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专题01 求函数的定义域、解析式、值域
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 求具体函数的定义域
求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免
定义域发生变化）
①分式：分母不能为零；
②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如
，只要求
）对奇次根式中的被开方
数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0 即可，如
，只
要求
）
③零次幂：
中底数
；
④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0 且不等于；
⑤三角函数：正弦函数
的定义域为
，余弦函数
的定义域为
，正切函数
的定义域为
，若
，则
⑥若
是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函
数的定义域的交集．
⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几
何问题有意义
注：剥洋葱原理→一层一层→交集(同时成立) →最后把求定义域转化成解不等式。
1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·广西桂林·模拟预测）若集合
，函数
的定义域为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026 高三·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026 高三·全国·专题练习）已知
表示不超过
的最大整数，设全集
，函数
的定
义域为
，则
________．
题型02 求抽象函数的定义域
谨记两句话：定义域（永远）指的是x 的取值范围
同一个
下括号内的范围是一样的
①已知
的定义域，求
的定义域，其解法是：若
的定义域为
，则
中
，从中解得的取值范围即为
的定义域。
②已知
的定义域，求
的定义域。其解法是：若
的定义域为
，则
由
确定
的范围即为
的定义域。
③已知
的定义域，求
的定义域。其解法是：可先由
定义域求得
的
定义域，再由
的定义域求得
的定义域。
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求
交集。
求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b 即可求出y＝
f(g(x))的定义域；若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域.
7．（2026 高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知
定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026 高三·广东深圳·阶段检测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域是
，则
的定义域为______．
10．（2026 高三·江西宜春·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
__________．
题型03 逆用函数的定义域
①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒
成立问题来解决．
②不等式
的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当
时，
；当
时，
； 不等式
的解是全体实数(或恒成立)的条件是当
时，
；当
时，
．
12．（2026 高三·广东梅州·开学考试）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026 高三·江苏无锡·阶段检测）若函数
定义域为R，则k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数
的定义域为实数集
，则实数
的取值范
围为______.
题型04 同一函数的判断
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不
一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
15．（2026 高三·广东河源·阶段检测）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
16．【多选】（2026 高三·广东汕头·阶段检测）下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
（
且
）
C．
与
D．
与
17．【多选】（2026 高三·广东·期中）下列函数组中表示同一函数的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
