心
D．
的图象有对称中心
2．（2025·江西·模拟预测）已知
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（2025·天津河西·模拟预测）设
，
，
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广东·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一下·上海宝山·阶段练习）已知
，
，且
，其中所有正确结
论的序号是 ．
1．
2．
3．
4．
6．（24-25 高一下·江西·期中）已知函数
是偶函数．
(1)求
的值；
(2)若关于
的不等式
在
上有解，求实数m 的取值范围．
7．（2025 届上海市宝山区高考三模数学试卷）已知
，函数
.
(1)若
，求函数
的表达式及定义域；
(2)若关于
的方程
的解集中恰好只有一个元素，求实数
的取值范围.
8．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知二次函数
．
(1)关于
的不等式
的解集为
．
①求实数
，的值；
②若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
(2)若对任意的
，都有
，求实数
的取值范围．
题型十一：函数中的零点问题
1．（河南省多校联考2025 届高三考前模拟考试数学试题）已知函数
恰有一个零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
2．（24-25 高一下·湖南湘潭·期中）已知函数
，方程
恰有
三个不同的实数解，则
可能的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·云南曲靖·期中）已知函数
至少有一个零点，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数
，若方
程
有四个不同的零点
，
，
，
且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山西·三模）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范
围是 ．
6．（辽宁省葫芦岛市2025 届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数
，当
时，方程
有实数解，则实
数m 的取值范围是 ．
7．（2025 高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数
，
（
，且
）．
(1)求函数
的定义域；
(2)判断函数
的奇偶性，并说明理由；
(3)当
时，若
有两个零点，求实数m 的取值范围．
8．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
(1)求
的单调递增区间；
(2)若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.
题型十二：函数模型的应用
1．（24-25 高一下·湖南·期中）DeepSeek 以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关
注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋
势．假设一个热门话题的关注度
（
）与时间t（单位：月）的关系式为
，其中
为关注度的峰值，a 为常数，若经过半年关注度下降到峰值的
，则关注度下
降到峰值的
，至少需要的时间为（ ）
（参考数据：
）
A．23 个月
B．24 个月
C．25 个月
D．26 个月
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为
，其中r 为年收益率，t 为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，
为
初始资金，
为t 年后的资金，已知某产品年收益率
，则使初始资金翻倍至少需
要（参考数据：
）（ ）
A．12 年
B．13 年
C．14 年
D．15 年
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发
出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水
波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强
与标准声强
（
约为
，单位：
）之比的常用对数称作声强的声强级，记作
（贝尔），即
，取
贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度
（分贝）与
喷出的泉水高度
（米）满足关系式
，现知
同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高
高度为2 米，若
同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10 倍，则
同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75 米
B．1.5 米
C．1.25 米
D．1 米
4．（25-26 高一上·全国·课后作业）10 辆货车从
站匀速驶往相距
的
站，其速度
都是
．为安全起见，要求每辆车速度不得超过
，每辆货车间隔为
（
为常数，货车长度忽略不计）．将第一辆货车由
站出发到最后一辆货车到达
站所需
时间表示为的函数
．若
，则当
时，有最小值，为
．
5．（23-24 高一上·贵州黔南·期末）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，
音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近
十年来＂国潮＂关注度增长了
＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了
年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于
时，则该厂就要考虑转
型，下表显示的是该厂近几年来年利润
（百万元）与年投资成本
（百万元）变化的一
组数据：（年利润率
）
年份
2019
2020
2021
2022
…
年投资成本
4
6
10
18
…
年利润
1
2
3
4
…
给出以下3 个函数模型：①
；②
③
(1)选择一个恰当的函数模型来描述
之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断当该厂年利润不低于6 百万元时，该厂是否要考虑转型.
6．（24-25 高一下·甘肃平凉·开学考试）平凉崆峒山是国家首批5A 级旅游景区，集奇险灵
秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸
引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10 月份以来，通过对
文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30 天计），每件的
销售价格
（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：
（
为常
数且
）．其销售量
（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
10
15
20
25
30
50
0
55
0
60
0
55
0
50
0
已知第10 天的日销售收入为5050 元．
(1)给出如下四个函数模型：①
②
③
④
请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量
与
时间的关系，并求出该函数解析式；
(2)设该纪念品的销售收入为
（单位：元），求
的最小值．
