文档文本内容
第08 讲 基本初等函数
易错分析
易错点一 忽略对含参数的底数的分类讨论
题型方法
题型一 指数幂与对数的运算
题型二 幂函数的图象与性质
题型三 指数（型）函数的图象与性质
题型四 对数（型）函数的图象与性质
一．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
题型梳理
知识清单
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α 为奇数时，y＝xα为奇函数；当α 为偶数时，y＝xα为偶函数．
二．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
三．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n 为奇数时，＝a，
当n 为偶数时，＝|a|＝
四．分数指数幂
正数的正分数指数幂：
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：
＝
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义．
五．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
六．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y>1；
当x<0 时，0<y<1
当x<0 时，y>1；
当x>0 时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y
＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
七．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数的底数，N 叫
做真数．
以10 为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
八．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，
＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
九．对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性
质
过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
十.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．
常用结论
1．logab·logba＝1，
＝logab.
2．如图给出4 个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
【易错点一】忽略对含参数的底数的分类讨论
【例1】（2025·天津·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分
和
两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于
的不等式即可
易错分析
求解.
【详解】当
时，根据对数函数的性质可知：函数
在
上单调递增，符合
题意；
当
时，由换底公式可得
，
因为函数
在
上单调递增，且函数
在
上单调递增，所以
.
又
，所以
，
，所以
，所以
，即
，解得
.
综上，a 的取值范围为
.
故选：A.
【举一反三】【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知函数
为偶函数，满足
，且
时，
，若关于
的方程
至少有两解，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.
【详解】由已知
，则
，则
，
可知函数
为周期函数，最小正周期
，
又当
时，
，
可知函数
的图象如图所示，且
的值域为
，
关于
的方程
至少有两解，
可得函数
与函数
的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当
时，
，解得
，即
，
当
时，
，解得
，即
，
综上所述
，
故选：C.
【变式2】（2024·贵州贵阳·二模）已知集合
，集合
且
，若
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】解一元二次不等式可得
，再对参数
进行分类讨论并利用对数函数单调性解对数不等式，由
交集结果求得
的取值范围.
【详解】由已知可得
；
①若
，则
，由
；
②若
，则
，此时
，不符合题意．
综上可得
的取值范围是
.
故答案为：
【变式3】（2025·上海·三模）设
且
，已知函数
．
(1)判断
是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数
，解关于
的不等式
．
【答案】(1)偶函数，理由见解析.
(2)当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
.
【分析】（1）由偶函数的性质证明即可；
（2）由偶函数的性质，换元令
，再分
和
结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即可.
【详解】（1）
是偶函数.
理由如下：
因为
，
且
，即定义域为
，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）
为偶函数，
令
.
当
时，
在
上单调递增，
在区间
上单调递减，
由
，得
且
，解得
.
当
时，
在
上单调递减，
在区间
上单调递增，
由
，得
且
，解得
.
综上所述：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
【题型一】指数幂与对数的运算
【例1】（2020·全国I 卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由
可得
，所以
，
所以有
，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题
目.
解题技巧
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
题型方法
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【举一反三】【变式1】（2025·山西临汾·三模）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解.
【详解】由
，
可得
，
，
则
，
故选：B
【变式2】（2025·重庆九龙坡·三模）已知
，则
.
【答案】
/0.5
【分析】由指数的运算性质即可得解.
【详解】由题意
，所以
.
故答案为：
【变式3】（2024·上海黄浦·二模）设
，函数
.
(1)求
的值，使得
为奇函数；
(2)若
，求满足
的实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得
，代入解方程即可得出答案；
（2）由
，可得
，则
，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由
为奇函数，可知
，
即
，解得
，
当
时，
对一切非零实数
恒成立，
故
时，
为奇函数.
（2）由
，可得
，解得
，
所以
解得：
，所以满足
的实数
的取值范围是
.
【题型二】幂函数的图象与性质
【例2】（2024·四川南充·二模）已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故A 错误；
对于B：函数
的定义域为
，显然不符合题意，故B 错误；
对于C：函数
的定义域为
，又
为奇函数，
但是
在
上函数是下凸递增，故不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，又
为奇函数，
且
在
上函数是上凸递增，故D 正确.
故选：D
解题技巧
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x 所
分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【举一反三】【变式1】（2025·天津·二模）已知函数
，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间
上单调递减B．偶函数，且在区间
上单调递增
C．奇函数，且在区间
上单调递减D．奇函数，且在区间
上单调递增
【答案】C
【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解.
【详解】因为函数
，定义域为
，
，所以
是奇函数，
因为
在区间
上单调递增，
，所以函数
在区间
上单调递减，
故选：C.
【变式2】（2020·上海杨浦·一模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】将函数解析式变形为
，即可求得原函数的定义域.
【详解】
，所以，
.