题型05 待定系数法求解析式
适用场景：已知函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）
步骤：
1. 根据函数类型设含参数标准解析式；
2. 将已知点坐标、函数值代入式子，构造方程/方程组；
3. 解方程求出全部参数，代回原式得到完整解析式；
补充：分段函数可分段分别待定系数求解。
18．（2026 高三·全国·专题练习）已知
是一次函数，
，且
，函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2026 高三·全国·一轮复习）已知函数
是一次函数，若
，则
______．
20．（2026 高三·福建福州·期中）若函数
是二次函数，满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2026 高三·全国·竞赛）设
是二次函数，且
，则
_____.
22．（2026 高三·全国·专题练习）设
是
的二次函数，
，且
，
求函数
和
的解析式．
题型06 配凑法求解析式
已知复合函数[ ( )]
f g x
的表达式，求
( )
f x 的解析式，[ ( )]
f g x
的表达式容易配成( )
g x 的运算形式
时，常用配凑法。但要注意所求函数
( )
f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是( )
g x 的值域。
23．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，则
________．
25．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 换元法求解析式
已知
))
(
(
x
g
f
的表达式，欲求
)
(x
f
，我们常设
)
(x
g
t
，从而求得
)
(
1 t
g
x
，然后代入
))
(
(
x
g
f
的表达式，从而得到
)
(t
f
的表达式，即为
)
(x
f
的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定
义域的变化。
注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解
析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
26．（2026 高三·四川遂宁·期中）已知
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
满足：对任意非零实数
，都有
，则
的解析式为______．
28．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，求
的解析式．
题型08 利用函数的奇偶性求解析式
常规题型：已知
时
，求
时解析式；
步骤：
1. 设
，则
，代入已知区间解析式写出
；
2. 奇函数：
；偶函数：
；
3. 化简得到
表达式；
补充：若包含
，奇函数满足
，可完善分段解析式。
29．（2026·山西·模拟预测）已知
是偶函数，且当
时，
，则
( )
A．1
B．
C．2
D．3
30．（2026 高三·河南新乡·阶段检测）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，
则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
31．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．
的极大值为
32．（2026 高三·广东广州·期中）已知
，
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且
，则
________．
33．（2026 高三·浙江绍兴·期末）若
分别为定义在
上的奇函数和偶函数，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
题型09 利用函数的周期性求解析式
核心依据：周期
满足
，函数图像周期性重复；
题型1：已知一段区间解析式，求任意区间表达式
步骤：
1. 将目标区间内
加减整数倍周期
，平移至已知解析式区间；
2. 利用周期性
代入已知式子化简；
题型2：结合奇偶性综合，先周期平移，再用奇偶转换符号。
34．（2026·上海静安·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数
的最小正周期为2，当
时，
，则当
时，
______．
35．（2026 高三·甘肃兰州·阶段检测）已知函数
．
(1)若
是以2 为周期的奇函数，且当
时，有
，求函数
的解析式．
(2)若
，求
的取值范围；
36．（2026 高三·上海·课堂例题）已知定义在R 上的偶函数
的最小正周期为2，当
时，
.
(1)求当
时函数
的表达式；
(2)若函数
，
与函数
的图像恰有7 个不同的交点，求k 的值.
题型10 利用函数的对称性求解析式
1. 轴对称：
，函数关于直线
对称；
若已知一侧区间解析式，求对称区间：设目标
，利用对称轴找到对称点横坐标，代入已知表达式；
2. 中心对称：
，函数关于点
中心对称；
3. 解题步骤：设待求区间自变量→利用对称关系转化到已知区间→代换化简得解析式。
37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，且函数
的图象与
的图象
关于直线
对称.
(1)求
的解析式；
(2)证明：
.
38．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式.
39．（2026 高三·全国·专题练习）设
是定义在
上的函数，且对一切
均有
，当
时，
．
(1)求当
时，函数
的解析式；
(2)求当
时，函数
的解析式．
题型11 构造方程组法求解析式
若出现f ( x)与f ( 1
x )的关系式、f ( x)与f (−x)的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根
据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
①互为倒数：f ( x)+f ( 1
x )=g( x)；
②互为相反数：f ( x)+f (−x)=g( x)或F( x)=f ( x)+g( x)(f ( x)为奇函数，g( x)为偶函数)。
40．（2027 高三·全国·专题练习）已知函数
对任意的
都有
，则
________．
41．（2026 高三·全国·竞赛）设函数
的定义域为
，且满足
，则
的
最小值为_____.
42．（2026 高三·全国·一轮复习）已知
且
，求函数
的解析式．
43．（2026 高三·全国·专题练习）若
，求
的解析式．
题型12 赋值法求解析式
题干特征：出现“对任意实数
成立”“任意变量均满足”等恒成立条件；
思路：选取特殊值（
等）代入关系式，消去多余变量；
步骤：
1. 观察式子结构，选择合适特殊值；
2. 代入化简消去其他函数，直接解出
；
多用于抽象函数、函数方程类求解析式问题。
44．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数
满足对任意实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
45．（2026 高三·广东江门·开学考试）已知函数
对任意实数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
46．（课时检测训练6 函数的概念及其表示-【勤径学升】2025 年高考数学一轮总复习课时检测训练（人
教A 版））设
是定义在
上的函数，
且满足对任意
等式
恒成立，则
的解析式为_______．
47．（2026 高三·海南海口·期末）已知函数
的定义域为R，且
，
，请写出满足条件的一个
______（答案不唯一）．
题型13 观察法求函数值域
第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．
48．（2026·全国·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
49．（2026 高三·上海宝山·阶段检测）已知集合
，
，则
________.
50．（2026 高三·北京房山·期中）函数
的值域为__________.