因此，函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·北京延庆·一模）已知函数
在区间
上单调递减，则
的一个取值为 ．
【答案】
（不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为
在
上单调递增，又
在区间
上单调递减，
所以
可以为偶函数，不妨取
，
此时
，函数定义域为
，
且
，故
为偶函数，
满足在区间
上单调递减.
故答案为：
（不唯一）
【题型三】指数（型）函数的图象与性质
【例3】（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
解题技巧
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得
到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【举一反三】【变式1】（2025·河南·三模）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据
时函数值的符号排除A，故可得正确的选
项.
【详解】
的定义域为
，排除D；
因为
，所以
为偶函数，
图象关于y 轴对称，排除C；
当
时，
，排除A．
故选：B.
【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
在R 上单调递增，则
的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据题意，由函数
在
上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
在
上单调递增，需要满足
，
解得
，所以
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·上海黄浦·二模）设
，函数
.
(1)求
的值，使得
为奇函数；
(2)若
，求满足
的实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得
，代入解方程即可得出答案；
（2）由
，可得
，则
，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由
为奇函数，可知
，
即
，解得
，
当
时，
对一切非零实数
恒成立，
故
时，
为奇函数.
（2）由
，可得
，解得
，
所以
解得：
，所以满足
的实数
的取值范围是
.
【题型四】对数（型）函数的图象与性质
【例4】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关系不可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：设
，对
讨论赋值求出
，即可得出大小关系，利用排除法求
出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
的交点
纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
解题技巧
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【举一反三】【变式1】（2024·广东深圳·二模）已知
，且
，则函数
的图象一定经过（ ）
A．一、二象限
B．一、三象限
C．二、四象限
D．三、四象限
【答案】D
【分析】由函数
过
点，分类可解.
【详解】当
时，
，
则当
时，函数图象过二、三、四象限；
则当
时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数
的图象一定经过三、四象限.
故选：D
【变式2】（2025·海南·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】令
，由复合函数可知，内层函数
在
上为减函数，且对任意的
，
恒成立，即可得出关于实数
的不等式组，由此可求得实数
的取值范围.
【详解】令
，因为外层函数
为减函数，且原函数
在
上单调递增，
所以内层函数
在
上为减函数，
且对任意的
，
恒成立，
所以
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·上海崇明·二模）已知
．
(1)是否存在实数a，使得函数
是偶函数？若存在，求实数a 的值，若不存在，请说明理由；
(2)若
且
，解关于x 的不等式
．
【答案】(1)存在实数
，使得函数
是偶函数
(2)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的定义可求解.
（2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合
且
，分类讨论即可求解.
【详解】（1）存在实数
，使得函数
是偶函数.
要使函数
有意义，须满足
，即
，
显然
，即
，函数
的定义域
.
当
时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在
且
，此时函数
不是偶函数.
当
时，
，
函数
的定义域为
，对于任意的
，都有
，
并且
因此函数
是一个偶函数
综上所述，存在实数
，使得函数
是偶函数
（2）由
，得
所以
且
①．
由①得，
.
因为
且
，
所以当
时，
，
当
时，
.
综上可得：当
时，不等式
的解集为
；当
时，不等式
的解集为
.
一、单选题
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
好题必刷
从而
.
故选：A.
3．（2025·福建福州·模拟预测）若函数
的定义域和值域的交集为空集，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解.
【详解】由题意可得函数的定义域为
，
当
时，
，
要使得定义域和值域的交集为空集，则
，
又
时，
，
若
，则
，此时显然不满足题意，
若
，则
在
上单调递减，
，
故
，
所以
，解得
.
故选：B.
4．（2025·山东青岛·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性求出集合
后可求交集.
【详解】
，
，
故
，
故选：D.
5．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
二、多选题
6．（2025·江苏苏州·三模）若
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据指数、对数的关系及对数加法的运算法则判断A，由基本不等式判断BC，利用对数函数的单调性判断
D.
【详解】因为
，
，
所以
，故A 正确；
由
可得
（
，等号不成立），故B 错误；
由
可得
（
，等号不成立），故C 正确；
因为
，故D 正确.
故选：ACD
7．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数
的图象的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用函数图象变换依次判断可得出结论.
【详解】对于A，函数
的图象向右平移1 个单位长度可得到函数
的图象，故A 正确；
对于B，函数
的图象向上平移2 个单位长度可得到函数
的图象，故B 正确；
对于C，函数
的图象上点的横坐标伸长为原来的2 倍可得到函数
的图象，故C 错误；
对于D，函数
，其图象向左平移
个单位长度可得到函数
的图象，故D 正确．
故选：ABD
8．（2022·山东滨州·二模）（多选）若实数a，b 满足
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据对数函数单调性性质得到
，运用不等式性质判断A，作差法判断B，运用对数函数和幂函数
性质判断C，D.
【详解】因
，则
，于是有
，A 不正确；
，即
，B 正确；
由
，得
，因此，
，C 正确；
因
，函数
在
上单调递减，函数
在
上单调递增，则
，D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值为 .
【答案】2
【分析】应用
为增函数，化简
，再分
异号和同号或
中有一个为0，结合基本不等式计算
求解.
【详解】因为
为增函数，不妨设
，
则
，即
，
变形得
.
若
异号，则
，
即
，
解得
，当且仅当
时，等号成立.
若
同号或
中有一个为0，则
，解得
.
综上，
的最大值为2.
故答案为：2.
10．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值为 .
【答案】2
【分析】根据给定的函数，求出定义域及单调性，不妨设
，去掉绝对值符号，结合对数运算及基本不等
式求出最大值.
【详解】函数
的定义域为
，
，
函数
在
上单调递增，
在
上单调递增，因此
在
上单调递增，
不妨设
，则
，即
，
因此
，整理得
，则
，
当且仅当
时取等号，则
，即
，
而
，解得
，从而
最大值为2，此时
，
所以
的最大值为2.
故答案为：2
11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是 ．
【答案】
【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.
【详解】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；当
时，
，
因此函数
为奇函数，函数
在
上单调递减，在
上单调递减，
则函数
在
上单调递减，则
，
于是
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
四、解答题
12．（2023·江苏连云港·模拟预测）计算：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；
（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.
【详解】（1）
.
（2）
.
13．（2024·河南·模拟预测）已知
，函数
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
分别为
的零点，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得
；
（2）由零点定义代入函数表达式，再由对数函数单调性可知
，即可得
.
【详解】（1）由
可得
，即
，
所以
，
又
，所以
，因此
；
因为
，即
，
解得
；
（2）因为
分别为
的零点，所以
，
即
，也即
，
又因为
，所以
在
上单调递增，
由
可得
，
与
联立可得
。
所以
.
14．（2025·上海黄浦·二模）已知
．
(1)若
，求
的值；
(2)是否存在实数
，使函数
是奇函数？请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)存在实数
，使函数
是奇函数.
【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解.
（2）利用奇函数在
处的特殊性质求出
的可能值，再将
的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可.
【详解】（1）由题意，
，
令
，则有
，即
，得
，解得
或
（舍去），
所以
，则
.
（2）假设存在实数
，使函数
是奇函数，
则
时，
，解得
.
时，函数
，定义域为
.
设函数
.
对任意
，
，故函数
为奇函数.
综上，存在实数
，使函数
是奇函数.
15．（2025·上海金山·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可；
（2）计算
表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
所以
；
（2）
，
令
，问题等价于求
的值域，
函数
图象开口向上，对称轴为直线
，
，
函数
的值域为
．
16．（2025·上海宝山·三模）已知
，函数
.
(1)若
，求函数
的表达式及定义域；
(2)若关于
的方程
的解集中恰好只有一个元素，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，定义域为
(2)
【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即可；
（2）根据对数运算法则化简方程
，结合对数函数的性质得方程
，分类讨论得方程的根从而得实数
的取值范围.
【详解】（1）
，令
，
则
因为
，所以
，又
得，解得
或
，
则函数
的定义域为
；
（2）由（1）得
方程
，
即
可转化为
，且
①当
即
时，
，符合题意；
②当
即
时，
（i）当
时，
符合题意
（ii）当
时，
且
时，要满足题意，则有
或
无解
综上可得，
的取值范围
.
17．（2025·上海宝山·二模）已知函数
，（
且
）
(1)若
，求方程
的解；
(2)已知
，若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求实数
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由
求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即
可；
（2）由幂函数的单调性得到关于
的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）
即
解得
，于是
，
方程
即为
，
令
，则有
即
，
求得
（舍负） ，
所以方程的解为
.
（2）由已知
得
，
整理得
，
因为
，所以
，
从而
对任意
恒成立，
因为
（当且仅当
取等号），
所以
，
即实数
的最大值为
.
18．（2025·江苏苏州·三模）已知函数
．
(1)若
，解关于
的不等式
；
(2)证明：关于
的方程
有且仅有一个实根；
(3)证明：
的充要条件是
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）令
，判断
的单调性，由
，则
，等价于
，由
的
单调性即可求解
的取值范围；
（2）令
．利用导数判断
的单调性，当
时，由
在
上的单调性及
，可得
．令
，由
的单调性及零点存在性定理即可得此
时
有唯一实根；当
时，利用导数判断
，从而得证；
（3）从充分性和必要性两方面证明即可．
【详解】（1）
，令
．
因为
和
均单调递增，所以易得
单调递增．
因为
，所以
，等价于
，所以
．
（2）令
．
由
，可得
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增．
（ⅰ）当
时，
，
因为
，所以
．
令
，显然
单调递增，且
，
，
所以
在
上有唯一解，即
有唯一实根．
（ⅱ）当
时，
．
令
，因为
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
所以
，所以
无解．
综上所述，
有唯一实根．
（3）先证必要性：因为
，所以
，即
，
因为
单调递增，所以
．
再证充分性：因为
，所以
，即
．
综上所述，命题得证．