题型14 配方法求函数值域
以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问
题。这种方法一般适用于形如
的函数的值域和最值问题
第一步，将二次函数配方成
2
(
)
y
a x
b
c
；
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）
(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方
并结合图像的方法求解。）
51．（2026 高三·江苏·寒假作业）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
．
52．（2026 高三·湖南长沙·期中）函数
的值域为_________.
53．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域．
题型15 图象法求函数值域
核心思想：数形结合，函数值域为图像上所有点纵坐标的集合；
步骤：
1. 画出函数在定义域内完整图像；
2. 沿竖直方向（
轴）投影图像，找到最高点、最低点纵坐标；
3. 连续图像用区间表示值域，离散点用集合表示；
适用分段函数、三角函数、含绝对值函数。
54．（2026 高三·广东·期中）若函数
的定义域为
，值域为
，
则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
55．（2026 高三·河北张家口·期末）已知函数
．
(1)画出函数
的图象；
(2)求函数
在区间
上的值域；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
56．【多选】（2026 高三·湖北·期中）已知函数
，且
，
则（ ）
A．
的值域为
B．不等式
的解集为
C．
D．
题型16 分离常数法求函数值域
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：
主要的分式函数有：
等
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
第一步，观察函数
( )
f x 类型，型如
( )
ax
b
f x
cx
d
；
第二步，对函数
( )
f x 变形成
( )
a
e
f x
c
cx
d
形式；
第三步，求出函数
e
y
cx
d
在
( )
f x 定义域范围内的值域，进而求函数
( )
f x 的值域．
57．（2026 高三·上海浦东新·阶段检测）函数
的值域为_______
58．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的值域为________
59．（2026 高三·重庆云阳·阶段检测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
60．（2026 高三·安徽合肥·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
61．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域．
题型17 反解法求函数值域
适用：容易用
反解出
的分式、根式函数；
步骤：
1. 把
当作关于
的方程，用
表示出
；
2. 根据原函数
的定义域，列出含
的不等式；
3. 解不等式得到
的取值范围，即为值域；
本质：原函数定义域等价于反函数值域。
62．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域
63．（2026 高三·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
．
64．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型18 换元法求函数值域
第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．
如：函数
，可以令
，得到
，函数
可以化为
(
)，接下来求解关于t 的二次函数的值域
问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制．
65．（2026 高三·河北衡水·期末）若函数
，则
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
66．（2026 高三·四川内江·阶段检测）函数
的值域为_______．
67．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域．
68．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域.
题型19 判别式法求函数值域
适用分子分母均为二次的有理分式
；
步骤：
1. 交叉相乘整理成关于
的一元二次方程；
2. 函数有意义等价于方程存在实数解，分二次项系数为0、不为0 两类讨论；
3. 二次项不为0 时，利用
解出
范围；
注意：若
有额外限制，需剔除对应无效
值。
69．（2026 高三·四川成都·期中）函数
的值域为_____________．
70．（2026 高三·浙江宁波·期中）函数
，
的值域为______________．
71．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域．
72．（2026 高三·全国·一轮复习）求函数
的值域.
题型20 单调性法求函数值域
适用单调函数、复合单调函数、分段单调函数；
步骤：
1. 利用定义或导数判断函数在定义域上的单调区间；
2. 单调递增：左端点最小、右端点最大；单调递减反之；
3. 区间含无穷、开区间端点取不到时，值域对应为开区间；
复合函数遵循“同增异减”判断整体单调性。
73．（2026 高三·全国·单元测试）函数
在区间
上的值域为_______．
74．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域．
75．（2026 高三·北京·期中）对于函数
，下列说法正确的是______.
①函数
为奇函数； ②函数
的值域为
；
③函数在定义域上为增函数； ④对于
，均有
.
题型21 基本不等式法求函数值域
第一步 观察函数解析式的形式，型如
2
ex
f
y
ax
bx
c
或
2
ax
bx
c
y
ex
f
的函数；
第二步 对函数进行配凑成
b
y
ax
x
形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值
域.
注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”
76．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的最小值.
77．（2026·河北唐山·模拟预测）已知函数
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．2
C．
D．3
78．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域
79．（2026 高三·江苏·专题练习）求函数
的值域.
80．（2026 高三·全国·专题练习）求函数
的值域．
题型22 导数法求函数值域
适用高次多项式、复杂分式、超越函数（指数对数混合）；
步骤：
1. 求导
，令
，解出极值点；
2. 判断极值点左右导数符号，区分极大值、极小值；
3. 计算极值、区间端点函数值；
4. 对比所有函数值，确定全局最大值、最小值，写出值域。
81．（2026 高三·重庆沙坪坝·期末）若函数
在
处取得极大值3，则
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
82．（2026 高三·江西抚州·期末）若函数
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
83．（2026 高三·江西萍乡·期中）函数
在
上的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
84．（2026 高三·江苏镇江·开学考试）已知函数
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
85．（2026 高三·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型23 已知函数值域求参数
逆向题型，核心转化思想：值域条件等价于恒成立/方程有解；
分类处理：
1. 二次函数给定值域：结合开口、顶点、区间建立参数不等式；
2. 分式/根式函数值域限制：反解
，利用
有解
；
3. 基本不等式型：等号成立条件对应参数等式；
通用思路：把值域限制转化为含参数的不等式恒成立问题，分类讨论求解。
86．（2026 高三·江苏苏州·阶段检测）已知函数
，其中
，且函数
的值
域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．[2，4]
B．
C．
D．
87．（2026 高三·四川·阶段检测）若函数
的值域为
，则
__________.
88．（2026·安徽滁州·模拟预测）已知函数
的值域为
，则a 的取值范围
是____________．
89．（2026 高三·贵州贵阳·开学考试）已知函数
的值域为
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
90．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
的值域为R，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型24 定义域和值域的综合
综合设问分两类：
1. 先求定义域，再在定义域基础上求值域；
2. 已知值域反求定义域，或同时给出定义域、值域求参数；
解题顺序：先锁定
允许取值范围，再结合函数单调性、图像、不等式推导
范围；
含参数时双向转化：定义域约束自变量，值域约束函数输出，联立不等式组求解参数。
91．（2026 高三·福建福州·阶段检测）已知函数
的定义域是
，值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
92．（2026 高三·山东枣庄·阶段检测）若函数
的定义域和值域均为
，则b 的值为
________．
93．【多选】（2026 高三·全国·课后作业）如果某函数的定义域与其值域的交集是
，则称该函数为“
交汇函数”．下列函数是“
交汇函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
94．（2026 高三·黑龙江·期末）已知函数
的定义域与值域都为
，则
实数
的值为______
题型25 函数值域新定义问题
题干给出全新自定义概念（如“界域”“保值区间”“理想值域”等）；
解题步骤：
1. 精读题干，拆解新定义的数学等价条件；
2. 结合常规求值域方法，翻译定义为不等式/方程；
3. 联立函数自身定义域、值域限制，分类讨论求解参数或区间；
核心：不被陌生名词干扰，剥离文字外壳转化成熟悉的函数最值、恒成立问题。
95．（2026 高三·云南楚雄·阶段检测）数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如
下：对任意的
，函数
称为狄利克雷函数；记
为不超过
的最大整数，则称
为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的值域为
96．【多选】（2026 高三·全国·一轮复习）已知函数
的定义域为
，若对任意
，存在正数
，
使得
成立，则称函数
是定义在
上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
97．【多选】（2026 高三·江苏淮安·期末）定义在D 上的函数
，如果满足：存在常数
，对任意
，都有
成立，则称
是D 上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的
有（ ）
A．
B．
C．
D．
（
表示不大于x 的最大整数）
98．【多选】（2026 高三·云南·阶段检测）定义在
上的函数
由关系式
确定，设函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在定义域内单调递增
B．
关于直线
对称
C．
的值域为
D．
的导函数为奇函数
